2019-2020学年陕西省渭南市大荔县高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ） A ．∅ B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．函数()()2log 2f x x =-+的定义域为 A ．[)2,2- B ．[]2,2-C ．()2,2-D ．(]2,2- 【答案】C【解析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可. 【详解】 要使函数()lg 2y x =++有意义， 必须满足2020x x ->⎧⎨+>⎩，解得22x -<<，函数()lg 2y x =++的定义域为()2,2-， 故答案为()2,2-,故选C. 【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 3．下列函数与函数y x =的图像相同的是 A ．2y x =B ．2x y x=C ．ln x y e =D ．ln x y e =【答案】D【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可． 【详解】 对于A ，2 y x ==|x|与y=x （x ∈R ）的对应关系不同，不是同一函数；对于B ，y=2x x=x （x≠0）与y=x （x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数； 对于C,ln xy e==x （x ＞0）与y=x （x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数．对于D ，y=lne x =x （x ∈R ），与y=x （x ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 故选：D ． 【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．4．如图，图像（折线OEFPMN ）描述了其汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）A ．第3分时汽车的速度是40千米/时B ．第12分时汽车的速度是0千米/时C ．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D ．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 【答案】C【解析】根据图像可以计算路程,再逐一判断选项正误即可. 【详解】横轴表示时间,纵轴表示速度,根据图像明显可知A,B,D 选项正确, 对于C 选项,从第3分钟到第6分钟,汽车的速度保持不变为40千米/时, 行驶的路程为340260⨯=千米,故C 选项错误, 故选:C. 【点睛】本题主要考查函数图像,需要学生读懂图像并利用其进行分析,属于简单题. 5．已知幂函数f （x ）=x a 过点（4，2），则f （x ）的解析式是（ ） A ．()2f x x =B ．()12f x x =C ．()f x 2x =D ．()xf x 2=【答案】B【解析】根据幂函数的概念设f （x ）=x α，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式． 【详解】 设f （x ）=x α，∵幂函数y=f （x ）的图象过点 （4，2）， ∴4α=2 ∴α=12． 这个函数解析式为f （x ）=12x 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题． 6．下列等式一定正确的是（ ） A ．222m n m n +⋅= B ．222m n m n ++= C ．lg()lg lg xy x y=+D ．2ln 2ln x x =【答案】A【解析】根据指数,对数运算的性质,对选项逐一判断正误即可. 【详解】根据指数运算的性质,可知222m n m n +⋅=,故A 正确,B 错误;lg()lg lg (0,0)xy x y x y =+>>,故0,0x y <<时C 选项不成立,C 错误; 2ln 2ln x x =在0x <时不成立,故D 错误,故选:A. 【点睛】本题考查指数,对数的运算性质,需要学生对基础知识掌握牢固,难度不大. 7．已知5,6()(2),6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据自变量范围代入对应解析式，解得结果. 【详解】(3)(32)(52)752f f f =+=+=-=故选：A 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.8．如图①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为 （ ）A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c【答案】B【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ）故有b ＜a ＜1＜d ＜c 故选B点睛：区别指数函数图象时，只需做出直线x=1与图像的交点，即可区别，可总结为，在第一象限内，指数函数的图象越高，底数越大，简称“底大图高”. 9．设52511log 5,(),log 22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b c a << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】52511log 5,(),log 22a b c ===Q ，22log 5log 42a =>=，50110()()122b <=<=，551log log 102<=，a ∴，b ，c 的大小关系为c b a <<．故选B ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．函数的零点所在区间是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】通过计算，判断出零点所在的区间.【详解】由于，，，故零点在区间，故选B.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题. 11．已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()12x f x g x +=+，则()1(g =)A ．32B ．2C ．52D ．4【答案】C【解析】根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可． 