河南广东等省2020届高三4月联考试题文(数学)

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理)试题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．13．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27B ．37C ．17D ．3145．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）A B C D7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5BCD8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）AB．2CD12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212-13．已知向量(2,a =r ，(1,b =r ，则b r 在a r方向上的投影等于__________．14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， AF =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值．19．已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ =u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？ 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4． （1）求实数a 的值； （2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题． 2．D 【解析】 【分析】 计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 【详解】()()()21121112i ii i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，可得结果. 【详解】刚退休时就医费用为：400015%600⨯=元，现在为就医费用占退休金的10%， 设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得400015%10%100x ⨯-=，解得 5000x = 故选：B ． 【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属于简单题 4．B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题． 5．C 【解析】 【分析】求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM的值.【详解】抛物线的焦点为()1,0F，所以31FM k ==-由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ． 【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．C 【解析】 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则点()1,0,0A -、()B、()1,0,1D 、()0,0,0E、()12B ，()1,0,1ED =u u u r，()1EB =u u u r，()AB =u u u r ，设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =r，由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得020x z z +=⎧⎪+=，取z =则x =2y =，2,n ∴=r ，设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，则sin cos ,AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r，则cos θ==故选：C. 【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题． 7．C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB =故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题． 8．D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题． 9．A【解析】 【分析】由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ， 又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题． 10．B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题． 11．B【解析】 【分析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题． 12．B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log3x xt +≤，换元30xp =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.【详解】Q 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，②①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2x f x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-， 由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3xx xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题． 13．83- 【解析】 【分析】设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .【详解】设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 【点睛】本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题．14 【解析】 【分析】利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．2 【解析】 【分析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题． 16．92π 【解析】 【分析】作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 【详解】Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且BD =，ED =2AE ==，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2222R R =+-，得32R =， 因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 17．（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析 【解析】 【分析】（1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 【详解】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .【点睛】本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．（1）见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C --的平面角的余弦值.【详解】（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r， 设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以， ()1,0,3m =-u r ，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r，设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，cos m n m nθ⋅∴===⋅u r r u r r即二面角D BE C --． 【点睛】本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.【解析】 【分析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u r u u u r ,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ =u u u r u u u r Q)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q 在229x y +=上,229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+. 20．（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元． 【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．（1）2a =；（2）m 的最大值为3． 