高考数学专题复习数学归纳法
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2016高考数学专题复习：数学归纳法2015.07.011.用数学归纳法证明()N n n n n ∈≥≥,333第一步应验证 （ ） A.1=nB.2=nC.3=nD.4=n2.用数学归纳法证明“()N n a aa a a a n n ∈≠--=+++++,1,111212，”时，在验证1=n 成立时，左边是（ ）A.1B.a +1C.21a a ++D.321a a a +++ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时， 若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立4.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推出 （ ） A ．当6=n 时该命题不成立 B ．当6=n 时该命题成立C ．当8=n 时该命题不成立D ．当8=n 时该命题成立5.用数学归纳法证明“)12(312)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时， 从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A.12+kB.)12(2+kC.112++k k D.122++k k 6.观察下列式子474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可归纳出 7.证明:n n ≥++++1312118.若n 为大于1的自然数，求证:2413212111>+++++n n n9.求证：()()6121432122222++=+++++n n n n10.首项为正数的数列{}n a 满足）（++∈+=N n a a n n ),3(4121，证明：若1a 为奇数，则对一切2≥n ， n a 都是奇数11.已知数列{}n b 是等差数列,100,110211=+++=b b b b (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式(Ⅱ)数列{}n a 的通项11,n na b =+n T 是数列{}n a 的前n 项之积，即n n a a a T 21⋅=，证明：n T >12.已知在数列{}n a 中，前n 项和()nn n n S 32⋅+=（Ⅰ）求n a ，如果t S a n n ⋅<对于任意+∈N n 成立，求t 的取值范围 （Ⅱ）证明：nn na a a 32122221>+++ 对于任意+∈N x 成立13.（1）求证：21234+++n n 能被13整除.()+∈N n（2）求证：()1211-+++n n a a 能被12++a a 整除，()Z a N n ∈∈+,14.证明()22213221+++⋅+⋅n n =()()101131212+++n n n n 对一切自然数n 都成立15.（1）已知数列{}n a 中，0,21>=n a a ，且满足()N n a a n n ∈=--+012221，求n a ，用数学归纳法证明（2）已知集合{}21,N A x x n n *==--∈,{}63,N B x x n n *==-+∈，设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若{}n a 的任一项B A a n ∈,且首项1a 是A B 中的最大数, 10750300S -<<-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足139(2n a n n b +-=，令n T =246224()n b b b b ++++，比较n T 与4821nn +的大小.16.数列{}n a 中，432111,,,21,125,1b b b b a b a a a n n n n ，求-=-==+，猜想{}n b 通项公式，用数学归纳法证明17.数列{}n a 中，⎪⎭⎫⎝⎛=-12sin n n a a π，211=a ，求证：101<<<+n n a a18.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数） （Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）令1n n n c a n+=，12........n n T c c c =+++比较n T 与521nn +大小19.在数列{}n a 中，，121,411,111-=-==+n n n n a b a a a 其中+∈N n （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列 （Ⅱ）求证：()2,2141312111≥∈<+++++--n N n b n n20.已知2,*≥∈n N n ，证明不等式：()()21432ln -<⋅⋅n n n21.已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈.22.已知数列{}n a 中，首项n S a ,11=是其前n 项和，并且满足n n a n S 2=（Ⅰ）试求5432,,,a a a a（Ⅱ）试归纳数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明23.已知数列n n n b 32=，求证94≤n b24.数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足（Ⅰ）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ) 设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，25.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{}n b 是等差数列()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[][]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()().22421,22,.2221,252212122122,2,4,2420122313311,9432321212,302,202,122,621122123333,1,123131313,13,32,32102ln 22,1ln 1ln 211ln 21132ln ,1201211212121,12121,19.3,1223,1223221231232133,211,,212118102sin 2sin 2sin 0sin .sin ,22201017324241422414234222,6,2,11631222112422.91212,32.23211551331221212112532112114111:111:241334333416341334113.2162113432,34212.3212221212221221212212,122,1211.113124112106112211612119.0112211218111121117.1212116.5.4.3.2.111221122224322221221543212211111112111111111432111222212121221211221221221112212121222222pk d k kp kd d kp k d kp d k kp d k p dk k p d p d n n nnn n n k k k k k n n k k n n n n n n n n k k k k n n nnnn nn n nn n k k k k k k k k k k k k k k k k k k n n n nn n n n n k k k k k k k k k k k k k k n n n n k k k n k n p d n p dn b nn nn n S n b a a k k k k k k k n k k n k k a k k a a a a a a n n a k k n n n n W b n a h x x x h k k k k k k k k k k n k n b n n n n n n n n n T n c n b a a a a a a z x y a a a a k n b a a b b b b b n n T b n a d a a k k k k k k k k k k k k a a a a a a a k m a a a a k m k k t n n t n n a k k k k k k k k k kn n a n b k k k a k a k k k k k k k k n k k k k k k k k k k k n n n B A B C C ++++++-++++++-+++-++-----+++++++-----+-+-++++++++++++-+==⋅⇒+====+⇒=⇒=+=+>⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+-====>--⇔<+⇔<+⇒+=≤⇒=++=⇒+=====⇒--=+>⋅=+=+≥⇔-≥-+-=⋅==>-=+-=⇐+>⇔+<++-=+⋅+=<⎪⎭⎫⎝⎛++++++-<++=⎪⎩⎪⎨⎧>+>≤+<⇒+↔⇔++-+↔⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=<<<⇒<<<⇒=<<<⇒<<<⇒=--=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒--=⇒-=-=-=-=≥+>⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=⇒-=-=+=+++++=++++⋅⇒+++=+++⋅⋅++-++++=+⇒⋅++=++⋅++⋅=⋅+⋅=+⇒=+>++>⇒++>+=+>++⋅+>++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⇒-++-=-=++=++=⇒+=++++=++++⇒+=>+-++++≥++++⇐+≥++-<+++ππππππ，数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，nny x +能被y x +整除”，在第二步时，正确的证法是( ) A ．