【创新方案】2013年高考数学一轮复习 矩阵与变换 矩阵与变换教案 理 新人教版选修4-2

14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤132 4.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程． 解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点， 设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以⎩⎨⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y 2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y 2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。

一、考纲要求1、初步了解三阶或高阶矩阵；2、了解矩阵的简单问题．二、知识梳理【回顾要求】一、阅读苏教版教材选修4-2中第74—79页，完成以下任务：阅读苏教版教材选修4-2中第74—79页，完成以下任务：1.在数学中，通常把像右图这样表示关系的图形称为 ，它反映的交通状况是从一个城市出发直达另一个城市，其中的交点C B A ,,称为 ．2. 所对应的反映直达交通情况的矩阵叫做 ，而从某个结点出发，先经过一个结点，再到达另外一个结点的交通情况的叫做称为 ．3.对于二阶矩阵A ，它的特征值分别为21,λλ，其对应的特征向量分别为21,αα，若当非零向量21ααβn m +=，则=βk A 4.求βnA 的一般步骤为：第一步：求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；第二步：把向量β用特征向量α线性表示，即 ；第三步：由公式βκA = 计算．【要点解析】1.一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达．2.矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征值与特征向量计算．3.有关数列的递推关系由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n b a M b a 11得转移矩阵M,因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111b a M b a n n n ，可利用矩阵的特征值与特征向量的性质求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n b a【教学建议】本题选自课本第78页的例6模型，主要是帮助学生复习矩阵的特征值与特征向量教学过程处理：:这里的知识梳理题全部是课本例题中的模型求解,可以加强学生解模的训练.三 、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成2道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1、设数列{}{}n n b a ,满足n n n n n b b b a a 2,2311=+=++，且满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n b a M b a 22，则二阶矩阵=M 【分析与点评】数列问题计算公式如何用矩阵来表示【教学建议】分析建立模型是重点引导问题:问题1：n n n n n b b b a a 2,2311=+=++关系用矩阵如何表示？问题2：22,++n n b a 用n n b a ,如何表示，对应的矩阵是什么？问题3：二阶矩阵M 的本质是什么？诊断点评：数列题中利用项与项之间的线性关系,再将线性关系转化为矩阵的乘法形式.题2、设某校午餐有B A ,两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的几率是53；订B 便当的人，第二天再订B 便当的几率为54，已知星期一有%40的同学订了A 便当，%60的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的几率是多少？【分析与点评】设=M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡54525153，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡62541462521153521258612578125391254753523M 四、范例导析 例1、研究观察某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8， 若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区 4月20日清晨天气预报当天的概率为0.6.（1）4月21日为晴天的概率是多少？（2）5月1日为晴天的概率是多少？【教学处理】要求学生独立思考并解题，建立模型过程由学生回答问题，解模时由学生板演老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．【引导分析与精讲建议】用矩阵表示出第n+1天和第n 天的天气情况教学过程处理：将学生的书写进行投影并讨论．引导问题:问题：如何表示今天和明天的天气情况？列出线性关系再列出矩阵关系答案：（1）0.64（2）32 【说明】二阶矩阵与平面向量乘积的知识,以及特征值与特征向量的应用.例2. 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过 10 个环节，把由数字 0,1 构成的数字信号 由发生端传到接受端．已知每一个环节会把 1 错转为 0 的概率为 0.3，把 0 错转为 1 的概 率为 0.2，若发出的数字信号中共有 10000 个 1，5000 个 0．问： （1）从第 1 个环节转出的信号中 0,1 各有多少个？（2）最终接受端收到的信号中 0,1 个数各是多少？(精确到十位)（3）该同学为了完善自己的仪器，决定在接受端前加一个修正器，把得到的 1 和 0 分别 以一定的概率转换为 0 和 1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接受到的 0 和 1 的个数与发出的信号相同．【教学处理】要求学生合作讨论，建立模型过程由学生回答问题，解模时由学生口述老师板书．【引导分析与精讲建议】引导问题:问题1.题数字错转的转移矩阵为？解析：（1）从第1个环节转出的信号中，0的个数为：10000×0.3+5000×0.8=7000（个）1的个数为：10000×0.7+5000×0.2=8000（个） （2）数字错转的转移矩阵为A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8.03.02.07.0，1和0的个数对应列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000， 于是最终接受端收到的信号中1，0个数对应矩阵A 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000，同理，把λ=0.5代入上述方程组得x+y=0，不妨设x=1，可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11．又设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1132500010000n m ， 于是⎩⎨⎧-=+=n m n m 35000210000，求得⎩⎨⎧==40003000n m ， 所以A 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000=3000•110⎥⎦⎤⎢⎣⎡32+4000•0.510⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+10105.0*400090005.0*40006000≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡90006000， 于是，最终接受端收到的信号中0约有9000个，1约有6000个（3）设修正器的转移矩阵为B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t s t s 11（0＜s ＜1，0＜t ＜1），则由题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t s t s 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡90006000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡500010000于是得到6s-9t+4=0∵0＜s ＜1，0＜t ＜1注：第（3）问答案不惟一，只要满足方程6s-9t+4=0（0＜s ＜1，0＜t ＜1）的s ，t 均可．五、解题反思1例题1围绕着矩阵的特征值特征向量模型展开，例题2围绕着矩阵变换形式与逆矩阵展开．难点在于建模.认真审题,读懂变量及其线性关系是攻克难点所在.2 注意问题的实际背景.。