高考数学专题复习专题三数学归纳法课件
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高三数学归纳法课件
n( n 1) 求证: f ( n) . 2
(n) ,
【练习】平面内有n条直线，其中任意两
条都相交，任意三条不共点，证明:这n条
n n2 直线被分成 段. 2
2
【例6】用数学归纳法证明:
n 2 ( n N , n 5)
2 n
【例7】用数学归纳法证明:
| sin n | n | sin | ( n N )
左式= 右式= ； 。
基础练习：
1 1 1 (n N ) 3、已知 f ( n ) n 1 n 2 2n
则当n=1时，f ( n ) 则当n=k+1时， ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( k 1) f ( k )
。
数学归纳法的应用：
1、证明恒等式； 2、证明数列问题；
3、证明整除问题；
4、证明几何问题； 5、证明不等式。
【例1】用数学归纳法证明：
n( n 1)( 2n 1) 1 ＋2 ＋3 ＋＋n 6
2 2 2 2
【练习】用数学归纳法证明：
1 4＋2 7＋＋ n (3n 1) n ( n 1)
2
【例2】已知数列{an }满足 S n 2 n a n ，
求证：an
2
1
2
n 1
【练习】已知数列 {an } 满足：
a1 1, a n a n 1 3 ( n 2)
n 1
3 1 求证：an 2
n
【例3】用数学归纳法证明:
n 5n ( n N ) 能够被6整除.
3
【练习】用数学归纳法证明:
n n ( n N ) 能够被2整除.
高考数学一轮复习课件6.8数学归纳法及其应用
【审题视点】 观察前4个式子，左边的项数及分母的 1 1 1 n 变化，不难发现一般的不等式为1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈N*)，并用数学归纳法证明．
1 1 1 n 【尝试解答】 一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈ N*)，证明如下： (1)当 n＝ 1时，由题设条件知命题成立． (2)假设当n＝ k(k∈ N*)时，猜想正确， 1 1 1 k 即 1＋ ＋ ＋ …＋ k ＞ . 2 3 2 －1 2 1 1 1 1 1 当 n＝ k＋ 1时，1＋ ＋ ＋…＋ k ＋ k＋ …＋ k＋1 2 3 2 －1 2 2 －1 k 1 1 1 ＞ ＋ k＋ k ＋ …＋ k＋ 1 2 2 2 ＋1 2 －1
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ， 2 3 4 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ . 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 ∴f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋1 3n＋2
1 1 1 【答案】 ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2
•【答案】 2k
用数学归纳法证明： n（n＋1） 12 22 n2 ＋ ＋…＋ ＝ 1×3 3×5 （2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*)．
•【审题视点】 (1)第一步验证n＝1时等式成 立． •(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证 明n＝k＋1时，等式成立．
12 1 【尝试解答】 ①当n＝ 1时，左边＝ ＝ ， 1· 3 3 1×（ 1＋1） 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，等式成立． 2×（ 2× 1＋ 1） 3 ②假设 n＝ k(k≥ 1)时，等式成立． 12 22 k2 即 ＋ ＋… ＋ ＝ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1） k（ k＋ 1） ， 2（ 2k＋ 1） 当 n＝ k＋ 1时，左边 12 22 k2 ＝ ＋ ＋ …＋ ＋ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1）
1 1 1 n 【尝试解答】 一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n ＞ 2 3 2 －1 2 (n∈ N*)，证明如下： (1)当 n＝ 1时，由题设条件知命题成立． (2)假设当n＝ k(k∈ N*)时，猜想正确， 1 1 1 k 即 1＋ ＋ ＋ …＋ k ＞ . 2 3 2 －1 2 1 1 1 1 1 当 n＝ k＋ 1时，1＋ ＋ ＋…＋ k ＋ k＋ …＋ k＋1 2 3 2 －1 2 2 －1 k 1 1 1 ＞ ＋ k＋ k ＋ …＋ k＋ 1 2 2 2 ＋1 2 －1
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ， 2 3 4 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ . 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 ∴f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋1 3n＋2
1 1 1 【答案】 ＋ ＋ 3n 3n＋1 3n＋2
•【答案】 2k
用数学归纳法证明： n（n＋1） 12 22 n2 ＋ ＋…＋ ＝ 1×3 3×5 （2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*)．
•【审题视点】 (1)第一步验证n＝1时等式成 立． •(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证 明n＝k＋1时，等式成立．
12 1 【尝试解答】 ①当n＝ 1时，左边＝ ＝ ， 1· 3 3 1×（ 1＋1） 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，等式成立． 2×（ 2× 1＋ 1） 3 ②假设 n＝ k(k≥ 1)时，等式成立． 12 22 k2 即 ＋ ＋… ＋ ＝ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1） k（ k＋ 1） ， 2（ 2k＋ 1） 当 n＝ k＋ 1时，左边 12 22 k2 ＝ ＋ ＋ …＋ ＋ 1· 3 3· 5 （ 2k－ 1）（ 2k＋ 1）
高考数学总复习：第十二篇 第3讲 数学归纳法
(m∈N*)能被3整除．
证明 (1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1) ＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定
要运用n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
考点自测
1 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条 2 时，第一步检验第一个值 n0 等于 ( )．
A．1 解析 答案 C
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.
