2020-2021新课标高考理科数学基本初等函数、函数与方程典型试题详解突破(8页)

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2020高考真题分类汇编：函数与方程一、选择题1.【2020高考真题重庆理7】已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“)(x f 为]1,0[上的增函数”是“()f x 为]4,3[上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件【答案】D【解析】因为)(x f 为偶函数，所以当)(x f 在]1,0[上是增函数，则)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 的周期是4，所以在区间]4,3[也为减函数.若)(x f 在区间]4,3[为减函数，根据函数的周期可知)(x f 在]0,1[-上则为减函数，又函数)(x f 为偶函数，根据对称性可知，)(x f 在]1,0[上是增函数，综上可知，“)(x f 在]1,0[上是增函数”是“)(x f 为区间]4,3[上的减函数”成立的充要条件，选D.2.【2020高考真题北京理8】某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

m 值为（ ）A.5B.7C.9D.11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。

3.【2020高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1()D ()f x x =-【答案】C【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。

【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件．4.【2020高考真题天津理4】函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 5.【2020高考真题全国卷理9】已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.6.【2020高考真题新课标理10】 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B【解析】排除法，因为022ln 1)2(<-=f ，排除A.02ln 12121ln 1)21(<=+=-e f ，排除C,D ，选B.7.【2020高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. 1y x =+B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A 非奇非偶的增函数；B 是奇函数且是减函数；C 是奇函数且在)0,(-∞，),0(+∞上是减函数；D 中函数可化为⎩⎨⎧<-≥=0,0,22x x x x y 易知是奇函数且是增函数.故选D. 8.【2020高考真题重庆理10】设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B I 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π【答案】D【解析】由0)1)((≥--x y x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-010x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知B A I 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π，选D. 9.【2020高考真题山东理3】设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若函数xa x f =)(在R 上为减函数，则有10<<a 。

