广州省广州市2013年高考模拟考试(即一模)数学(文)试题

2013年广东省惠州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2013•惠州一模）已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点5．（5分）（2013•惠州一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）．，6．（5分）（2013•惠州一模）甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均平均成绩7．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）由题意求出，，所以8．（5分）（2013•惠州一模）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最解：满足约束条件=﹣﹣9．（5分）（2013•惠州一模）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利（﹣10．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）．=2x二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.11．（5分）（2013•惠州一模）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生200人．，抽取比例为，类学校中应抽学生12．（5分）（2013•惠州一模）等比数列{a n}中，a4=4，则a2•a6等于16．13．（5分）（2013•惠州一模）执行如图的程序框图，那么输出S的值是﹣1．，14．（5分）（2013•惠州一模）（坐标系与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为．故答案为：15．（2013•惠州一模）（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=3．，于是故答案为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）（2013•惠州一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．（I）求角C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．）利用两角和的余弦与辅助角公式可将sinA）化为A+C=）sinAA+），＜A+＜A+=时，A+）取最大值综上所述，，B=17．（12分）（2013•惠州一模）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布（I）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．，可得，解可得，则，=的概率为18．（14分）（2013•惠州一模）如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求四面体B﹣CDE的体积．PF= EA=PF=EA=的体积19．（14分）（2013•惠州一模）已知，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．，∴……，得）递增；当时，因此，当20．（14分）（2013•惠州一模）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆方程；（2）设直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l 的方程．）设椭圆方程为，易知：﹣）设椭圆方程为，则，则由条件得，得．：，与椭圆联立，消去，而，，检验，所以k=的方程为或．21．（14分）（2013•惠州一模）已知数列{a n}的相邻两项a n，a n+1是关于x的方程的两实根，且a1=1．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）S n是数列{a n}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得b n＞λS n对∀n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．的方程的两实根，…故数列是首项为（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．（）式得：，∴对任意正奇数因为为奇数）的最小值为）式得：，∴为偶数）的最小值为，∴。

试卷类型：A绝密★启用前2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2013.2本试卷共6 页，21 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考结论：1三棱锥的体积公式：V =Sh ，其中V,S,h 分别是三棱锥的体积、底面积和高；3回归直线的方程是：y =bx +a ，n∑( x i-x)(y i-其中：b =i=1, a =y -bx ．n∑(x i-x)2i=1一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则（1-i）2=A．2i B．-2i C．2D．-22．已知集合 A = {x ∈ R | x < 7} ， B = {1，2，3，4} ，则（ A ）∩ B =R 2B ． {2，3，4}D ． {4}A ． {1，2，3，4}C ． {3，4}π3．下列函数中，最小正周期为 的是2Ａ． y = tan xＣ． y = cos xＢ． y = sin 2xＤ． y = cos 4x244．设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = log 3 (1 + x ) ，则 f (- 2) A ． -15．下列命题为真命题的是Ｂ． -3 Ｃ．1 Ｄ． 3A ．若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题．B ．“ x = 5 ”是“ x 2 - 4x - 5 = 0 ”的充分不必要条件．C ．命题“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 > 0 ”的否命题为：“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 ≤ 0 ”．D ．已知命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 < 0 ，则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 > 0 ．A Ｂ Ｃ Ｄ（第 6 题图）7．某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n (n > 1)个小矩形，若第一个小矩形的面积1等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是A ． 20B ． 25C ． 30D ． 358．等差数列 {a n } 中，已知 a 5 > 0 ， a 4 + a 7 < 0 ，则 {a n } 的前 n 项和 S n 的最大值A ． S 7B ． S 6C ． S 5D ． S 4229．已知抛物线 y 2= 2 p x （p > 0）与双曲线 x - y = 1（a > 0, b > 0）的一条渐近线交于一点 2 2 a bM （1, m ），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 1C ．