2018年高考数学二轮复习专题一函数与导数、不等式第5讲导数与函数零点、不等式的综合问题课件理

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班 级： 科 目： 2021届高考数学二轮总复习层级三专题二函数导数与不等式第一讲导数与函数的零点问题学案理含解 专题二 函数、导数与不等式

第一讲 导数与函数的零点问题

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f（x)＝ex－ax2.

(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2)若f（x）在（0，＋∞)只有一个零点，求a.

解：（1)证明：当a＝1时,f（x)≥1等价于(x2＋1）e－x－1≤0。

设函数g（x）＝(x2＋1）e－x－1，则g′(x）＝－（x2－2x＋1）e－x＝－（x－1）2e－x。

当x≠1时，g′(x）<0，所以g（x)在(0，＋∞)单调递减．

而g(0)＝0，故当x≥0时，g（x)≤0，即f（x）≥1。

(2）设函数h(x）＝1－ax2e－x。

f(x)在(0,＋∞）只有一个零点等价于h（x)在（0，＋∞)只有一个零点．

①当a≤0时，h（x)〉0，h(x)没有零点；

②当a〉0时，h′（x）＝ax(x－2）e－x.

当x∈(0，2）时，h′(x)<0; 当x∈（2,＋∞）时,h′(x）〉0.

所以h(x）在(0，2)单调递减，在（2，＋∞）单调递增．

故h(2）＝1－错误!是h(x)在(0,＋∞）的最小值．

（ⅰ)若h（2）〉0，即a〈错误!，h（x)在（0,＋∞)没有零点．

（ⅱ）若h（2）＝0,即a＝e24，h（x)在（0，＋∞)只有一个零点．

(ⅲ）若h(2）〈0，即a〉错误!，

因为h（0）＝1，所以h（x)在(0，2）有一个零点；

由(1)知，当x〉0时，ex〉x2，所以h(4a)＝1－错误!＝1－错误!〉1－错误!＝1－错误!〉0，故h(x)在(2,4a)有一个零点．

因此h（x）在（0，＋∞）有两个零点．

综上，当f（x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝错误!。

2．(2017·全国卷Ⅰ）已知函数f(x）＝ae2x＋（a－2)ex－x。

一、选择题

1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′(x)＞0，且f(0)＝0，f－12＝0，则不等式f(x)＜0的解集为( )

A.xx＜12 B.x0＜x＜12

C.xx＜－12或0＜x＜12 D.x－12≤x≤0或x≥12

解析 如图所示，根据图象得不等式f(x)＜0的解集为xx＜－12或0＜x＜12.

答案 C

2.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为( )

A.(－∞，0) B.(－∞，4]

C.(0，＋∞) D.[4，＋∞)

解析 条件可转化为a≤2ln x＋x＋3x恒成立.

设f(x)＝2ln x＋x＋3x，

则f′(x)＝（x＋3）（x－1）x2(x＞0).

当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，

所以f(x)min＝f(1)＝4.所以a≤4.

答案 B

3.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )

A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)

解析 ∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－12x.

令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，

∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.

答案 D

4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )

A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞)

解析 令F(x)＝f（x）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝f（x）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f（x）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A.

第1讲 函数图象与性质

高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为(

)

解析 法一 易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.

法二 当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.

答案 D

2.(2017·山东卷)设f(x)＝x，0

A.2 B.4

C.6 D.8

解析 由已知得a>0，∴a＋1>1，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2(a＋1－1)，

解得a＝14，∴f1a＝f(4)＝2(4－1)＝6.

答案 C

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )

A.f(x)在(0，2)上单调递增

B.f(x)在(0，2)上单调递减

C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析 由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝

ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案 C

4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1mxi＝（ ）

1 专题05 不等式与线性规划

与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．

备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．

1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解为{x|x>x2，或x

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解为{x|x1

(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 a<0，Δ<0.

2．(1)ab≤a＋b22(a，b∈R)；

(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)；

(3)不等关系的倒数性质

 a>bab>0⇒1a<1b；

(4)真分数的变化性质

若00，则nm

(5)形如y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点；

(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为P22；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2S.

3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；y

考点一 不等式性质及解不等式

例1、(1)已知实数x，y满足ax

A.1x2＋1＞1y2＋1 B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)

C．sin x＞sin y D．x3＞y3

【答案】D

【解析】根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．

(2)若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为( )