完全平方公式教学设计

《完全平方公式》教学设计一、教材分析本节内容是初中数学（人教版）上册第十四章《整式的乘法与因式分解》中的14.2《完全平方公式》。

它是继多项式乘法及平方差之后的重要教学内容，它既是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是乘法公式中的第二个公式，是学生认识公式结构，逐步形成符号意识，产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例.二、教材设计的思想方法教材按照学生的认知规律，从具体到抽象由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证,最后建立数学模型,使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。

逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。

由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。

三、学情分析我们主要从三个方面对学生的情况进行了分析，①认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。

但是对于几何图形如何用代数来表示从而表示图形的面积,学生会有一定的困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现（a+b）2 = a2+b2,（a-b）2 = a2-b2的问题,对公式中a、b的理解,对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。

②活动经验基础:在平方差公式一节中,学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。

③心理特征:初中阶段的学生逻辑思维能力观察能力.记忆能力和想象能力都有定的局限性,感性认识往往表现比较突出很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时,这一阶段的学生好动,注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形,引发学生的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面,发挥学生学习的主动性,要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。

完全平方公式教学目标1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)教学过程一、情境导入计算：(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m ＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便计算利用完全平方公式计算：(1)992; (2)1022.解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.(1)求1x2＋1y2的值；(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴1x2＋1y2＝x2＋y2x2y2＝（x＋y）2－2xyx2y2＝9－2×222＝54；(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．【类型六】与完全平方公式有关的探究问题下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a ＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1.4.6.4.1；(a＋b)5的各项系数依次为1.5.10.10.5.1；因此(a＋b)6的系数分别为1.6.15.20、15.6.1，故填20.方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．三、板书设计1．完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．完全平方公式的运用教学反思本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

请你用所学的公式解释自己的结论。
(1)第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
(a -b)2=a2－2ab+b2
师：想一想上节课学的103×97怎样用简便方法计算？
教师出示正确答案。
103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991；
生：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
生：可以利用平方差公式进行简便运算。
本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用.
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，
3.情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美。
重点
能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

完全平方公式教学设计教学目标：1.理解完全平方公式的概念和意义；2.能够熟练运用完全平方公式解决问题；3.培养学生的逻辑思维和解问题的能力。

教学准备：1.教师准备课件和黑板；2.学生准备纸笔。

教学过程：一、导入（10分钟）教师利用幻灯片或示意图展示一个长方形，并问学生长方形的面积是多少。

学生答案后，教师告诉学生可以使用完全平方公式来求解长方形的面积。

二、引入（10分钟）教师介绍完全平方公式，给出公式的推导过程，并解释完全平方公式的意义。

然后给学生举例说明完全平方公式的应用。

三、讲解（20分钟）1.什么是完全平方公式？教师向学生解释完全平方公式是指一个二次多项式能够写成一个平方的形式。

2.完全平方公式的推导过程。

教师用幻灯片或黑板向学生展示完全平方公式的推导过程，并简单解释每一步的含义。

3.完全平方公式的形式。

教师向学生展示完全平方公式的一般形式，并逐步解释各个变量的含义，并给出示例进行说明。

四、演练（30分钟）1.基础练习。

教师给学生一些基础的算术问题，要求学生利用完全平方公式解答。

学生在纸上解答，并与教师进行讨论。

2.应用题练习。

教师给学生一些实际问题，要求学生运用完全平方公式解决。

教师可以给予学生一些提示和指导，引导学生思考和解决问题。

五、总结与拓展（10分钟）教师与学生一起总结完全平方公式的应用和意义，并举一些实际问题进行拓展，激发学生的思考和兴趣。

六、作业布置（5分钟）教师布置以完成一些完全平方公式相关题目的作业，包括基础练习和应用题。

并鼓励学生自主阅读相关的数学书籍和网站，进一步掌握完全平方公式的运用。

教学心得：完全平方公式是中学数学中重要的概念，掌握了完全平方公式，学生可以更好地理解二次函数和二次方程的性质和运算。

本教学设计利用多种教学手段，如幻灯片、黑板等，将完全平方公式的概念和应用进行了系统的介绍和讲解，能够帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

通过练习和应用题的进行，可以帮助学生将理论知识运用到实际问题中，培养学生解决问题的能力。