1 D ．A ． 3B ． 44310．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 4xy - x - 2 y = 4 ，则 xy 的最小值为 B ． CD ． 2A ． 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是．（第 11 题图）⎧ x - y + 2 ≤ 0,⎪y12．已知变量 x ，y 满足约束条件 ⎨ x ≥ 1, 则 的取值范围是 ．x ⎪2x + y - 8 ≤ 0. ⎩13．在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A （4, 3）且动点 B （m , 0）在 x 轴的正半轴上移动，m的最大值为 ． AB（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ⎧ x = 1 + t,（参数 t ∈ R ），若以 O ⎨⎩y = 4 - 2t. 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4s i n θ ，则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为．15．如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 ⊙O于 D 、B 两点，交弦 AC 于 E 点，且 AE = 4 ，EC = 3 ，BE = 6 ， PE = 6 ，则 AP =．(第 15 题三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分）3在平面直角坐标系 xOy 中，M （sin 2 θ , 1），N （1, - 2 cos 2 θ）（ θ ∈ R ），且 O M ⋅ O N = 2（1）求点 M , N 的坐标；（2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点M , N ，求α β 的值.17．（本小题满分 12 分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成ˆ 绩高于 90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 y = bx+ a ．（第 17 题图）学生 A 1A 2 A 3 A 4 A 5 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分）878989929318．（本小题满分 14 分）π 如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C 、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = ∠DAB =π．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中 3点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求三 棱锥 C - BOD 的体积；（2）求证： CB ⊥ DE ；（3）在 BD上是否存在一点 G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不 存在，请说明理由．CB（第 18 题图甲） （第 18 题图乙）19．（本题满分 14 分）设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 3 = 7 ，且 3a 2 是 a 1 + 3 和 a 3 + 4 的等差中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式；a 1，数列 {b } 的前 n 项和为T n ，求证： T n < 2 ． （2）设 b n = n n (a n + 1 )(a n +1 + 1 )20．（本题满分 14 分） 已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x ，且点（1,在该椭圆上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴，为垂足，点 Q 满足 PQ = HP ，直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 B M = 4 B N．求证： ∠OQN 为锐角．（第 20 题图）21．（本小题满分 14 分）已知函数 （f x ）= a x + x 2 - x ln a - b （a , b ∈ R , a > 1）， e 是自然对数的底数． （1）试判断函数 （f x ）在区间（0, + ∞）上的单调性；（2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f x ）在区间（k , k + 1）上存在零点； （3）若存在 x 1 , x 2 ∈[-1, 1]，使得 | （f x 1）- （f x 2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷第 6 页 共 6页2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．63. 12．[26]，. 13．53． 14．5． 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（ ），2 1,2cos N θ-（ ）（θ∈R ），且32OM ON ⋅=-. （1）求点,M N 的坐标；（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N ，求tan αβ+()的值.解：(1)3,2OM ON ⋅=- 223sin 2cos ,2θθ∴-=-………………….2分 223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=所以1(,1)6M ，5(1,)3N - ………………….6分（2）由（1）可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=- ……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=. …………………………………………5分 （2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分14分）如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C BOD -的体积； （2）求证：CB DE ⊥；（3）在BD 上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．解:（1）C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=︒ ,4CAB π∠=,AC BC ∴=∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，2,1AB CO =∴=.∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . A BCOD·(第18题图甲)A BFO D·(第18题图乙)·E G在Rt ABD ∆中，11112224BOD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，11133C BOD BOD V S CO -∆∴=⋅==………………………………………4分（2）在AOD ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=AOD ∴∆为正三角形，又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， DE ∴⊥平面ABC .∴CB DE ⊥. ………………………………………9分（3）存在，G 为BD 的中点.证明如下： 连接,,OG OF FG ，∴OG BD ⊥，∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥ ∴//OG AD ，OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴OG //平面ACD .在ABC ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//OF AC ∴，OF ⊄平面ACD ，//OF ∴平面ACD ，,OG OF O =∴平面//OFG 平面ACD ，又FG ⊂平面OFG ，//FG ∴平面ACD .………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本题满分14分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是 13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111n n n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，则12a q =， ∴213122a a a q q q===，． 由37S =，可知2227q q ++=， ∴22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分∴11a =．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． …………………………………………………7分(2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n -=-++， …………11分 ∴n S 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n =-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x ，且点1,（在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q满足PQ HP =，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =．求证：OQN ∠为锐角．20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得2c e a == , 又222c b a +=，∴224b a =. …………………………………………2分 ∵椭圆C经过，代入椭圆方程有 2231414b b +=， 解得21b =. …………………………………………5分∴24a =， 故椭圆C 的方程为 2214x y +=. …………………………………………6分 （2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -，∵PQ HP =，∴()00,2Q x y ，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． …………………………………………9分 令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∵()2,0B ，4BM BN =， ∴002,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∴()00,2QO x y =--，00002(1)2,2y x QN x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭． ∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++∵220014x y +=， ∴220044y x =-∴02QO QN x ⋅=- …………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=->．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数．（1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围． 解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，…………2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分（2）2()4x f x e x x =+--，'()21xf x e x ∴=+-， (0)0f '∴=， ……………………………………4分当0x >时，1xe >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分 2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e=-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >， 故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件.综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分（3）2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1x ∈-时，m a x m i n m a x |()()|()()1f x f x f x f x e -=-≥- …………………………8分()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>；②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<；③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a a a --=+---++-=--， 设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号）， ∴1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴(1)(1)f f >-，∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，则 11()10a h a a a -'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数，∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