因此n＝k＋1时等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
法二
由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋„＋2na1，
① ②
2Tn＝22an＋23an－1＋„＋2nan＋2n＋1a1. ②－①，得
则当n＝k＋1时有
抓住2个考点 突破4个考向 揭秘3年高考
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
2013高考数学总复习精品课件 ： 数学归纳法
证明： (1)当n=1时,左边 1 ,右边= 1 (2)假设当n=k时等式成立,即 1 1 1 1 1 1 2 3 ... k 1 k 1 k 2 2 2 2 2 2 那么当n=k+1时,
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2
,等式成立.
1 左边= 1 12 13 ... 11 1k 11 1 1k 11 1 2 k1 1 11 右边 k k k k 2 2 2
证明： （1）当n=1时， 左边=
1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 2 1 3 2 3 4 12
,∴n=1时不等式成立.
（2）假设n=k(k∈N*)时原不等式成立, 即 左边= 1 1 ... 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 k 1 k 2 3k 1
举一反三
2. 用数学归纳法证明：1 3 x n (n∈N*)能被x+2整除.
证明： （1）当n=1时， 1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除. （2）假设当n=k时， 3 x 能被x+2整除, 1
k
则可设 1 3 x = x 23 x f x (f(x)为k-1次多项式).
7k 1 1 也能被9整除. 能被9整除来推证 3k 4
证明 设 f n 3n 1 n 1 7
1 之间的关系，以便利用归纳假设 3k 1 k 1 7
（1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立. (2)假设n=k(k∈N*)时命题成立， 即 f k 3k 1 k 1 (k∈N*)能被9整除. 7 则 f k 1 f k 3k 4 7 k 1 1 3k 17 k 1 9 2k 3 k 7
数学归纳法
5．由 k 到 k＋1 这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适 当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．
6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题 中经常出现的题型，希望同学们用心体会．
7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度 能证明一些简单的数学命题就可以了．
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1. 【思路分析】 本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤， 注意当 n＝k＋1 时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设 n＝k 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋212k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1] ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切正整数 n∈N*，等式成立．
【名师点睛】 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证 n＝k＋1 成立时，必须用 n＝k 成立的结论，否则，就不是数学 归纳法证明．
1．用数学归纳法证明： 1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝ 16k(k＋1)(k＋2)成立．
(2)假设 n＝2k(k∈N*)时，命题成立， 即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 当 n＝2k＋2 时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)． ∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被 x＋y 整除， ∴x2k＋2－y2k＋2 能被 x＋y 整除，即 n＝2k＋2 时命题成立． 由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立． 【名师点睛】 因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假 设中采用了 n＝2k(k∈N*)与它相邻的是 n＝2k＋2.要注意体会 n ＝2k＋2 时的变形方法．
高考数学知识点总复习pppt课件
• ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a
＋1)2
27
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被 a2＋a＋1 整除．
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意 n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2 ＋a＋1 整除．
＋
1 2k＋1－1
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
13
• 所以当n＝k＋1时等式也成立．
• 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立．
• (2)(n归＝k纳＋1递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时 命题成立，推出当__________时命题也成 立．
3
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取 第一个值后面的所有正整数都成立．上述证 明方法叫做数学归纳法．
• 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？
• 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了 递推思想，第一步是递推的基础，第二步是 递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会 导致错误．
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1
• 1．了解数学归纳法的原理． • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
2
• [要点梳理]
• 数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
高考数学第一轮复习考纲《数学归纳法》课件21三 理
1 1 1 a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ， 15 35 63 由 1×3,3×5,5×7,7×9，„ 1 可得 an＝ . 2n－12n＋1
考点 1
对数学归纳法的两个步骤的认识
例 1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n ＝k(k≥2 且为偶数)时命题为真，则还需证明( A．n＝k＋1 时命题成立 C．n＝2k＋2 时命题成立 ) B．n＝k＋2 时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立
故左边增加的式子是 考点 2
1 1 1 1 ＋ － ，即 . 2k＋1 2k＋2 k＋1 2k＋12k＋2
用数学归纳法证明恒等式命题
例 2：是否存在常数 a、b、c，使等式 1· 22＋2· 32＋…＋n(n ＋1)2＝nn＋1(an2＋bn＋c)对一切正整数 n 都成立？证明你的 12
