关于优选法教材中对分数法的几点思考
人教A版选修4-7的内容是优选法与试验设计初步.
在实践中的许多情况下，试验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法．简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法．试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案．
人们在做试验时，每个人都有自己的经验，但往往带有盲目性．有时试验次数较少，有的试验次数较多，有时却长时间找不到结果．优选法是从实践中总结和提高得来的，可以帮助我们以尽可能少的试验次数，迅速选定最佳方案，其目的是为了防止盲目性，防止最差效果。优选法的重点和难点是0.618法和分数法，而
分数法是在0.618法的基础上形成的，是用渐进分数代替确定试点的方法, 它可以解决0.618法不能解决的问题.下面对以下4个方面进行思考可以帮助我们理解分数法．
一、怎样理解随着n的增大,数列的项越来越趋向于？
由于，对，有递推公式．
根据数列的这个定义，有
=
=
即有（1）
类似地计算，又有
（2）
因此，，
（3）
于是（4）
因为
所以，由（3）和（4）知道存在．
现在证明这个极限便是．事实上，从
看出，记时，适合方程即
解方程知．由（4）知道
．不仅如此，还有
（5）
．
这说明随着增大会越来越接近于．
二、分数法能解决哪几类优选问题？
有时碰到试验点只能取整数的情况．例如，某单位在配制某种清洗液时，要优选某材料的加入量，其加入量用150ml（毫升）的量杯来计量，该量杯的整个量程分为15格，每格代表10ml．由于量杯是锥形的，所以，每格的高度不等，很难量出几ml或者是几点几ml，因此不便于用0.618法．在这种情况下，就可以采用分数法．
工人在实践中得知某含量的加入量大于130ml以上时肯定不好，因此试验范围就定
为0～130ml．中间正好是13格，就可以用来代0.168，第一个试验在80ml 处．以后则用加两头减中间的方法做，这样做几次试验后，就能找到满意的结果．
当然，分数法的好处不仅在于此，例如，由于某种条件的限制，只能做几次实
验，在这种情况下，采用分数法较好．如果只能做一次试验．就用，其精确
度，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为．如果只能做二次试验，则用
，第一次在处做试验；第二次在处做试验，其精确度为．如果能做三次试
验，则可用，其精确度为……．做次试验就用，其精确度为．式中
为1，2，3，5，8，13，21，……
又如，试验范围是一些不连续的、间隔不等的点组成，试验点只能取某些特定数时只能采用分数法．例如在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有几种阻值不等的电阻，如果阻值为
,,,,等七种．如果用0.618法，则计算出来的电阻，调试者手里可能没有．这时我们可以先把这些电阻由小到大，顺序排列：
阻值：,,,,．
排列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就好办了．
做试验时，可在两端增加虚点（0）、（8），然后在0～8之间运用分数法，
并用代替0.618，做第一次试验，取第五个电阻即，第二次用第三个电阻即．这样按分数法做下去，就可以较快地找到较好的点．
有时试验范围中的份数不够分数中的分母数，例如10份，这时可以用两种方
法来解决，一种是分析一下能否缩短试验范围，如能缩短两份，则可应用，如
果不能缩短，就可以用第第二种办法，即添几个数，凑足13份，应用．
三、分数法与0.618法有哪些区别？
分数法与0.618法的本质是相同的,两者的区别在于第1个试点的确定不
同．对区间[0，1]而言，0.618法选择的第一个试点为，而分数法选择
的第一个试点为，后续的步聚都是相同的，从第2个点开始，两个方法都是用“加两头，减中间”来选取．另外,分数法解决的问题，与0.618法稍有不同，0.618法是做下去看，达到要求即告结束，而分数法是预先给定试验次数，并且在试验范围内划出一些分点，目的是通过这几次试验，找出最好的分点。我们
认定在试验范围内划分点时,是均匀划分的,至于不是均匀划分的情况,我们可以把分点依次编号,然后就分点的序号作均匀安排.分数法与0.618法应用范围也不一样，应付不同情况采用不同方法.对于因数范围由一些不连续、间隔不等的点组成,允许优选的点的位置已经划出的情况，要用分数法，而一般情况，则用0.618法.另外两者在精确度方面也有区别，通过n次试验后，0.618法的精确度为0.618n-
1 ,而分数法的精确度为.
四、怎样理解在给定试验次数n的前提下，只有分数法的取点方法效果是最好的？
定理（）对于任意给定的正整数，我们从区间（0，1）中的第一个试验点开始，用“加两头、减中间”的来回调试法作次试验后所得的小区间中已试点的精确度为．（）如果出发点不是，也不是其对称点
，或虽然但以后的取点法不完全按照“加两头，减中间”的
方法，那末，经过次试验后得的小区间中已试点的精确度必大于．证明：
（1）当时．这时只有一个试验点，区间（0，1）也并未缩小，所以
就是前述的，而与区间（0，1）的端点0，1的较大距离就是的精确度
．
（）在（0，1）中取试验点，则其精确度为，即．
（）若所取的，显见它的精确度．
所以当时定理成立．
（2）设当时定理成立，下面考虑的情况：在（0，1）中取第一试验点，再用“加两头、减中间”的办法取第二试验点
．
由于这两点对称，不妨设比较这两次试验后区间缩短为，在其中的
处已作了试验．
对于新区间，还能作次试验．再注意在其中处已作过
一次试验，并且这个点处于新区间的处，所以，可以对新区间引用时的归纳法假设（改变长度单位来看即可），因而知道，再用“加两头、减中间”的