第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。

课时规范练(授课提示：对应学生用书第231页) A组基础对点练1．已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(C)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)2．(2017·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(D) A．(0,1) B．(1,2)C．(－2，－1) D．(－1,0)3．(2018·重庆模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的大致图象．由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C.4．(2017·贵阳模拟)函数f(x)＝lg x－sin x在(0，＋∞)上的零点个数是(C)A．1 B．2C．3 D．45．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(D)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}6．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(A)A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内7．(2018·台州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)D ．[－1,0)8．(2018·济南一模)设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a ＞1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( D ) A ．[4，＋∞) B ．(4，＋∞) C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：由x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a ＞1)，可知x 1是方程a x＝1x 的解，x 2是方程1x ＝log a x 的解．则x 1，x 2分别为函数y ＝1x 的图象与函数y ＝a x 和函数y ＝log a x 的图象交点的横坐标．设交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，由a ＞1，知0＜x 1＜1，x 2＞1.又因为y ＝a x 和y ＝log a x 以及y ＝1x 的图象均关于直线y ＝x 对称，所以两交点一定关于y ＝x 对称．由于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1关于直线y ＝x 的对称点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，x 1，所以x 1＝1x 2，有x 1x 2＝1，且x 1≠x 2.则x 1＋4x 2＝x 1＋x 2＋3x 2≥2x 1x 2＋3x 2＞2＋3＝5，即x 1＋4x 2∈(5，＋∞)．9．(2018·洛阳二模)已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的取值范围是( A ) A ．[2－4ln 2，＋∞) B ．(2－4ln 2，＋∞) C ．(4－2ln 2，＋∞)D ．[4－2ln 2，＋∞)解析：∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，∴直线y ＝(2－a )(x －1)与y ＝2ln x 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无交点， ∴(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1≥2ln 12，解得a ≥2－4ln 2.故选A.10．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝( B ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．412．(2018·黔东南州一模)已知函数f (x )＝log 2x ＋2x －m 有唯一零点，如果它的零点在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是 (2,5) ． 解析：因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (1)f (2)＜0，即(2－m )(5－m )＜0，解得2＜m ＜5.13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥1，ln (1－x )，x ＜1有两个零点，则实数a 的取值范围是 [1，＋∞) ．解析：当x ＜1时，令ln(1－x )＝0，解得x ＝0，故f (x )在(－∞，1)上有1个零点，所以f (x )在[1，＋∞)上有1个零点．当x ≥1时，令x －a ＝0，得a ＝x ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．14．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为 10 .解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是 (－∞，0)∪(1，＋∞) ．解析：令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．B 组 能力提升练1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m2．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( A ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜03．(2018·凯里市三模)已知实数a ＞1，若函数f (x )＝log a x ＋x －m 的零点所在区间为(0,1)，则m 的取值范围是( D ) A ．(1,2) B ．(－∞，2) C ．(0,1)D ．(－∞，1)解析：当a ＞1时，函数f (x )为增函数，若函数f (x )的零点所在区间为(0,1)，当x →0时，f (x )＜0，则只需要f (1)＞0，即可，则f (1)＝0＋1－m ＞0，得m ＜1.4．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a(x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( C ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 5．(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( C ) A.14 B ．18 C ．－78D ．－386．(2017·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( A ) A.1e ＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜107．(2018·张掖模拟)已知函数f (x )＝2e |x －2|－12a (2x －2＋22－x )－a 2有唯一零点，则负实数a ＝( A ) A ．－2 B ．12 C ．－1D ．12或－1解析：设x －2＝t ，则函数h (t )＝2e |t |－12a (2t ＋2－t )－a 2有唯一零点，则2e |t |－12a (2t ＋2－t )＝a 2，设g (t )＝2e |t |－12a (2t ＋2－t )， ∵g (－t )＝2e |t |－12a (2t ＋2－t )＝g (t )，∴g (t )为偶函数， ∵函数f (t )有唯一零点，∴y ＝g (t )与y ＝a 2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴2－a ＝a 2，解得a ＝－2或a ＝1(舍去)，故选A.8．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C ) A ．－12 B ．13 C.12D ．19．(2017·郑州质量预测)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( D )A ．[2,4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]10．(2018·甘肃一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少6个零点，则a 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 解析：当a ＞1时，作函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象如下，结合图象可知， ⎩⎨⎧log a |－5|<1，log a |5|<1， 故a ＞5；当0＜a ＜1时，作函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象如下，结合图象可知，⎩⎨⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.11．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 (3，＋∞) ． 解析：f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2＜m ，解之得m ＞3或m ＜0，又m ＞0，所以m ＞3.12．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为 2 .解析：因为f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．13．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为 2 .解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.14．(2018·门头沟区一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ≥a ，－(x －3a ＋1)2＋(2a －1)2＋a ，x <a ，若存在正实数b 使得g (x )＝f (x )－b 有四个不同的零点，则正实数a 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 .解析：∵y ＝|ln x |在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当x ＝1时，y 取得最小值0，∴|ln x |＝b (b ＞0)最多有两解，∵y ＝－(x －3a ＋1)2＋(2a －1)2＋a 在(－∞，3a －1)上单调递增，在(3a －1，＋∞)上单调递减，且当x ＝3a －1时，y 取得最大值为(2a －1)2＋a ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －382＋716＞0，∴－(x －3a ＋1)2＋(2a －1)2＋a ＝b (b ＞0)最多有两解， ∵g (x )＝f (x )－b (b ＞0)有4个不同的零点，∴y ＝|ln x |在[a ，＋∞)上不单调，y ＝－(x －3a ＋1)2＋(2a －1)2＋a 在(－∞，a )上不单调， ∴⎩⎨⎧0<a <1，3a －1<a ，解得0<a <12.。

