2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．函数
()()
1
x
f x
x R
x
=∈
+，以下四个结论正确的是（）
A．()
f x的值域是()
1,1
-
B．对任意x∈R，都有
()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
C．若规定()()()()
()
11
,
n n
f x f x f x f f x
+
==，则对任意的()
,
1
n
x
n N f x
n x
*
∈=
+ D．对任意的[]1,1
x∈-，若函数()21
2
2
f x t at
≤-+恒成立，则当[]1,1
a∈-时，2
t≤-或2
t≥
【答案】ABC
【分析】
由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.
【详解】
由函数解析式可得
1
1,0
1
()
1
1,0
1
x
x
f x
x
x
⎧
-≥
⎪⎪+
=⎨
⎪-<
⎪-
⎩
，有如下函数图象：
∴()
f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()
12
12
f x f x
x x
-
>
-
(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；
对于C，有()
11
x
f x
x
=
+，若
()
1
,
1(1)
n
x
n N f x
n x
*
-
∈=
+-，
∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||
n n x
x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有
(),1n x
n N f x n x
*∈=
+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2
f x f ==
，若函数()2
122f x t at ≤-+恒成立，即有
211
222
t at -+
≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；
0t =时，()0h a 故恒成立；
0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；
综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：
1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.
2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.
3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.
2．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】BC 【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】
令cos2t x =，则12222t
t
t t y -=-=-
，显然函数12222t t t
t
y -=-=-为增函数，
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，
因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222t
t
t t
y -=-=-
在cos2[1,1]t x =∈-时，33
22
y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦； 因为cos2()
cos2(cos2c )os222
)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，
所以()f x 的一个周期为π，
因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，令sin 2sin 22(2
)x x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)x x h x --=上任意一点， 则(,)2P x y π
'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2()
)
2
2
sin 2sin 2(
)2
2
2
22x x x x h y x y π
π
π
-----=-==≠--，
知点(
,)2
P x y π
'--不在函数图象上，
故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.
3．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取
值为( ) A ．1 B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，
0x ≥时，()x f x e x b =+-，
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，