【解析】 【分析】（1）由题意得出()24f e'=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 【详解】（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =； （2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'， 令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---， 故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题． 22．（1）点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭；（2）{}44122⎛-+ ⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.【详解】（1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥， Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行，∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-， 由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点A的坐标为,55⎛- ⎝⎭； （2）将直线l 化为普通方程：()24y k x =-+（k 为直线l 的斜率），当直线l 与半圆()2220x y x +=≥=2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点(B，(0,D ，()2,4P --，则PB k =，PC k =． 由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l的斜率的取值范围是{}44122⎛-+⋃ ⎝⎦．【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．23．（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.【详解】 （1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-；当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤；当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=； 当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。

2020届岳联考·河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可. 【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表3．若向量()4,2a x =-r 与向量()1,1b =-r平行，则a =r ( ).A ．B ．2CD ．8【答案】A【解析】由a b r rP ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-r ，即可求得a r .【详解】由a b r rP ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =，所以()2,2a =-r，可得a ==r 故选：A . 【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =为偶函数，【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 【点睛】6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】D【解析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可.函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】D【解析】由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<.【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<. 故选：B . 【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC V 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，sin a A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 【答案】C【解析】根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】 ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：sin a A =，即sin sin A B A =，sin 0,A ≠可得()sin 0,24πB B B π=∈∴=或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A ．29B ．35C 41D ．13【答案】C【解析】由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22461101++=()2241661++=()2246165++=.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22226213++=()22262217++=()22262217++=（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=()2224335++=()2223453++=.综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 41. 故选：C . 【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．232B ．252C 31D 51【答案】B【解析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos x xf x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】由题意可得切点()0,1，对()cos x xf x e=求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程. 【详解】 由()0cos00=1f e =，可得切点()0,1， ()sin cos xx xf x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题. 15．函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________.【答案】43【解析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令3cos α=，4sin =，则5cos f x x α=-.由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+.∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43.【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题.16．若函数()2121x x f x -=+，则不等式()719f x +<的解集为__________.【答案】{}42x x -<<【解析】根据绝对值的性质，结合函数的解析式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为()1121121x x f x ++-+=+，所以()11177217112842992198x x x f x x +++-+<⇒-<<⇒<<⇒-<<+.故答案为：{}42x x -<< 【点睛】本题考查了指数函数的单调性的应用，考查了指数不等式的解法，考查了绝对值不等式，考查了数学运算能力.三、解答题17．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势；（2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人. 【点睛】本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b 满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a 通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程的求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=. 解得：11a =，1d =. ∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：2n b -==∵0n b >，∴n b =∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==.【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，且OB 、OA 、2OF 成等比数列. （1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB V 的形状，并说明理由.【答案】（1）e =（2）直角三角形，理由见解析 【解析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=u u u r u u u r，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB V 是直角三角形. 【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =.