浙江省杭州市数学高考理数真题试卷(广东卷)

2013年浙江省高考数学试卷（理科）一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）B ．C．D．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）x k9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=_________．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_________cm3．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=_________．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_________种（用数字作答）15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于_________．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的三角函数的图像与性质．φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f （0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）图表型．根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．∴a=4，6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A B．C．D．由题意结合sinα+cosα=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A∠ABC=90°B∠BAC=90°C AB=AC D AC=BC计算题；平面向量及应用．以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查x k极小值还是极大值即可得结论．解：当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当＜x＜1时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：二项式的展开式的通项公式为 T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3．先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24（cm3）故答案为：24本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．答案．解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）最后乘以2即可．解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．故答案为：480．本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．圆锥曲线的定义、性质与方程．由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．压轴题；解三角形．作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．压轴题；平面向量及应用．由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD 的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．计算题；空间位置关系与距离；空间角．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴．∴三角形ABD的面积．∴=，当且仅当时取等号，故所求直线l1的方程为．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．小．解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．从而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．又=故．当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．又=．所以当时，f（x1）＞|f（2）|．故．当时，f（x1）≤|f（2）|．故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．综上所述|f（x）|max=．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2019 年浙江省高考数学试卷一、：本大共10 小，每小 4 分，共 40 分。

在每小出的四个中，只有一是符合目要求的。

1．已知全集 U{ 1 ， 0， l ， 2， 3} ，集合 A {0 ， 1， 2} ， B { 1 ， 0， 1} ， (e U A) B （）A．{ 1}B．{0 ，1}C．{ 1，2， 3}D． { 1，0，1， 3}2．方程x y0 的双曲的离心率是（）A ．2B ． 1C． 2 D ．2 2x 3 y 4⋯03．若数x，y足束条件 3x y 4,0 ， z3x 2 y 的最大是（）x y⋯0A ．1B． 1C．10 D ．124．祖是我国南北朝代的大科学家，他提出的“ 既同，不容异”称祖原理，利用原理可以得到柱体的体公式V柱体sh ，其中s是柱体的底面，h 是柱体的高．若某柱体的三如所示，柱体的体是（）A ． 158B． 162C．182 D ． 3245．若 a 0 ， b 0 ，“a b, 4 ”是“ ab, 4 ”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐系中，函数y1， y 1og a ( x 1) ， ( a0 且 a1) 的象可能是（）a x27． 0a 1 ．随机量X的分布列是X0a1P111333当 a 在(0,1)内增大，（）A． D(X) 增大B． D(X)减小C． D( X ) 先增大后减小D． D ( X ) 先减小后增大8．三棱 V ABC 的底面是正三角形，棱均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．直 PB 与直AC 所成角，直 PB 与平面ABC所成角，二面角 P AC B 的平面角，（）A ．，B ．，C．，D．，x, x0,若函数 y f (x) ax b 恰有 39．a， b R ，函数 f (x) 1 312⋯个零点，（）x(a 1)x ax, x 032A ． a 1 ， b0B ． a1， b0C． a 1 ， b0D． a1， b 010．a， b R ，数列 { a n } 足 a1 a ， a n2b ， n N*，（）1a nA ．当 b 1， a1010B．当 b1， a1010 24C．当 b 2 ， a1010D．当 b 4 ， a1010二、填空：本大共7 小，多空每 6 分，空每 4 分，共 36 分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学本试卷共20题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪(C R Q)=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(−∞,−2]∪[1,+∞)2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α，n⊥β，则A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域{x−2≤0 x+y≥0x−3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A.2√2B.4C. 3√2D.64.