2020-2021普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，， 【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，∴{}0123A B =，，，，故选C ．（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m= （A ）8-（B ）6-（C ）6 （D ）8【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈， 故选B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ．（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A 2 （B ）32（C 3 （D ）2 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====--- 故选A ．（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】B由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x +='=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b =． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．X0.85aa 1.25a 1.5a 1.75a 2a P0.300.150.20 0.200.100.05平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=. （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF DH'⊥．∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，， ∴12129575cos 5210n n n n θ⋅+===⋅， ∴295sin θ=（20）（本小题满分12分）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM +=所以3AN k k=+因为2AM AN =所以23kk=+，整理得，23632k ktk-=-．因为椭圆E的焦点在x轴，所以3t>，即236332k kk->-，整理得()()23122k kk+-<-2k<<．（21）（本小题满分12分）(I)讨论函数2(x)e2xxfx-=+的单调性，并证明当0x>时，(2)e20;xx x-++>(II)证明：当[0,1)a∈时，函数()2e=(0)x ax ag x xx-->有最小值.设()g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域.【解析】⑴证明：()2e2xxf xx-=+()()()22224ee222xxx xf xx x x⎛⎫-' ⎪=+=⎪+++⎝⎭∵当x∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x'>∴()f x在()()22,-∞--+∞，和上单调递增∴0x>时，()2e0=12xxfx->-+∴()2e20xx x-++>⑵()()()24e2ex xa x x ax ag xx----'=()4e2e2x xx x ax ax-++=()322e2xxx axx-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a∈，由(1)知，当0x>时，()2e2xxf xx-=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e2ttat-⋅=-+，(]02t∈，当(0,)x t∈时()0g x'<，()g x单调减；当(,)x t∈+∞时()0g x'>，()g x单调增()()()222e1ee1e22t tt ttta t th at t t-++⋅-++===+记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠DF CF DG BC= ∵DE DG =，CD BC =∴DF CF DG BC= ∴GDF BCF △∽△∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l 的斜率． 【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k =． （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立； 当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<． 综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．。

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》复习试卷及答案解析一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A.2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( )A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(5,6)答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋2x －6，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续，因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)，即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C.3．(2020·模拟)函数f ()x ＝2x －1x零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1x 的图象，如图所示．函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1x的交点个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C 解析 依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12<0，个数是1. 故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为3. 故选D.。