由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =或e =又01e <<，则e =. （2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴()1,AF c b =--u u u r ，(),AB a b =-u u u r，∴210AF AB ac b ⋅=-+=u u u r u u u r ，∴1AF AB ⊥u u u r u u u r， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB V 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴1AF b k c =，AB bk a=-， ∴121AF AB b k k ac⋅=-=-，∴1AF AB ⊥，故190F AB ∠=︒，∴1F AB V 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB V 中，221F A b c a =+=，1F B c a =+，22AB a b =+.222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+，∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB V 是直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题． 20．如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC V 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF P ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可. 【详解】（1）在菱形ABEF 中，AB EF P ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF . ∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OE BE E =I ， ∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒，BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=. 在Rt EBC V 中，2225EC EB BC =+=.在Rt FBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=， ∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF . ∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥，又∵BC BE ⊥，OE BE E =I ，∴BC ⊥平面ABEF . 又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥. 在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长. 在Rt BCF V 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213【点睛】本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题. 21．已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a . （1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断． 【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >， 可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数， ∴()()11max x a f f ==-=； (2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1， ∴|x −lnx |≥1， 又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x-'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ， ∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=.∴22312x yx y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U .方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U . 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。

2020届河南省部分学校高三第四次阶段性联考数学（文）试卷★祝考试顺利★一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|log 0},{|1},M x x N x x =<=≥-, 则M ∪N=.{|11}A x x -≤< .{|1}B x x ≥- .{|1}C x x < .{|01}D x x ≤<2.若复数z 满足i ·z=1-i,则|z| =A.2 B C.1 D 3.已知两个平面,,B α直线l ⊂α,则“l//β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲22221(0,0x y a b a b-=>>)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为.A y = B.y= ±2x C.y= ±3x .D y =5.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子(大小忽略不计) ,则豆子落在其内切圆外的概率是3.10A π 3.20B π 3.110C π- 3.120D π- 6.函数f(x) = sin ωx( ω >0)的图象向左平移6π个单位,所得图象关于y 轴对称,则ω的一个可能取值是1.2A 3.2B C.3 D.67.若向量a ,b 满足|a |1,||2,|2|==+=b a b 则a 与b 的夹角为.4A π.2B π.6C π.3D π8.已知正实数a,b,c 满足33311()log ,()log ,log 2,24a b a b c ===,则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b9.函数3()33x x x f x --=+的图象大致是10.设正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2*4(1)(),n n S a n =+∈N 则5678a a a a +++=A.24B.48C.64D.7211.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线24y x =的焦点,且与圆22(2)(1)2x y +++=相切,若直线l 与抛物线交于A,B 两点,则|AB| =.42A .43B C.8 D.1212.已知正数x,y 满足(x-2y)(x-y)≤0,则2222x y P xy+=的取值范围是 2,)A +∞ 3.(0,]2B 3.[1,]2C 3.[2,]2D 二、填空题:本题共4小题每小题5分,共20分.13.函数f(x)=(1 -ax)e x 在x=0处的切线与直线2x-y+3=0平行,则a 的值为____14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2211,23(3)n n n a S S s n --=+=≥,则5a =____15.若x,y 满足约束条件24020320x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩,则z= -2x +y 的最小值与最大值的和为____16.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为_____。

2020年高考（4月份）数学模拟试卷（理科）一、选择题.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，则集合A的真子集有（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．已知i是虚数单位，则化简（1+i1−i）2020的结果为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．13．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．3145．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(3，2√3)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|：|NM|等于（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：√36．在所有棱长都相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为棱CC1，AC的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为（ ） A ．√3010B ．√3020C ．√13020D ．√70107．已知点A （4，3），点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为（ ） A ．5 B ．4√55C ．√5D ．2√558．