【详解】Q 函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()12x f x g x +=+，()()111124f g +∴+==，① ()()11011221f g -+-+-===，即()()111f g -+= ② 由+①②得()215g =， 则()512g =， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．12．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为（ ）A ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．138⎡⎢⎣⎭C ．31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,38⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.【详解】()f x 的图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，所以14x =， 所以111,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为()()12f x f x =，所以221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 所以()2212221332x f x x x ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭， 所以()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭，所以()31,162g t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查根据函数与方程的根求解取值范围，着重考查了数形结合思想的运用，难度一般.处理分段函数有关的方程根的问题，可通过图象找到自变量之间的关系，然后利用图象对应的自变量的范围完成取值范围的求解.二、填空题13．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ____. 【答案】{}|12x x <<【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】Q 集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为{x |1x 2}<<． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．某市居民用自来水实行阶梯水价，其标准为：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增.具体价格见表：则某居民家庭全年用水量(0x x ≥，单位：立方米)与全年所交水费(y 单位：元)之间的函数解析式为______【答案】4,01406280,140280101400,280x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩【解析】分0140x ≤≤；140280x <≤；280x >三种情况求表达式，再用分段函数表示． 【详解】当0140x ≤≤时，4y x =；当140280x <≤时，()414014066280y x x =⨯+-⨯=-； 当280x >时，()4140140628010101400y x x =⨯+⨯+-⨯=-，故答案为4,01406280,140280101400,280x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩．【点睛】本题考查了函数解析式的求解，依据题意分别求出不同情况下的解析式，然后写成分段函数的形式．15．已知34a b ==则11a b+=_____________． 【答案】2【解析】由指数和对数函数的运算公式，计算即可. 【详解】由3a =a=3log4b =，得b=4log .所以11a b +2=+=故答案为:2 【点睛】本题考查的是指数与对数的互化及对数公式的运算，熟练掌握公式是关键，属于基础题. 16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，且()30f -=，则不等式()0f x <的解集为_____【答案】()()3,03,-+∞U【解析】先判断()f x 在(),0-∞上递减，根据奇偶性可得()0,∞+上递减，()()330f f -=-=，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当()1212,,,0x x x x <∈-∞，()()12120f x f x x x -<-Q恒成立，()()12f x f x >； 当()1212,,,0x x x x >∈-∞，()()12120f x f x x x -<-Q恒成立，()()12f x f x <恒成立，()f x ∴在(),0-∞递减，又()f x 在R 上是奇函数， ()f x ∴在(),0-∞和在()0,∞+上递减，()()330f f -=-=由不等式()0f x <可得()()0303x x f x f >⎧⇒>⎨<=⎩，或()()03003x x f x f <⎧⇒-<<⎨<=-⎩， 不等式()0f x <的解集为()()3,03,-+∞U ，故答案为()()3,03,-+∞U . 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题17．(1) 11021()10(52)20(53)500---⨯-+⨯-(2) 21log 32531lglog 3log 2log 5ln 2100e +-⨯⨯++ 【答案】（1）0；（2）4【解析】根据实数指数幂和对数的运算公式，化简、运算，即可求解. 【详解】(1)由指数幂的运算性质，可得11021()10(52)20(53)10510520200500---⨯-+⨯-=--+=；(2)由对数的运算性质， 可得21log 32531lglog 3log 2log 5ln 2100e +-⨯⨯++=22222log 2log 512log 36log 5log 32--⨯⨯++1126422=--++=.【点睛】本题主要考查了实数指数幂和对数的运算的化简、求值问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式和对数的基本运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．已知集合，．求，； 已知，若，求实数a 的取值集合．