肇庆市中小学教学质量评估 2013届高中毕业班第一次模拟试题数 学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i 为虚数单位，复数i a z 31-=，bi z +=22，其中a 、b ∈R. 若12z z =，则ab = A ．1- B ．5 C ．6- D ．62．已知全集{2,1,0,1,2,3,4,5,6}U =--，集合M ={大于2-且小于5的整数}，则=M C UA ．∅B ．{6}C ．{2,6}-D ．{2,5,6}- 3．命题“∃x ∈R ，12<x ”的否定是A ．,21x x ∀∈≥RB ．,21xx ∀∈<RC ．,21xx ∃∈≥R D ．12,>∈∃xR x4．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm 2），根据这组数据下列说法正B ．甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差5．已知等差数列{n a }，满足398a a +=，则此数列的前11项的和11S =A ．44B ．33C ．22D ．116．平面上有三个点A （2，2）、M （1，3）、N （7，k ），若向量与垂直，则k =A ．6B ．7C ．8D ．9 7．阅读如图1的程序框，并判断运行结果为A ．55B ．-55C ．5D ．-58．设变量,x y 满足20403x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最大值为A ．1B ．9C ．11D ．13 9．△ABC 中，3,4AB BC AC ===，则△ABC 的面积是A ．23 B C ．3 D ．10．设集合{}012345,,,,,M A A A AA A =，在M 上定义运算“⊗”为：i j k A A A ⊗=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()a a A A ⊗⊗=的()a a M ∈的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．函数()ln f x x =的定义域为______.12．若圆心在直线y x =M 与直线4x y +=相切，则圆M 的方程是_____.13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图2所示，则其表面积．．．等于______. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为______. 15．（几何证明选讲选做题）如图3，D 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PD 是⊙O 的切线，P 是切点，∠D=30°，4,2AB BD ==，则PA =______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数1cos 2)62cos()32sin()(2-+-+-=x x x x f ππ，x ∈R ．（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值． 17．（本小题满分13分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．如图4，P A 垂直于⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，P A =AB =2，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面P AC ；（2）证明：CF ⊥BP ；（3）求四棱锥C —AOFP 的体积. 19．（本小题满分14分）已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+. （1）求234,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足2(2)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知圆C 的方程为22270x y x ++-=，圆心C 关于原点对称的点为A ，P 是圆上任一点，线段AP 的垂直平分线l 交PC 于点Q .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹L 方程； （2）过点B （1，21）能否作出直线2l ，使2l 与轨迹L 交于M 、N 两点，且点B 是线段MN 的中点，若这样的直线2l 存在，请求出它的方程和M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由.10B 解析：设i ，则20等价于被4除的余0，等价于是奇数.故可取135,,A A A 二、填空题11．(0,1] 12．22(1)(1)2x y -+-=或22(3)(3)2x y -+-=（对1个得3分，对2个得5分）13．24+ 14．1 15．三、解答题 16．（本小题满分12分） 解：（1）x x x x x x f 2cos 6sin2sin 6cos2cos 3sin2cos 3cos2sin )(+++-=ππππ（3分）x x 2cos 2sin += （4分） )42sin(2π+=x （5分）所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . （6分） （2）因为)(x f 在区间]8,4[ππ-上是增函数，在区间]4,8[ππ上是减函数， （8分） 又1)4(-=-πf ，2)8(=πf ，1)4(=πf ， （11分）故函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值为2，最小值为-1. （12分）17．（本小题满分13分）解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为5100.5=， 再结合频率分布直方图可知1001001.010=⨯=n . （1分）∴a =100×0.020×10×0.9=18， （2分） b=100×0.025×10×0.36=9， （3分）270.91000.3x ==⨯, （4分）30.21000.15y ==⨯ （5分）（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：186254⨯=人, （6分） 第3组：276354⨯=人, （7分）第4组：96154⨯=人． （8分）（3）设第2组的2人为1A 、2A ，第3组的3人为1B 、2B 、2B ，第4组的1人为1C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()31,B C ，共15个基本事件，（10分）其中第2组至少有1人被抽中的有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C 这9个基本事件． （12分）∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为93155= （13分） 18．