给出下列说法①定义在[a ，b ]上的偶函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0，+∞)，x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0，+∞)，x +1x＜2”其中正确说法的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知log m 3＞0，a =m log 42，b =m log 32，c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤＝15斤，1斤＝16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为（ ）A ．√2B ．√22C ．√32D ．2√3312．已知f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．3﹣2log 32C ．2D ．32log 32−1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影等于 ．14．在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为 ．15．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在[−π6，π4]上单调减，则ω的最大值是 ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，AB ＝AD =√6，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12na n +a n −1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{2a n2}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜32．18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF =2√2FD ，∠DFE ＝∠CEF ＝45． （1）证明：DC ∥FE ；（2）求二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值．19．已知点P在圆O：x2+y2＝9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ→=3√2MQ→．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设G（﹣3，0），H（3，0），过点F（1，0）的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21．已知函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα（t为参数）．（1）点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2+1＝0垂直，求点A的直角坐标；（2）设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|，x∈R．（1）求不等式f（x）＜5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）+2＜|2t﹣1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0，x ∈N}，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【分析】由列举法得到集合A 中的元素个数，再由结论：含有n 个元素的集合的真子集数共有：2n ﹣1个，即得答案解：集合A ＝{x |x |x 2﹣2x ﹣3＜0，x ∈Z}＝{x |﹣1＜x ＜3，x ∈Z}＝{0，1，2}， 所以集合A 的真子集个数为：23﹣1＝7个． 故选：C ．【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n 个元素的集合的真子集数共有：2n ﹣1个．2．已知i 是虚数单位，则化简（1+i 1−i）2020的结果为（ ）A ．iB ．﹣iC ．﹣1D ．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简1+i 1−i，再由虚数单位i 的运算性质得答案．解：∵1+i 1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，∴（1+i 1−i）2020＝i 2020＝i 4×505＝1．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题． 3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A．4500元B．5000元C．5500元D．6000元【分析】根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x＝4000×15%﹣100，解之得x＝5000，故选：B．【点评】本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．27B．37C．17D．314【分析】①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为：p =3C 52C 84=37．故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3，2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |：|NM |等于（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：√3【分析】求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF |：|NM |即可．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2﹣10x +3＝0，所以x 1＝3，x 2=13，所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6．在所有棱长都相等的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为（ ） A ．√3010B ．√3020C ．√13020D ．√7010【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求，问题就容易多了．解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1．∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则O （0，0，0），B （0，1，0），E （√32，−12，0），D （√3，0，1），B 1（0，1，2）．∴ED →=(√32，12，1)，EB 1→=(−√32，32，2)，设平面B 1DE 的法向量m →=(x ，y ，z)，∴{m →⋅ED →=0m →⋅EB 1→=0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x ＝2，得m →=(2，6√3，−4√3)． ∵OB →=(0，1，0)且AB →∥OB →．设所求角为θ，则sinθ=|m →⋅OB →|m →|OB→|=3√3020，∴cosθ=√13020．故选：C ．【点评】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，同时考查了学生的空间想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．本题容易将结果看成正弦值，属于易错题． 7．已知点A （4，3），点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为（ ） A ．5B ．4√55C ．√5D ．2√55【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可． 解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB |的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B （2，2）， |AB |的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8．给出下列说法①定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+b的最大值为20；②“x=π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件；③命题“∃x0∈(0，+∞)，x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0，+∞)，x+1x＜2”其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得三个选项出结论．解：①定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+b，所以有f（﹣x）＝f（x），即a＝﹣4，定义域为[a，b]，所以b＝4，所以函数f（x）在x＝±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tan x＝1”成立，而“tan x＝1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tan x＝1”的充分不必要条件正确；③由全称特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0，+∞)，x0+1x≥2”的否定形式是“∀x∈(0，+∞)，x+1x＜2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．