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是A. ∀x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x25.设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列{An}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N∗，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N∗.（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为∆A n B n B n+1的面积，则A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列7.已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<18.已知实数a，b，c.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b−c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔5分〕设集合 M={x| x 2+2x=0,x€ R} , N={x| x 2—2x=0, x€ 号,贝U MUN=〔 A. {0} B. {0, 2} C. {-2, 0} D. {-2, 0, 2}2. 〔5分〕定义域为R 的四个函数y=x 3, y=2x, y=x 2+1, y=2sinx 中,奇函数的个 数是〔 〕 A. 4B. 3 C 2 D. 13. 〔5分〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔 〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕 4. 〔5那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔 〕 A — B. 2 C. D. 3 2 25. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B — C.D. 633 6. 〔5分〕设m, n 是两条不同的直线,% B 是两个不同的平面,以下命题中正 确的是〔 〕A.假设 a± & m? a, n? B,那么 m±nB.假设 all 0, m? a, n? & 那么 m // nC.假设 m±n, m? a, n? 3 那么 a± pD.假设 m ,a, m // n, n // & 那么 a± 0 7. 〔5分〕中央在原点的双曲线 C 的右焦点为F 〔3, 0〕,离心率等于,,那么 C 的方程是〔〕F ¥ J B Jc /n -7 二——1 — — C — — D —--〔5 分〕设整数 n>4,集合 X={1, 2, 3,…,n}.令集合 S={ 〔x, y, z 〕 | x, zC X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设〔x, y, z 〕 〔z, w, x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕A. 8. y, 和A. 〔y, z, w〕C S, 〔x, y, w〕 ?SB. 〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ SC. 〔y, z, w〕?S, 〔x, y, w〕S SD. 〔y, z, w〕 ?S, 〔x, y, w〕 ?S二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解集为.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k=.11. .〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7=.K+4V>413. 〔5 分〕给定区域D: r+y<4 .令点集T=｛〔x°, Vo〕 CD|xo, yo^Z, 〔x0,Ly°〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点｝,那么T中的点共确定条不同的直线.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为I,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么I的极坐标方程为. 15. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD于E.假设AB=6, ED=2,那么BC=.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12分〕函数f 〔x〕 =V2cos 〔x-—〕, xCR.12〔I〕求f 〔—工〕的值；6〔H〕假设cosB2,筱〔",2兀〕,求f 〔2什工〕. 5 2 317. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD二BE二加,O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O<.(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.2 S19. (14分)设数列{a n}的前n项和为3b a〔二1,二1二日三门2力4,n_ * € N .(1)求a2的求;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证实：对一切正整数n,有!小+..・」-<工. a l a2 a n 420. (14分)抛物线C的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为色巨,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (xo, yo)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.21. (14 分)设函数f (x) = (x- 1) e x- kx2 (kC R).(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区问；(2)当1］时,求函数f (x)在［0, k］上的最大值M.叁2021年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)设集合M={x| x2+2x=0,x€ R} , N={x| x2—2x=0, xC R},贝U MUN=(A. {0}B. {0, 2}C. {-2, 0}D. {-2, 0, 2}【分析】根据题意,分析可得,M={0, -2}, N={0, 2},进而求其并集可得答案.【解答】解：分析可得,M 为方程x2+2x=0 的解集,贝U M={x| x2+2x=C}={0, — 2},N 为方程x2— 2x=0 的解集,贝U N={x|x2-2x=0}={0, 2},故集合M UN=[0, - 2, 2},应选：D.【点评】此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集.2. 