【答案】（1）或}，（2）【解析】（1）先根据交集的定义求出，再由补集的定义求出；先求出，再由并集的定义可得结果；（2）由,,可得,解不等式组可得结论. 【详解】 (1) 或} ，=或}. (2) ，若，则解得：.【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、并集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）.19．已知函数13()13x xf x -=+. （1）判断()f x 在定义域上的奇偶性并加以证明； （2）判断()f x 在定义域上的单调性并加以证明；【答案】（1）奇函数；证明见解析（2）减函数；证明见解析 【解析】(1)根据奇偶性的定义即可判断,并用定义法证明即可; (2)根据单调性的定义或性质即可判断,并用定义法证明即可. 【详解】(1)函数()f x 在R 上为奇函数,证明如下: ∵()f x 的定义域为R ,且1113313()()1131313xx x xx xf x f x ------====-+++ ∴函数()f x 在R 上是奇函数;(2)函数()f x 在R 上为单调递减函数,证明如下: 任取12,x x R ∈且12x x <,()()()()()2112121212233131313131313x x x x x x x x f x f x ----=-=++++由函数3x y =的单调性可知21330x x ->, 而()()1213130xx ++>,故()()120f x f x ->,所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判定与证明,难度不大.解答题中一般常用定义法证明单调性与奇偶性.20．设函数22()log (2)log 16x f x x =⋅. （1）解方程()60f x +=；（2）设同时满足不等式783224x x --„和7678122xx --⎛⎫ ⎪⎝⎭„的x 的取值范围为M ，求函数()()f x x M ∈的值域.【答案】（1）{2|x x =或}4x =；（2）25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】(1)化简后解关于2log x 的二次方程即可;(2)求出M 的范围后,再将()f x 换元成二次函数求解值域即可. 【详解】(1)()60f x +=,即()()221log log 460x x +-+=, ∴()222log 3log 20x x -+=, ∴2log 1x =或2log 2x =, 解得2x =或4x =,∴原方程的解集为{2|x x =或}4x =;(2)不等式组783278647667787824786422167782222x x x x x x x x x x x x --------⎧≤-≤-⎧≤⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎛⎫-≤-≤≤⎩⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩, 故其解集为{}|14M x x =≤≤,()()()2222222()log (2)log log 1log 4log 3log 416x f x x x x x x ==+-=--, 令2log (14)x t x =≤≤,则02t ≤≤, 所以234y t t =--(02t ≤≤)的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦, 所以函数22()log (2)log ()16x f x x x M =∈的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查指数,对数运算,考查求对数型复合函数的值域,属于中档题.遇见对数函数与二次函数结合的复合型函数,常采用换元法求其值域.21．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点(0,1)，且与x 轴有唯一的交点(1,0)-.（1）求()f x 的表达式；（2）设函数()()F x f x mx =-，若()[2,2]F x -在区间上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）设函数()(),[2,2]g x f x kx x =-∈-，记此函数的最小值为()h k ，求()h k 的解析式.【答案】（1）2(1)2f x x x =++（2）2m ≤-或6m ≥（3）见解析【解析】试题分析：（1）由已知条件分别求出,,a b c 的值，得出解析式；（2）求出函数()F x 的表达式，由已知得出区间[]22-,在对称轴的一侧，进而求出m 的范围；（3）函数2()(21)g x x k x =+-+，对称轴22k x -=，图象开口向上，讨论不同情况下()g x 在[]22-,上的单调性，可得函数()g x 的最小值()h k 的解析式．试题解析：（1）依题意得1c =，12ba-=-，240b ac -= 解得1a =，2b =，1c =，从而()221f x x x =++； （2）()()221F x x m x =+-+，对称轴为22m x -=，图象开口向上 当222m -≤-即2m ≤-时，()F x 在[]2,2-上单调递增， 当222m -≥即6m ≥时，()F x 在[]2,2-上单调递减，综上，2m ≤-或6m ≥（3）()()221g x x k x =+-+，对称轴为22k x -=，图象开口向上 当222k -≤-即2k ≤-时，()g x 在[]2,2-上单调递增， 此时函数()g x 的最小值()()221h k g k =-=+ 当2222k --<<即26k -<<时，()g x 在22,2k -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减， 在2,22k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 此时函数()g x 的最小值()22424k k k h k g --⎛⎫==-⎪⎝⎭； 当222k -≥即6k ≥时，()g x 在[]2,2-上单调递减， 此时函数()F x 的最小值()()292h k g k ==-；综上，函数()g x 的最小值()221,24,26492,6k k k kh k k k k +≤-⎧⎪-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 点睛：本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数在定区间上的最值问题，属于中档题．解答时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转换．。