（本小题满分13分）（1）证明：∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥P A . （1分） ∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC . （2分） 又∵PA AC A = ，∴BC ⊥平面PAC . （3分） （2）证明：∵P A ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥P A . （4分） ∵C 是弧AB 的中点， ∴∆ABC 是等腰三角形，AC =BC ， 又O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB . （5分） 又∵PA AB A = ，∴OC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴BP OC ⊥. （6分） 设BP 的中点为E ，连结AE ，则//OF AE ，AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥. （7分）∵OC OF O = ，∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ，∴CF BP ⊥. （8分）（3）解：由（2）知OC ⊥平面PAB ，∴CO 是三棱锥C BFO -的高，且1CO =. （9分）又∵14BF BP =，111222FO AE PB ==⨯= （10分）∴111111332612C BFO BOF V S CO BF FO -=⋅=⨯⋅⨯==（11分） 又∵111112212332323P ABC ABC V S AP AB CO AP -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= （12分）∴四棱锥C AOFP -的体积21731212P ABC C BFO V V V --=-=-= （13分）19．（本小题满分14分）解：（1）由111,2()n n a na S n N *+==∈得 2122a a == ， （1分）32123a S a a ==+=， （2分）由43123322()a S a a a ==++得44a = （3分） （2）当1>n 时，由12n n na S += ① ，得1(1)2n n n a S --= ② （4分） ①－②得11(1)2()n n n n na n a S S +---=-，化简得1(1)n n na n a +=+， （5分）∴11n n a n a n++=（1>n ）. （6 分） ∴22=a ，3232a a =，……，11n n a na n -=- （7 分）以上（1n -）个式子相乘得n n na n =-⨯⨯⨯=1232 （1>n ） （8 分）又11=a ，∴()n a n n N *=∈ （9 分）（3）∵2211(2)(2)2n n b n a n n n n ===-+++ （11分）∴1111111111111324352112n T n n n n n n =-+-+-++-+-+---++ （12分） 11132312122(1)(2)n n n n n +=+--=-++++ （14分）解：（1）如图，由已知可得圆心(1,0)C -，半径r =A （1，0） （1分） ∵点Q 是线段AP 的垂直平分线l 与CP 的交点，∴ |||QA QP = （2分） 又∵22||||=+QC PQ ，∴222||||=>=+AC QC QA （3分） ∴点Q 的轨迹是以O 为中心，,C A 为焦点的椭圆，∵1,c a ==，∴122=-=c a b ， （4分）∴点Q 的轨迹L 的方程2212x y +=. （5分）（2）假设直线2l 存在，设1122(,),(,)M x y N x y ，分别代入2212x y +=得221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， （6分） 两式相减得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=--+，即1212121212y y x x x x y y -+=-⨯-+ （7分）由题意，得1,22121=+=+y y x x ， （8分） ∴12121y y x x -=--，即1MN k =- （9分） ∴直线2l 的方程为32y x =-+ （10分）由221232x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得261250x x -+= （11分） ∵点B 在椭圆L 内，∴直线2l 的方程为32y x =-+，它与轨迹L 存在两个交点， 解方程261250x x -+=得16x =± （12分）当16x =+时，126y =-；当16x =-时，126y =+ （13分）所以，两交点坐标分别为112⎛-⎝⎭和112⎛+ ⎝⎭ （14分）。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）3月18日 数学( 理科 )一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则（ ） A ．B A U ⋃= B ．B A C U U ⋃=)( C ．)(B C A U U ⋃= D ．)()(B C A C U U U ⋃= 2．已知bi ia+=-11，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+bi a （ ） A ．i 21+ B ．i +2 C ．i -2 D ．i 21-3．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+01112y y x y x ，则y x z 2-=的最大值是（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．3 4．直线03=-y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角为（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π 5．某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ） A ．2 B ．1 C ．32D ． 31 6．函数)cos sin )(cos sin (x x x x y -+= 是（ ）A ．奇函数且在]2,0[π上单调递增B．奇函数且在],2[ππ上单调递增C ．偶函数且在]2,0[π上单调递增 D ．偶函数且在],2[ππ上单调递增121侧视图俯视图7．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)()1()(b f f a f <<B ．)1()()(f b f a f <<C ．)()()1(b f a f f <<D ．)()1()(a f f b f << 8．如图，一条河的两岸平行，河的宽度m d 600=，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B ，已知km AB 1=，水流速度为h km /2，若客船行驶完 航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为（ ）A ．h km /8B ．h km /26C ．h km /342D ．h km /10 二．填空题：本大题7小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9——13题）9．不等式x x ≤-|1|的解集是 ． 10．⎰=10cos x xd ．11．某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下面的统计资料：根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用为 万元（结果保留两位小数）．12．已知0>a ，1≠a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=11)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间• •水流方向AB]2,0[上的最大值比最小值大25，则a 的值为 ． 13．已知经过同一点的n （*N n ∈，3≥n ）个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则=)3(f ；=)(n f ．