2020-2021高考文科数学基本初等函数、函数与方程真题详解突破第2讲 基本初等函数、函数与方程(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·朝阳区模拟)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．y ＝2xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝x 3D ．y ＝cos x解析 选项A ，y ＝2x 是非奇非偶函数，且没有零点；选项B ，y ＝|x |＋1没有零点；选项C ，y ＝x 3是奇函数；选项D ，∵cos(－x )＝cos x ，∴y ＝cos x 是偶函数，又cos x ＝0有解，∴y ＝cos x 既是偶函数又存在零点．故选D.答案 D2．(2019·济南模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析 根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f (x )＝2x－2x －a 在区间(1，2)内是增函数，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，所以f (1)＜0，f (2)＞0，得0＜a ＜3.答案 C3．(2019·安徽A10联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋5，x ≤3，log a x ，x ＞3(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )无最小值，则实数a 的值不可能为A.12B.32 C ．2 D ．4解析 由题意得，当0＜a ＜1时，函数f (x )无最小值，符合题意；当a ＞1时，若函数f (x )无最小值，数形结合可知，log a 3＜2，解得a ＞ 3.综上所述，实数a 的取值范围为(0，1)∪(3，＋∞)．故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足0＜b ＜1＜a ，则n 的值为A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析 由题意得函数f (x )＝a x ＋x －b 为增函数，常数a ，b 满足0＜b ＜1＜a ，所以f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，所以函数f (x )＝a x ＋x －b 在(－1，0)内有一个零点，故n ＝－1.答案 D5．(2019·郑州模拟)某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量＝累计耗电量累计里程，剩余续航里程＝剩余电量平均耗电量) 下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是A ．等于12.5B ．在12.5到12.6之间C ．等于12.6D ．大于12.6解析 4 100×0.126－4 000×0.125＝516.6－500＝16.6.故选D.答案 D6．(2019·杭州模拟)设m ，n ∈Z ，已知函数f (x )＝2－|x |＋2的定义域是[m ，n ]，值域是[1，4]，当m 取最小值时，函数g (x )＝ln(x 2－e)＋m ＋1零点的个数为A ．2B ．3C ．1D ．0解析 因为f (x )＝2－|x |＋2的值域是[1，4]，所以0≤－|x |＋2≤2，所以－2≤x ≤2.因为函数f (x )＝2－|x |＋2的定义域是[m ，n ]，所以m 的最小值为－2.此时g (x )＝ln(x 2－e)－2＋1＝ln(x 2－e)－1，令g (x )＝0，解得x ＝2e 或x ＝－2e ，即函数g (x )有两个零点．故选A.答案 A7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析 因为f (x )是奇函数，且在R 上递增，所以x ＞0时，f (x )＞0，从而g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，所以，2＜log 25.1＜3，即0＜20.8＜log 25.1＜3，g (20.8)＜g (log 25.1)＜g (3)，所以b ＜a ＜c .答案 C8．(2019·武汉模拟)一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．若该病毒占据64 MB 内存(1 MB ＝210KB)，则开机后经过的时间为A ．45分钟B ．44分钟C ．46分钟D ．47分钟解析 因为开机时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据22KB ，2个3分钟后占据内存23KB ，3个3分钟后占据内存24KB ，故n 个3分钟后，所占内存是2n ＋1KB ，则应有2n ＋1＝64×210＝216.所以n ＝15.所以开机后经过的时间为15×3＝45(分钟)．故选A.答案 A9．(2019·郑州第二次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x ＞0(a ∈R )．若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1] 解析 画出函数f (x )的大致图象如图所示，因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需1－a ≥0，即a ≤1；当x ＞0时，f (x )有一个零点，需－a ＜0，即a ＞0.综上，0＜a ≤1.故选A.答案 A10．(2019·德阳三诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02－t 30，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升解析 因为当t ∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2， 因为p (t )＝p 02－t 30，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．答案 C11．(2019·福州质检)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，若在区间(－2，6)内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a ＞0且a ≠1)有且只有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞) 解析 因为f (x ＋2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期为T ＝4.在区间(－2，6)内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a ＞0且a ≠1)有且只有4个不同的零点，等价于关于x 的方程f (x )＝log a (x ＋2)(a ＞0且a ≠1)有且只有4个不同的根，等价于函数f (x )的图象与h (x )＝log a (x ＋2)的图象的交点个数为4，显然a ＞1.画出两函数的大致图象，如图．由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a （6＋2）＜1，a ＞1，解得a ＞8. 答案 D12．(2019·烟台三模)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3 19·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3 19，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析 因为当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )＜0成立，即[xf (x )]′＜0，所以g (x )＝xf (x )在(－∞，0)上是减函数．又因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0，0)对称，所以函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (x )＝xf (x )是定义在R 上的偶函数，所以g (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为30.3＞1＞log π3＞0＞log 3 19＝－2， 2＝－log 3 19＞30.3＞1＞log π3＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 3 19f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 3 19＞30.3·f (30.3)＞(log π3)·f (log π3)， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3 19f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3 19＞30.3·f (30.3)＞(log π3)·f (log π3)，即c ＞a ＞b .故选B. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·长春三模)若直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x ＞m )共有三个不同根．∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m ＜2时满足条件．答案 [－1，2)14．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg(n A)来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<P A<5.5.其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)解析当n A＝1时P A＝0，故①错误；若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；设B菌的个数为n B＝5×104，∴n A＝10105×104＝2×105.∴P A＝lg(n A)＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5<P A<5.5，故③正确．答案③15．(2019·信阳二模)若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x ＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________．解析直线y＝x＋1关于原点对称直线为y＝x－1，∴方程log2(2x－m)＝x－1，即m＝2x－1在(2，＋∞)上有解，所以m>2，∵2x －m>0恒成立，所以m<(2x)min，∴m≤22＝4，∴m∈(2，4]．答案(2，4]16．(2019·厦门模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中正确结论的所有序号为________．解析甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以①不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以③正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以⑤正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以④正确．答案③④⑤。

2020年新课标全国高考理科数学9年真题分类汇编（专题8）8．函数与导数一、考试大纲1．函数(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.(5)会运用函数图像理解和研究函数的性质.2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0a >，且1a ≠). 4．幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =,了解它们的变化情况. 5．函数与方程(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.7．导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 8．导数的运算(1)能根据导数定义求函数y C = (C 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =导数.(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如()f ax b + 的复合函数)的导数.常见基本初等函数的导数公式：常用的导数运算法则：法则1：[()g()]()g ()f x x f x x '''±=±； 法则2：[()g()]()g()()g ()f x x f x x f x x '''⋅=+； 法则3：2()()g()()g ()[](g()0)g()[g()]f x f x x f x x x x x ''−'=≠. 9．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).10．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题. 11．定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.二、新课标全国卷命题分析函数与导数部分在新课标全国卷中占比非常大，小题部分主要考查函数的性质：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，这是重点内容。