假设()+∈=N k k n ,，证明1+=k n 命题成立 B ．假设k n =(k 是正奇数)，证明1+=k n 命题成立 C ．假设()+∈+=N k k n ,12，证明1+=k n 命题成立 D ．假设k n =(k 是正奇数)，证明2+=k n 命题成立 答案 D2.数学归纳法证明“122+>n n对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6答案 C3．对于不等式()+∈+<+N n n n n ,12，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当k n =(k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k<k ＋1，则当1+=k n 时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当1+=k n 时，不等式成立，则上述证法( )． A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从k n =到1+=k n 的推理不正确 答案 D5．用数学归纳法证明2321242n n n +=++++ ，则当1+=k n 时左端应在k n =的基础上加上( )．A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C. ()()21124+++k kD ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D6．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)答案 D7．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则当1+=k n 时，左端应在k n =的基础上加上( )． A.12k ＋2 B ．－12k ＋2C.12k ＋1－12k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋2答案 C 二、填空题8．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3, 32＝1＋3＋5, 42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5, 33＝7＋9＋11, 43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________． 答案 159.用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当1+=k n 等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)10．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1…解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n －1)＝2n－2n. 答案 2n－2n11．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n(2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋1三、解答题13．用数学归纳法证明下面的等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1nn ＋12. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×1＋12＝1，∴原等式成立． (2)假设k n =(k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1kk ＋12.那么，当1+=k n 时，则有 12－22＋32－42＋…＋ (－1)k －1·k 2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k －1k k ＋12＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)kk ＋1k ＋22，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意n ∈N *有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1nn ＋12. 14．已知数列{a n }中，a 1＝a(a ＞2)，对一切n ∈N *，a n ＞0，a n ＋1＝a 2n2a n －1.求证：a n ＞2且a n ＋1＜a n .证明 法一 ∵a n ＋1＝a 2n2a n －1＞0，∴a n ＞1，∴a n －2＝a 2n －12a n －1－1－2＝a n －1－222a n －1－1≥0，∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2，由此可推出a k －2＝2，…，a 1＝2，与a 1＝a ＞2矛盾，故a n ＞2. ∵a n ＋1－a n ＝a n 2－a n2a n －1＜0，∴a n ＋1＜a n .法二 (用数学归纳法证明a n ＞2)①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，故命题a n ＞2成立； ②假设k n =(k ≥1且k ∈N *)时命题成立， 即a k ＞2，那么，a k ＋1－2＝a 2k 2a k －1－2＝a k －222a k －1＞0.所以a k ＋1＞2，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，命题a n ＞2对一切正整数成立．a n ＋1＜a n 的证明同上． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解析 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. (ⅰ)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；(ⅱ)设当k n =(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k ＝a k ＋1. 故由(ⅰ)(ⅱ)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n ，所以a 2n－ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…13n (α－1)．当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.16．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an(bn 2＋c)对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解析 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an(bn 2＋c)对于一切n ∈N *都成立． 当n ＝1时，a(b ＋c)＝1； 当n ＝2时，2a(4b ＋c)＝6； 当n ＝3时，3a(9b ＋c)＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a b ＋c ＝1，a 4b ＋c ＝3，3a 9b ＋c ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下： ①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设k n =(k ∈N *)时等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k(2k 2＋1)； 当1+=k n 时， 12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k(2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k(2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k(2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即1+=k n 时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．。