【点评】本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，属中档题的考查．9．已知log m3＞0，a=m log42，b=m log32，c=m20.5，则a，b，c间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log m3＞0，∴m＞1，∵0＜log42＜log32＜1，20.5＞1，∴a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤＝15斤，1斤＝16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A．9两B．266127两C．26663两D．250127两【分析】共有银：16×16+10＝266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a 为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．解：由题意共有银：16×16+10＝266两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成以a 为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a =266127． 故选：B ．【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为（ ） A ．√2B ．√22C ．√32D ．2√33【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tan A ＝2tan B ，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．解：因为acosB −bcosA =c3，由正弦定理可得，sin A cos B ﹣sin B cos A =13sin C =13（sin A cos B +sin B cos A ）， 化简可得，tan A ＝2tan B ，则acosBacosA+bcosB=sinAcosB sinAcosA+sinBcosB=1cosA cosB +sinBsinA≤2√sinBcosA sinAcosB，当且仅当cosAcosB =sinB sinA时取等号，=1√tanB tanA=√22，即最大值√22，故选：B ．【点评】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12．已知f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，且f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．3﹣2log 32C ．2D ．32log 32−1【分析】运用奇偶性的定义，将x 换为﹣x ，联立两个方程求得f （x ），g （x ），由题意可得t ≤3g （x ）﹣f （x ）的最小值，构造函数h （x ），求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围．解：f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ）， 由f （x ）+g （x ）＝log 3（3x +1），① 可得f （﹣x ）+g （﹣x ）＝log 3（3﹣x +1）， 即为﹣f （x ）+g （x ）＝log 3（3﹣x +1），②联立①②可得f （x ）=12x ，g （x ）＝log 3（3x +1）−12x ， 由不等式3g （x ）﹣f （x ）﹣t ≥0对x ∈R 恒成立，可得t ≤3g （x ）﹣f （x ）＝3log 3（3x+1）﹣2x ＝log 3(3x +1)33恒成立，设h （x ）=(3x +1)332x，h ′（x ）=ln3⋅32x(1+3x )2(3x−2)34x ， 当x ＞log 32时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，当x ＜log 32时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减， 可得x ＝log 32处h （x ）取得极小值，且为最小值3﹣2log 32， 则t ≤3﹣2log 32， 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影等于 −83 ．【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可． 解：向量a →=（2，−√5），b →=（1，2√5），则b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ=a →⋅b →|a →|=2×1−√5×2√5√2+(−√5)2=−83． 故答案为：−83．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14．在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为√7+13． 【分析】根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c ﹣c ＝2a ，即可解出e ． 解：由题得，AB ＝2c ，BC ＝c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC=√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c ﹣c ＝2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题． 15．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在[−π6，π4]上单调减，则ω的最大值是 2 ．【分析】根据f（x）是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f（x）＝﹣sinωx，然后根据题意即可得出[−π6，π4]⊆[−π2ω，π2ω]，然后即可得出ω≤2，从而得出ω的最大值．解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝cosφ＝0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω＞0，f（x）在[−π6，π4]上单调减，∴[−π6，π4]⊆[−π2ω，π2ω]，∴π2ω≥π4，解得ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．16．已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD＝2，AB＝AD=√6，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为9π2．【分析】根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．解：∵AB＝AD，取BD中点E，则AE⊥BD∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD＝2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2＝OE2+EB2，∴R2＝2+（2﹣R）2，解可得，R =32，V =4πR 33=43×(32)3=9π2．【点评】本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12na n +a n −1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{2a n2}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜32．【分析】（1）当n ＝1时，S 1=12a 1+a 1−1=a 1，得a 1＝2，当n ≥2时，由S n =12na n +a n −1得，S n−1=12(n −1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n 的通项公式；（2）根据（1）得，当n ＝1时，2a 12=12，当n ≥2时，2a n2=2(n+1)2＜2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．解：（1）当n ＝1时，S 1=12a 1+a 1−1=a 1，得a 1＝2，当n ≥2时，由S n =12na n +a n −1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n＝（n+1）a n﹣1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋯a2a1⋅a1=n+1n⋅n n−1⋯32⋅2=n+1，综上，a n＝n+1（n∈N*）；（2）证明：根据（1）得，当n＝1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)＜2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2＜12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1＜3 2，故命题成立．【点评】本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE＝∠CEF＝45．（1）证明：DC∥FE；（2）求二面角D﹣BE﹣C的平面角的余弦值．【分析】（1）推导出AB ∥FE ，从而AB ∥平面EFDC ，进而DC ∥AB ，由此能证明DC ∥FE ．（2）由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB ∥FE ， ∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB ∥平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC ＝DC ， ∴DC ∥AB ，∴DC ∥FE ．