〔5分〕定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.【解答】解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔-x〕3=- x3,所以函数y=x3 为奇函数；y=2x的图象过点〔0, 1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0, 1〕关于y轴对称,为偶函数；y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔 - x〕 =-2sinx,所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2,应选：C.【点评】此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握.3. 〔5分〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕【分析】由题意可得z2彗,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为412i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,贝U有z=2+产」2+4i〕i=4 — 2i,1 -1故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4, -2〕, 应选：C.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幕运算性质, 复数与复平面内对应点之间的关系,属于根底题.4. 〔5分〕离散型随机变量X的分布列为那么X的数学期望E 〔X〕=〔〕A —B. 2 C. D. 3 2 2【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕 =〞+2X三+3」巨.5 10 10 2应选：A.【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.5. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B = C D. 6 33【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V=L X〔22+ 1 3+722X I2〕X2=^-- ■J'J应选：B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系, 棱台体积公式的应用,考查计算水平与空间想象水平.6. 〔5分〕设m, n是两条不同的直线,% B是两个不同的平面,以下命题中正确的是〔〕A.假设a± & m? a, n? B,那么m±nB.假设all 0, m? a, n? & 那么m // nC.假设m±n, m? a, n? 3 那么a± pD.假设m,a, m // n, n // & 那么a± 0 【分析】由a± p, m? a, n? B,可才t得m,n, m // n,或m, n异面；由all 0, m? & n?就可得m // n,或m, n异面；由m,n, m? a, n? 0,可得a与0 可能相交或平行；由m± a, m // n,那么n,a,再由n // B可得a± 0.【解答】解：选项A,假设n & m? % n? 3那么可能m±n, m // n,或m, n 异面,故A错误；选项B,假设all & m? a, n? B,那么m // n,或m, n异面,故B错误；选项C,假设m,n, m? a, n? 0,那么a与B可能相交,也可能平行,故C错误；选项D,假设m, a, m // n,那么n, a,再由n II 0可得「0,故D正确.应选：D.【点评】此题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系, 属根底题.7. (5分)中央在原点的双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,那么C的方程是( )A / IB /C ,「D ’A「- - B ——C—— D —— -【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F (3, 0),离心率为1,建2立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.22【解答】解：设双曲线方程为三二7二1 (a>0, b>0),那么 a b.•.双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,上1 r c-3* c c , c=3, a=2, • . b2=c2 - a2=5一心2 2「•双曲线方程为,誉:1. 4 5应选：B.【点评】此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算水平,属于根底题.8. (5 分)设整数n>4,集合X=[1, 2, 3,…,n}.令集合S={ (x, y, z) | x, y, z€ X,且三条件x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设(x, y, z) 和(z, w, x)都在S中,那么以下选项正确的选项是( )A. (y, z, w) S S, (x, y, w) ?SB. (y, z, w) S S, (x, y, w) S SC. (y, z, w) ?S, (x, y, w) € SD. (y, z, w) ?S, (x, y, w) ?S【分析】特殊值排除法,取x=2, y=3, z=4, w=1,可排除错误选项,即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法, 取x=2, y=3, z=4, w=1,显然满足(x, y, z)和(z, w, x)都在S中,此时(y, z, w) = (3, 4, 1) C S, (x, y, w) = (2, 3, 1) C S,故A、G D 均错误；只有B成立,应选B.直接法：根据题意知,只要y<z<w, z<w<y, w<y<z 中或x<y<w, y<w<x, w<x <y中恰有一个成立那么可判断〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ S.v(x, y, z) € S, (z, w, x) C S,x<y<z•・①,y<z<x••②,z<x<y••③三个式子中恰有一个成立；z<w<x…④,w<x<z••⑤,x<z<w••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后有四种情况成立,第一种：①⑤成立,止匕时w <x<y<z,于是〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕C S; 第二种：①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第三种：②④成立,此时y<z< w<x,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第四种：③④成立,此时z<w<x<y, 于是(y, z, w) S S, (x, y, w) S S.综合上述四种情况,可得〔y, z, w〕 C S, 〔x, y, w〕€ S.应选：B.【点评】此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解I集为〔一2, 1〕.