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两件商品,那么应付款元.9.函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两局部:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v -c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d =100,面积S =时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最||少.思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,假设方程f(g(x))=0,g(f(x)) =0的实根个数分别为m,n,那么m +n =()A.18B.16C.14D.1212.函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),那么函数y =f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.设函数f(x)=①假设a =1,那么f(x)的最||小值为;②假设f(x)恰有2个零点,那么实数a的取值范围是.14.一家公司生产某种品牌服装的年固定本钱为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最||大.(注:年利润=年销售收入-年总本钱)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x =2 000.假设乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最||大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最||大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最||大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?参考答案专题能力训练6函数与方程及函数的应用能力突破训练1.B解析由题意得f(x)单调递增,f(1)= -1<0,f(2)=>0,所以f(x)= -+log2x的零点落在区间(1,2)内.2.C解析依题意得g-2<0,g=1>0,那么x2假设f(x)=1-10x,那么有x1=0,此时|x1-x2|>,因此选C.3.B解析设AD长为x cm,那么CD长为(16-x)cm,又因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,那么矩形ABCD的面积S =x(16-x).当0<a≤8时,当且仅当x =8时,S =64,当8<a<12时,S =a(16-a),即f(a)=画出分段函数图形可得其形状与B接近,应选B.4.C解析因为f(x)=e-2|x -1|+2sin=e-2|x -1|-2cosπx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x =1对称.当x∈[1,5]时,函数y =e-2(x -1)∈(0,1],且单调递减;函数y =2cosπx∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y =e-2(x -1)与y =2cosπx有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,应选C.5.C解析由函数f(x)是奇函数且满足f(2-x)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x =1+2k(k∈Z)成轴对称,关于点(2k,0)(k∈Z)成中|心对称.当0<x≤1时,令f(x)=ln x +2=0,得x =,由此得y =f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,2,2+,-+4,4,共9个零点.应选C.6.f(a)<f(1)<f(b)解析由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,那么函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2= -1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a ∈(0,1).由题意,知g'(x)=+1>0,那么函数g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g(1)=ln1+1-2= -1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,那么函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).7.(-∞,0)∪(1,+∞)解析要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y =b 有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y =b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y =b有两个不同的交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上递增,在区间(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y =b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.8.520解析设商品价格为x元,实际付款为y元,那么y =整理,得y =∵0.9×200=180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x =100+500=600时,y =100+0.7×600=520,即假设丙一次性购置A,B两件商品,那么应付款520元.9.解(1)g(x)=+2=+2,因为|x|≥0,所以0<1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x--2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x--2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±因为2x>0,所以2x=1+,即x =log2(1+).10.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v -c| +,故y =(3|v -c| +10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y =(3c -3v +10)=-15;当c<v≤10时,y =(3v -3c +10)=+15.故y =①当0<c时,y是关于v的减函数.故当v =10时,y min=20-②当<c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v =c时,y min=思维提升训练11.A解析由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m =9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n =9,∴m +n =9+9 =18,应选A.12.A解析因为f(x)=所以f(2-x)=f(2-x) =f(x)+f(2-x)=所以函数y =f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=其图象如下列图.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.①-1[2,+∞)解析①当a =1时,f(x)=当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x -1)(x -2)∈[-1,+∞).故f(x)的最||小值为-1.②假设函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,那么a>0,并且当x =1时,f(1) =2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x -a)(x -2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1.假设函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,那么函数f(x)=4(x -a)(x -2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x -a)(x -2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x -a)·(x -2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2 =2a都满足题意.综上,a的取值范围为[2,+∞).14.解(1)当0<x≤10时,W =xR(x)-(10+2.7x)=8.1x --10;当x>10时,W =xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.故W =(2)①当0<x≤10时,由W' =8.1-=0,得x =9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x =9时,W取得最||大值,即W max=8.1×9-93-10=38.6.②当x>10时,W =98-98-2=38,当且仅当=2.7x,即x =时,W取得最||大值38.综合①②知:当x =9时,W取得最||大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最||大.15.解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w =2000-sq(q≥0).因为w =2000-sq = -s,所以当q =时,w取得最||大值.所以乙方取得最||大利润的年产量q =t.(2)设甲方净收入为v元,那么v =sq -0.002q2,将q =代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v =又v' = -,令v' =0得s =20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s =20时,v取得最||大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最||大净收入.。