（二）选做题（14——15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线 0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，AC 与圆O 相交于点D ，若 3=BC ，516=AD ，则线段AB 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知函数)4sin()(πω+=x A x f （其中R x ∈，0>ω，0.>A ）的最大值为2，最小正周期为8． （1）求)(x f 的解析表达式；（2）若函数)(x f 的图象上的两点P 、Q 的横坐标依次为2、4，O 为坐标原点，求POQ ∆的面积．17．（本题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解答同一道题，甲做对的概率为21，乙、丙做对的概率分别为m 、n （n m >），且三位学生是否做对相互独立，记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为（1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2）求m 、n 的值； （3）求ξ的数学期望．18．（本题满分14分）如图，在三棱柱锥111C B A ABC -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 底面ABC ，D 、E 分别为1CC 、AB 的中点．（1）求证：//CE 平面BD A 1；（2）若H 为B A 1上的动点，当CH 与平面AB A 1所成最大角的正切值为215，求平面BD A 1与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S n na a a n n 2)1(221+-=+++ ，（*N n ∈）．1A A EBCD1B1C（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若p 、q 、r 是三个互不相等的正整数，且p 、q 、r 成等差数列，试判断1-p a 、1-q a 、1-r a 是否成等比数列？并说明理由．20．（本题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F ，点)3,2(A 在椭圆1C 上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：y x 42=交于B 、C 两点，抛物线2C 在B 、C 处的切线分别为1l 、2l ，且1l 、2l 交于点P ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足||||||||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个？（不必求出点P 的坐标）；如不存在，说明理由．21．（本题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m x a x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集是}1|{+<<m x m x ，其中m 为非零常数，设1)()(-=x x f x g ． （1）求a 的值；（2）k （R k ∈）如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x ϕ存在极值点，并求出极值点；（3）若1=m ，且0>x 时，求证：22)1(])1([-≥+-+n n n x g x g （*N n ∈）．附文科试题19．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知21=a ，82=a ，n n n S S S 5411=+-+ （2≥n ），n T 是数列}log {2n a 的前n 项和．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足20131010)11()11)(11(32>-⋅⋅--n T T T 的最大正整数n 的值．21．已知*N n ∈，设函数12321)(1232--+-+-=-n x x x x x f n n ，R x ∈．（1）求x k x f y -=)(2（R k ∈）的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意*N n ∈，关于x 的方程0)(=x f n 在区间]1,[+t t 上有唯一实数解？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）答案 一．选择题：ACAB DBCD二．填空题：9．}21|{≥x x 10．1sin 11．38.12 12．21或27 13．8,22+-n n 14．)611,1(π15．4 三．解答题：16．（1）)44sin(2)(ππ+=x x f ;（2）23．17．（1）43411)0(1=-==-=ξP P ; （2）41)1)(1(21)()0(=--===n m ABC P P ξ,24121)()3(====mn ABC P P ξ,解得31=m ,41=n , ===)1(ξP a2411)1(21)1(21)1)(1(21)()()(=-+-+--=++n m n m n m C AB P C B A P BC A P 412412411411)2(=---===ξP a ,1213=ξE ．18．（2）B A EH 1⊥,正切值最大,二面角的余弦值为55． 19．（1）2)1()1(11+--=+++n n n S n nS a n ,221+=+n n S S ,221-=+n n S ,n n a 2= ;（2）q r p 2=+，假设1-p a 、1-q a 、1-r a 成等比数列，则2)12()12)(12(-=--q r p ，即q r p 2222⨯=+，又q r p r p 222222⨯=>++，矛盾，所以不存在．20．（1）椭圆方程1121622=+y x ；（2）设)41,(211x x B 、)41,(222x x C ，由A 、B 、C 三点共线，得12)(22121=-+x x x x ，1l 方程为42211x x x y -=，2l 方程为42222x x x y -=，P 的轨迹方程为3-=x y ，假设存在||||||||2121AF AF PF PF +=+，则P 在椭圆上，又在直线3-=x y ，则P 是3-=x y 和椭圆1121622=+y x 的交点，又直线3-=x y 过椭圆内一点)0,3(，所以直线3-=x y 与椭圆有两个交点，存在两个点P ．21．（1）2-=a ；（2）0>m ，R k ∈，)(x ϕ有极小值点2422mk k x +-+=，当0<m ，m k ->2，)(x ϕ有极小值点2422mk k x +++=，极大值点2422m k k x +-+=；（3）n n n n n n nn n x C x C x C x g x g ----+++=+-+214221)1(])1([ ，设 nn n n n n n x C x C x C T ----+++=214221 ，倒序改写为214221---+++=n n n n n n x C x C x C T ，相加，利用基本不等式，得 )()()(2221442221-------++++++=n n n n n n n n n n x x C x x C x x C T)12(2)2(2)(2110121-=-++++=+++≥--n n n n n n n n n n n C C C C C C C ，所以22)1(])1([-≥+-+n n n x g x g ．。