【分析】先求相应二次方程x2+x-2=0的两根,根据二次函数y=x2+x- 2的图象即可写出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x- 2=0的两根为-2, 1, 且函数y=/+x-2的图象开口向上,所以不等式x2+x- 2<0的解集为〔-2, 1〕.故答案为：〔-2, 1〕.【点评】此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k= - 1 .【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k 的化【解答】解：由题意得,y'踮, X•••在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,. ・k+1=0,彳4 k= - 1,故答案为：-1.【点评】此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.11. 〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7 .【分析】由中的程序框图及中输入4,可得：进入循环的条件为i04,即i=1, 2, 3, 4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时,S=1+1 - 1=1;当i=2 时,S=#2-1=2;当i=3 时,S=?3—1=4;当i=4 时,S=4M—1=7;当i=5时,退出循环,输出S=7;故答案为：7.【点评】此题考查的知识点是程序框图, 在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行治理.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7= 20 .【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2 〔a5+a6〕=2 〔央+出〕.【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+ 〔a s+a/〕=2a5+ 〔2%〕 =2 〔a5+%〕 =2 〔a3+%〕 =20,故答案为：20.【点评】此题考查等差数列的性质及其应用, 属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本.工+4V>413. 〔5 分〕给定区域 D: r+y<4 .令点集 T={ 〔xo, yo 〕 CD|xo, yoCZ, 〔xo, yo 〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定 6 条 不同的直线.【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值, z=x+y 表示直线在y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可,从而得出点集T 中元素 的个数,即可得出正确答案.【解答】解：画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,由于直线 z=x+y 与直线x+y=4平行,故直线z=x+y 过 直线 x+y=4 上的整数点：〔4,.〕,〔3, 1〕, 〔2, 2〕, 〔1, 3〕或〔.,4〕时,直线的纵截距最大,z 最大；当直线过〔o, 1〕时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集T={ 〔4, o 〕, 〔3, 1〕, 〔2, 2〕,〔1, 3〕,〔o,4〕,〔o,1〕},经过这六个点的直线一共有6条.即T 中的点共确定6条不同的直线. 故答案为：6.【点评】此题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值,属于根底 题.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么 I 的极坐标方程为 P cos+% sin _02=o 〔埴 p sin 〔或 P cos 〔 9〕一回也得总分值〕 .【分析】先求出曲线C 的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程, 最后 利用x= p cos,8 y= p sin 他换求得其极坐标方程即可.「•曲线C 是以〔o, o 〕为圆心,半径等于 血的圆. C 在点〔1,1〕处的切线I 的方程为x+y=2, 令 x= p cos,8y= p sin,0曲线C 的参数方程为{x=V2costy=V2sint〔t 为参数〕,C 在点〔1,1〕处的切线为I,【解答】解：由「一 [y=V2sint〔t 为参数〕,两式平■方后相加得x 2+y 2=2,…〔4分〕代入x+y=2 ,并整理得p cos+〕p sin & 2=0 ,即p 4^；〕一日或P cos〔B那么l的极坐标方程为p cos+Op sin & 2=0 〔填p sin〔 84或P CCIB〔日二$〕=^巧也得总分值〕•…〔10分〕故答案为：p cos+Op sin 4〕2=0 〔填P n 〔.H或p 8 式 9 —.也得总分值〕.【点评】此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x= p cos,8y= p sin.015. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD 于E.假设AB=6, ED=2, WJ BC=__^_.【分析】利用AB是圆O的直径,可得/ ACB=90. IP AC±BD,又BC=CD 可得△ ABD是等腰三角形,可得/ D=/B.再利用弦切角定理可得/ ACE=/ B, 得至ij/AECWACB=90,进而得到^ CED^AACB,利用相似三角形的性质即可得出.【解答】解：.「AB是圆O的直径,「./ ACB=90.即AC BD.又 = BC=CD AB=AD,「. / D=/ ABC, / EAC=Z BAC•.CE与..相切于点C, 「./ACE之ABC / AECW ACB=90.・ .△CED^ AACB.. •里里,又CD=BCAB BCBC=V AB*ED =76X2-2^3.【点评】此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理水平.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12 分〕函数f 〔x〕 ='/^cos 〔x-y1-〕, xCR. JT〔I〕求f 〔-三〕的值；6〔n〕假设cosel,长〔JLL, 2兀〕,求f〔2肝2L〕.5 2 3【分析】〔1〕把x=-二直接代入函数解析式求解.6〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sin 8的值以及sin2.然后将x=20二代3入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：〔1〕f ^〕=A/2COS〔^^^T〕=V2COS〔--^〕=V2o Q iz q 一上〔2〕由于8号©=|, e e 等,2n〕所以, 「［一一・：所以$in2 e =2sin8 cos 9 =2 乂〔"〕"二,cos2 9 =cos2 9 -si n20 二〔汨〕一〔4〕2 = 5 5 25所以f〔2 = +_Z-〕=V2C0S^2=+-z_^r;r〕=V2C0S〔2 =+—j-〕：=cos2日-sin2 ==U 0 JL T7 z24 s1725 ।25’ 25【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识的简单综合,要注意角的范围.17. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【分析】〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)样本均值为升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人；(3)设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,clcJ 1 c所以P(A〞一V二会, v12即恰有1名优秀工人的概率为—.33【点评】此题主要考查茎叶图的应用,古典概型及其概率计算公式,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD=BE=V2, O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O=?(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.【分析】(1)连接OD, OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/ C=45, CD二BE二班, AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1」在4 COD与△ OBE中,利用余弦定理可得OD, OE.禾用勾股定理的逆定理可证实/ A OD=A' OE=90再利用线面垂直的判定定理即可证实；(2)方法一：过点O作OF, CD的延长线于F,连接A' F利用(1)可知：A' 0 ,平面BCDE根据三垂线定理得A LCD,所以/ A' FO；二面角A'-CD- B的平面角.在直角△ OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH, OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.【解答】(1)证实：连接OD, OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/ B=/ C=45, CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二｛C02+C D々CO・CDs s45;二立,同理得比=^・由于AD=A' D=A‘ E=AE=2/2, A’ 0二®所以 A 2+OD2=A 2), A 2+Og=A,孑所以/A' OD=A' OE=90所以A' UOD, A吐OE, ODA OE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：过点O作OF,CD的延长线于F,连接A' F由于A吐平面BCDE根据三垂线定理,有A 1CD.所以/A' F的二面角A'-CD- B的平面角.在Rt^COF中,0F=C0S E5'=^.在A' 0中,卜’ F 二W .,口/二^^ 所以一「」卜,•A r b所以二面角A' - CD- B 的平面角的余弦值为 堡.5方法二：取DE 中点H,那么OH±OB.以O 为坐标原点,OH 、OB OA 分别为x 、v 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么 O (0, 0, 0), A' (0, 0,加),C (0, - 3, 0), D (1, - 2, 0) 0A 7* = (0, 0,无)是平面BCDE 勺一个法向量.设平面A ClDj 法向量为n= (x, y, z)前六二(0, 3,五),而二(L 1, 0). 二一、/n ・CA' =3y+V^w=0 人 皿_ rz所以? 一,令 x=1,那么 y=—1,[n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A' C 的一个法向量 设二面角A'-CD- B 的平面角为8,且8 6(0, g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'-CD- B 的平面角的余弦值为 亟5【点评】此题综合考查了等腰直角三角形的性质、 余弦定理、线面垂直的判定与 性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求 面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象水平、推理水平和计算水平. 19. (14分)设数列｛a n ｝的前n 项和为3b a i =1,(2)利用 a n =&-S n-1 (n >2)即可得到 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),可化为 缪T 〞,缪T,再利用等差数列的通项公式即可得出；(3)利用(2),通过放缩法——< % n【解答】解：(1)当 n=1 时,—p-=2a 1=a £^--l^y,解得 比=4 (1 2)2 %54n 3-n 2 4口① 当 n >2 时,2 SnT 二 ST) a n -7r(n-l ) 3-(n-l ) 24(nT)② J o ①-②得「. ：., 口 ： । n , ,整理得 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),即 ％? &L+], n+1 n . -r a9 a ।当 n=1 时,年一^2-1二1 w JL所以数列｛曰｝是以1为首项,1为公差的等差数列 所以上"二口,即a =n 2 n仇所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2, n € N *、一 「L (n>2)即可证实.(n-1) n n-1 n(1) 求a 2的值;(2) (3)求数列｛a n ｝的通项公式； 证实：对一切正整【分析】(1)利用a 1=1,有 _p_l_+... a l a2 a n 42Sn_ 1 2 ____________ 2--a ^l —^行,nCN *.令n=1即可求出;an+l a n n+1 n当n=1, 2时,也成立.【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系a n =S- Sn-i (n>2)>裂项求和及其放缩法等是解题的关键.20. (14分)抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x -y-2=0的距离为型2,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线 2 PA, PB,其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦点到直线l: x- y-2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可 解得c,从而得出抛物线C 的方程； (2)先设A (町,[J),//),由(1)得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA PB 的斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出 直线AB 的方程；(3)根据抛物线的定义,有|AF|二1J + 1, |即|二|谥+1,从而表示出|AF|?|BF , 再由(2)得X 1+X 2=2x 0, X 1X 2=4y 0, X 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形 式,从而即可求出|AF|?| BF 的最小值.【解答】解：(1)焦点F (0, c) (c>0)到直线所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设［. . . ■ ■ ■ ：「：, 由(1)得抛物线C 的方程为悬所以切线PA, PB 的斜率分别为 工 工2勺’2叼 所以PA ：或］〔犬—犬］〕①PB ：工:斗父2〔¥一；12〕②联立①②可得点P 的坐标为〔31%, 七2〕,即三1,二二！