（2）解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG ＝∠CEF ＝45°，设AB ＝4，则D （0，0，1），E （﹣3，0，0），C （﹣2，0，1），B （﹣3，4，0），BD →=（3，﹣4，1），ED →=（3，0，1），BC →=（1，﹣4，1），EC →=（1，0，1）， 设平面DBE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BD →=3x −4y +z =0m →⋅ED →=3x +z =0，取x ＝1，得m →=（1，0，﹣3）， 设平面BEC 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅BC →=a −4b +c =0n →⋅EC →=a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，0，﹣1）， 设二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角为θ， 则二面角D ﹣BE ﹣C 的平面角的余弦值为：cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√10⋅√2=2√55．【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知点P 在圆O ：x 2+y 2＝9上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ →=3√2MQ →． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （﹣3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【分析】（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），Q （x 0，0），则由4PQ →=3√2MQ →，得x 0＝x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2＝9，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．解：（1）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），Q （x 0，0），则由4PQ →=3√2MQ →，得4（0，﹣y 0）=3√2（x 0﹣x ，﹣y ），∴x 0＝x ，y 03√24y ， 代入圆O ：x 2+y 2＝9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．证明如下：设直线l 为x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{x =my +1x 29+y 28=1，得（8m 2+9）y 2+16my ﹣64＝0． 则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2＝4（y 1+y 2），则k AGk BH =y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p分别表示出每个X的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；（2）先结合p的取值范围和（1）中的结论确定p的取值，然后就能得到一颗B种树苗成活的概率；记Y为n棵树苗的成活棵数，则Y～B（n，0.92），再结合二项分布的性质，列出关于n的不等式，解之并取整即可．解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝0.3（1﹣p）2＝0.3﹣0.6p+0.3p2，P（X＝1）＝0.7（1﹣p）2+0.3×2p（1﹣p）＝0.1p2﹣0.8p+0.7，P（X＝2）＝2×0.7p（1﹣p）+0.3p2＝﹣1.1p2+1.4p，P（X＝3）＝0.7p2，所以X的分布列为X0123P0.3﹣0.6p+0.3p20.1p2﹣0.8p+0.7﹣1.1p2+1.4p0.7p2所以E（X）＝1×0.1p2﹣0.8p+0.7+2×﹣1.1p2+1.4p+3×0.7p2＝2p+0.7．（2）因为0.6≤p≤0.8，由（1）可知，当p＝0.8时，E（X）取得最大值，①一棵B种树苗最终成活的概率为0.8+（1﹣0.8）×0.75×0.8＝0.92，②记Y为n棵树苗的成活棵数，则Y～B（n，0.92），E（Y）＝0.92n，∴（0.92×400﹣0.08×80）n≥100000，解得n≥100000361.6≈276.55，∴n≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点评】本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21．已知函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a的值；（2）若m∈一、选择题，且m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，求m的最大值．【分析】（1）f（x）＝（a﹣1）x+xlnx⇒f′（x）＝a+lnx，依题意，f′（e2）＝a+lne2＝4，可求得a的值；（2）由（1）知f（x）＝x+xlnx，∀x＞1，m（x﹣1）＜f（x）+1⇔m＜f(x)+1x−1对任意x＞1恒成立，构造函数g（x）=f(x)+1x−1，求g′（x）=x−lnx−3(x−1)2，再令μ（x）＝x﹣lnx﹣3，分析得到∃x0∈（4，5），使得μ（x0）＝x0﹣lnx0﹣3＝0，g（x）min＝g（x0）＝x0﹣1∈（3，4），从而可求得m的最大值．解：（1）∵f（x）＝（a﹣1）x+xlnx，∴f′（x）＝a+lnx，∵函数f（x）＝（a﹣1）x+xlnx 的图象在点A（e2，f（e2））处的切线斜率为4，∴f′（e2）＝a+lne2＝4，∴a＝2．（2）由（1）知f（x）＝x+xlnx，∵m（x﹣1）＜f（x）+1对任意x＞1恒成立，∴m＜f(x)+1x−1对任意x＞1恒成立，令g（x）=f(x)+1x−1，则g′（x）=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ（x）＝x﹣lnx﹣3，则μ′（x）＝1−1 x，∵x＞1，∴μ′（x）＞0，∴μ（x）＝x﹣lnx﹣3在（1，+∞）为增函数．∵μ（4）＝1﹣ln4＜0，μ（5）＝2﹣ln5＞0，∴∃x0∈（4，5），使得μ（x0）＝x0﹣lnx0﹣3＝0，∴x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g （x）单调递增，∴g（x）min＝g（x0）=x0+x0lnx0+1x0−1=x0+x0(x0−3)+1x0−1=x0﹣1，故有m＜x0﹣1对x＞1都成立，∵x0∈（4，5），x0﹣1∈（3，4），∴m的最大值为3．【点评】本题第（1）问考查切线问题，第（2）问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα（t为参数）．（1）点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2+1＝0垂直，求点A的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 解：（1）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2，π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2（x ≥0），A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2+1＝0垂直，所以{x 2+y 2=2y =−12x x ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A （2√105，−√105）． （2）直线l 的直角坐标方程为y ＝﹣4+k （x +2）与半圆x 2+y 2＝2（x ≥0）有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2﹣8k +7＝0，解得k ＝1或7，由于B （0，√2），C （0，−√2）P （﹣2，﹣4），所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22，4−√22]∪{1}． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|+2|x +1|，x ∈R ．（1）求不等式f （x ）＜5的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）+2＜|2t ﹣1|在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写成分段函数的形式，f （x ）＜5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得（f （x ）+2）min ≥|2t ﹣1|，由f （x ）的解析式可得f （﹣1）为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，则{x ＜−1−3x −1＜5或{x ＞13x +1＜5或{−1≤x ≤1x +3＜5， 解得﹣2＜x ＜﹣1或1＜x ＜43或﹣1≤x ≤1，则原不等式的解集为（﹣2，43）；（2）关于x 的不等式f （x ）+2＜|2t ﹣1|在实数范围内解集为空集，等价为（f （x ）+2）min ≥|2t ﹣1|，由（1）可得f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，则2+f （x ）的最小值为4，则|2t ﹣1|≤4，解得−32≤t ≤52，则t 的取值范围是[−32，52]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。