, : 2 4270 41 J(3)由于--J % n 2 (nT)门 n-1 n(n>2)l : x - y - 2=0的距离I -c-21 c+2 3^2解得c=1, 所二丁 n 4 n 4又由于切线PA的斜率为其孙=.』",整理得为三孙乂04岩,L1 X Q-X I U 2 1 U 4 11 2_1 2直线AB的斜率kJ町国际二止2二现町r 2 4 2所以直线AB的方程为y—■工工o 〔上一£ 1〕,整理得产/乂/白盯式口w J,即尸1,町X-V口,由于点P 〔XQ, yo〕为直线l: x- y- 2=0上的点,所以xo - yo- 2=0,即yo=x0—2, 所以直线AB的方程为XQX - 2y - 2yo=O.〔3〕根据抛物线的定义,有|阿|1君+1,|BF|［g+1,所以k：卜…•」：’-「：। , 了〜, - J ：'［「- = 当U+/〔町+ 〞〕2-2'区21+1,由〔2〕得X I+X2=2XQ, x1X2=4yo, Xo=yo+2,所以I..'' I' ' ' .''' । ,' ：। ,：" । :,■:■.■|l・,> ：। : ,：=2yg+2y0+5=2〔y D+y〕2+1-.所以当V.二q时,|AF|?|BF的最小值为u 4【点评】此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算水平,有一定的综合性.21. 〔14 分〕设函数f 〔X〕 = 〔X- 1〕 e x - kx2〔kC R〕.〔1〕当k=1时,求函数f 〔X〕的单调区问；〔2〕当k€ e,1］时,求函数f〔X〕在［0, k］上的最大值M.【分析】(1)利用导数的运算法那么即可得出f'(x),令f'(x) =0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区问；(2)利用导数的运算法那么求出f'(x),令f'(x) =0得出极值点,列出表格得出单调区问,比拟区间端点与极值即可得到最大值.【解答】解：(1)当k=1 时,f (x) = (x—1) e x-x2,f (x) =e x + (x- 1) e x - 2x=x (e x -2) 令 f (x) =0,解得 x 1二0, x 2=ln2>0 所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调增区间为(-8, 0)和(ln2, +8),单调减区间为(0,ln2)(2) f (x) = (x-1) e x - kx 2, x€[0, k] ,(y, U.f (x) =x3- 2kx=x (e x — 2k), f (x) =0,解得 x1二0, x?=ln (2k) 令小(k) =k- ln (2k),我 心,口,0’2k k所以小(k)在 6,1]上是减函数,..・小(1) &小(k) <1 -ln2<小 (k)(工<k.2 即 0<ln (2k) < k所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：f (0) =- 1, f (k) -f (0) =(k- 1) e k -k 3-f (0) =(k- 1) e k -k 3+1 =(k-1) e k - (k 3-1)=(k —1) e k — (k — 1) (k 2+k+1) =(k- 1) [e k - (k 2+k+1)] k£ 弓,1], k-10O.对任意的(L 1], y=e k 的图象包在y=k 2+k+1下方,所以e k - (k 2+k+1) < 0 2 所以 f (k) -f (0) >0,即 f (k) >f (0)所以函数f (x)在[0, k]上的最大值M=f (k) = (k-1) e k -k 3.【点评】熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为255d；所以，圆心到直线230x y 的距离为5.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为4的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：202k a a b k ，解得：2k .故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z ，则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，122cos cos 2sin sin z z i i ，2cos cos 2sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC周长3L AC AB BC ，ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，202180i i x x （，20219000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)ni i x y x y（（=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()ii x x y y r 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c，b ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故：ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

浙江省杭州市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(2)题已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（）A．B．C．D．第(3)题甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）A．B．C．D．第(4)题已知（为虚数单位），则的虚部为（）A．-13B．13C．-26D．26第(5)题若虚数z使得是实数，则z满足（）A．实部是B．实部是C．虚部是D．虚部是第(6)题已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A．B．C．D．第(7)题已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知（其中，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．C．函数在区间单调递减D ．若，且，则第(2)题对于函数，则（）A．是单调函数的充要条件是B．图像一定是中心对称图形C．若，且恰有一个零点，则或D．若的三个零点恰为某三角形的三边长，则第(3)题如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A．B．存在点P，使得C．存在点P，使得D．三棱锥的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，点在线段上，且，，则面积的最大值为__________．第(2)题设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________.第(3)题受新冠病毒肺炎影响，某学校按照上级文件精神，要求错峰放学去食堂吃饭，高三年级一层楼有四个班排队，甲班不能排在最后，且乙、丙班必须排在一起，则这四个班排队吃饭不同方案有__________种（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，．（1）求的标准方程；（2）过点作相互垂直的弦，分别为的中点，当的面积最大时，证明：点关于轴对称．第(2)题设函数，.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.第(3)题已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.(1)求；(2)求的方程.第(4)题随着人民生活水平的日益提高，汽车普遍进入千家万户，尤其在近几年，新能源汽车涌入市场，越来越受到人们喜欢．某新能源汽车销售企业在2017年至2021年的销售量y（单位：万辆）数据如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代号x12345销售量y（万辆）1718202223(1)根据数据资料，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求出y关于x的线性回归方程，并预计2022年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆？附注：参考数据：，，，．参考公式：相关系数，线性回归方程中，，其中为样本平均值．第(5)题设，函数.(1)若函数为奇函数，求实数a的值；(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.。

浙江省杭州市数学高三理数第一次考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·南昌期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·黄冈模拟) 复数z满足，则z的其轭复数对应的点是第象限的点A . 一B . 二C . 三D . 四3. （2分）若函数是奇函数，则（）A . １B . ０C . ２D . －１4. （2分）执行右边的程序框图，输出的结果为（）A . 15B . 16C . 64D . 655. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知在等差数列中，则项数为A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·上海期中) 若，是互不平行的两个向量，且=λ1 + ， =+λ2 ，λ1 ，λ2∈R，则A、B、C三点共线的充要条件是（）A . λ1=λ2=1B . λ1=λ2=﹣1C . λ1λ2=1D . λ1λ2=﹣17. （2分）(2020·安阳模拟) 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A . 12个月的PMI值不低于50%的频率为B . 12个月的PMI值的平均值低于50%C . 12个月的PMI值的众数为49.4%D . 12个月的PMI值的中位数为50.3%8. （2分）以下四个命题中，正确的是（）A . 若，则P，A，B三点共线B . 向量是空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C .D . △ABC是直角三角形的充要条件是9. （2分）(2017·吉安模拟) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）A . 2.5B . 3C . 3.2D . 410. （2分）函数f（x）= 的图象（）A . 关于原点对称B . 关于直线y=x对称C . 关于x轴对称D . 关于y轴对称11. （2分） (2018高三上·静安期末) 已知椭圆抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为（）A .B .C . 1D . 212. （2分） (2017高一上·武汉期中) 已知f（x）= 满足对任意x1≠x2都有（x1﹣x2）•（f（x1）﹣f（x2））＜0成立，那么a的取值范围是（）A . （0，1）B . （0，）C . [ ，1）D . [ ，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·西湖期中) 已知的内角的对边分别为 .若，的面积为，则面积的最大值为________.14. （1分） (2018高二上·鞍山期中) 过双曲线x2- =1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·湖北期中) 已知P（A）= ，P（AB）= ，则P（B|A）=________．16. （1分）(2017·湖北模拟) =________．三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分） (2017高一下·嘉兴期末) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 + =4cosC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若tanA=2tanB，求sinA的值．18. （5分）设随机变量ξ的概率分布如表所示：求：（1）P（ξ＜1），P（ξ≤1），P（ξ＜2），P（ξ≤2）；（2）P（x）=P（ξ≤x），x∈R．19. （5分）(2018·凯里模拟) 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点 .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. （5分） (2019高二上·德惠期中) 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足 .(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.21. （5分）(2017·九江模拟) 设函数f（x）=lnx，g（x）= （m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若对任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数n的值及实数m的最大值．22. （5分）(2017·鞍山模拟) 选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. （5分）已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c 的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1,x2 ，当时，必有 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B =（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小.17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,其中（Ⅰ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示） （Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足1||12n n a a +-≤，（Ⅰ）求证：11||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈（Ⅱ）若3||()2n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.2016年高考浙江卷数学（理）试题答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x=∈≤≤=∈≥R R则()P Q⋃=RA．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=-R RQ x x P Q．故选B．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足,m nαβ∥⊥，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=A．22B．4 C．32D．6【答案】C【解析】如图∆PQR为线性区域，区域内的点在直线20x y+-=上的投影构成了线段''R Q，即AB，而''=R Q PQ，由340-+=⎧⎨+=⎩x yx y得(1,1)-Q，由2=⎧⎨+=⎩xx y得(2,2)-R，22(12)(12)32==--++=AB QR．故选C．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211-=+m n ，即222=+m n ，2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n，代入222=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ． 8. 已知实数a ，b ，cA ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 【答案】2 1【解析】22cos sin 22sin(2)14x x x π+=++，所以2, 1.A b == 11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = .【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 12114. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=， 所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以3AC =设AD x =，则023t <<23DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 即2112342sin 3022x x d x -+⨯=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=-⋅=-. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-⋅-+ 21(23)6234x x x x -=-+.设22234(3)1t x x x =-+=-+，因为023x ≤≤，所以12t ≤≤.则2|3|1x t -=-.（2323x <≤2|331x x t ==- 故231x t =-此时，221(31)[23(31)]6t t V t+--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A-B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，故有1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=±B ．当C 2πB +=时，2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =．综上，2πA =或4πA =．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【试题分析】（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =，得3cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p，q}=,>p p qq p q.≤⎧⎨⎩，，（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【试题分析】（I）分别对1x≤和1x>两种情况讨论()F x，进而可得使得等式()2F242x x ax a=-+-成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-的最小值，再根据()F x的定义可得()F x的最小值()m a；（ii）分别对02x≤≤和26x≤≤两种情况讨论()F x的最大值，进而可得()F x在区间[]0,6上的最大值()aM．（II）（i）设函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-，则()()min10f x f==，()()2min42g x g a a a==-+-，所以，由()F x的定义知()()(){}min1,m a f g a=，即()20,32242,22am aa a a⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii）当02x≤≤时，()()()(){}()F max0,22F2x f x f f≤≤==，当26x≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max2,6max2,348max F2,F6x g x g g a≤≤=-=．所以，()348,342,4a aaa-≤<⎧M=⎨≥⎩．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【试题解析】（I）设直线1y kx=+被椭圆截得的线段为AP，由22211y kxxya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx++=，故1x=，222221a kxa k=-+．因此22212222111a kk x ka kAP=+-=++（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足QAP=A．记直线AP，QA的斜率分别为1k，2k，且1k，2k>，12k k≠．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得1112n n a a +-≤，变形为111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11222n m n m n a a --<，进而可得3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有。

2008年广东高考数学理科试卷含答案2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ C ）A ．(15)，B ．(13)， C．(1 D． 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a，51<<∴z2．记等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若112a =，420S=，则6S =（ D ）A ．16B ．24C ．36D ．48 【解析】20624=+=d S，3=∴d ，故481536=+=d S3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.E F D IA H GBC E FD A B C 侧视 图图 BE A ． B E B ． B E C ． B E D6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题7．设a ∈R ，若函数3axy e x=+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 【解析】'()3axf x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae=+=有正根。