4．如果 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋„＋n(n＋1)(n＋2) 1 ＝ n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数 n 都成立， a、 b 的值应该 4 等于( )
A．a＝1，b＝3 C．a＝1，b＝2
答案：D
B．a＝－1，b＝1 D．a＝2，b＝3
解析：令 n＝1,2，得到关于 a、b 的方程组，解得即可． 1 4．在数列{an}，a1＝ 且 Sn＝n(2n－1)an，通过求 a2、a3、 5 3 1 4n2－1 a4，猜想 an 的表达式，其结果是_______. 1 解析：a1＝ 且 Sn＝n(2n－1)an 得， 3
题等 _____．
1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验 证( C )
A．n＝1 时成立 C．n＝3 时成立 B．n＝2 时成立 D．n＝4 时成立
解析：多边形至少有三边． 1 1 1 2． 用数学归纳法证明： 1＋ ＋ „＋ n <n， (n∈N*且 n>1) 2 3 2 －1
高考数学总复习 114数学归纳法课件 理 新人教A版
所以当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，命题都成立．
平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不 共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2)个区域．
解析：(1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分，又12(12 ＋1＋2)＝2，
∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即 k 条满足题意的直线把平面分割成12(k2＋k＋2)个区域． 那么，当 n＝k＋1 时，
分析：关键是 n＝k 到 n＝k＋1 的过渡，要想搞清 f(k＋ 1)比 f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第 k＋1 个圆被原 来的 k 个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一 分为二，为此先求出第 k＋1 个圆与原来的 k 个圆的交点个数 即可．
证明：(1)当 n＝1 时，一个圆把平面分成两个部分， 又 f(1)＝12－1＋2＝2，所以 n＝1 时，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立，即平面内满足条件的 k 个圆把 平面分成 f(k)＝k2－k＋2 个部分． 则 n＝k＋1 时，第 k＋1 个圆与前 k 个圆中的每一个各有 两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得 2k 个交点，这 2k 个交点把第 k＋1 个圆分成 2k 条圆弧，每条圆弧把原来所在的 区域一分为二，所以平面的区域增加 2k 个，即 f(k＋1)＝f(k) ＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步 骤进行： (1)归纳奠基：验证当 n 取第一个值 n0 时结论成立； (2)归纳递推：假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论成立， 推出 n＝ k＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有自然数 n(n≥n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．
高考数学一轮总复习 12.5 数学归纳法精品课件 理 新人教版
论:“P(k)能被 p 整除且 P(k+1)-P(k)能被 p 整除⇒ P(k+1)能被 p 整除”.
diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
第二十页，共27页。
考点(kǎo
diǎn)三
考点(kǎo diǎn)四
考点(kǎo di
探究
(tànjiū)突
破
举一反三 4 用数学归纳法证明 42n+1+3n+2 能被 13 整除,其中 n 为正整
纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.
kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十四页，共27页。
考点(kǎo diǎn)四
考点(kǎo diǎn)五
探究
(tànjiū)
突破
1
a1=2,an+1=an+ (n=1,2,…).
举一反三 2 设数列{an}满足
− =
+
+…+ ,
2
3
4
2
+1
+2
2
2-1
关闭
则当 n=k+1 时,
1 1 1
1
1
1
1
1- + - + … +
+
2 3 4
2-1 2
2 + 1 2 + 2
=
1
1
1
+
+…+
+1
+2
2
+
1
1
2+1 2+2
=
diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
第二十页，共27页。
考点(kǎo
diǎn)三
考点(kǎo diǎn)四
考点(kǎo di
探究
(tànjiū)突
破
举一反三 4 用数学归纳法证明 42n+1+3n+2 能被 13 整除,其中 n 为正整
纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.
kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十四页，共27页。
考点(kǎo diǎn)四
考点(kǎo diǎn)五
探究
(tànjiū)
突破
1
a1=2,an+1=an+ (n=1,2,…).
举一反三 2 设数列{an}满足
− =
+
+…+ ,
2
3
4
2
+1
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2
2-1
关闭
则当 n=k+1 时,
1 1 1
1
1
1
1
1- + - + … +
+
2 3 4
2-1 2
2 + 1 2 + 2
=
1
1
1
+
+…+
+1
+2
2
+
1
1
2+1 2+2
=
【新教材】高中数学优质课件之数学归纳法
【新教材】高中数学优质课件之数学归纳法一、教学内容本节课我将带领同学们学习新教材高中数学选修22第四章第一节数学归纳法。
具体内容包括数学归纳法定义、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法定义和原理；2. 学会运用数学归纳法证明数学命题；3. 提高学生逻辑思维能力和解决问题能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解数学归纳法原理，学会运用数学归纳法进行证明。
教学重点：数学归纳法定义、步骤以及运用。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体教学设备、PPT课件、黑板、粉笔；2. 学生准备：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入以“上台阶”为例，引导同学们思考如何用数学方法解决实际问题，从而引出数学归纳法概念。
2. 例题讲解通过讲解“自然数求和公式”证明过程，让同学们理解数学归纳法基本步骤。
3. 随堂练习让同学们尝试运用数学归纳法证明一些简单数学命题，如“n(n+1)/2是前n个自然数和”。
4. 知识拓展讲解数学归纳法在实际问题中应用，如“斐波那契数列”递推关系。
六、板书设计1. 数学归纳法定义及原理；2. 数学归纳法证明步骤；3. 典型例题及解题方法；4. 课后作业。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 证明：1+3+5++(2n1)=n^2(2) 证明：1^2+2^2+3^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/62. 答案：(1) 证明：当n=1时，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1+3+5++(2k1)=k^2；当n=k+1时，等式左边=1+3+5++(2k1)+(2k+1)=(1+3+5++(2k1))+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2；所以等式成立。
(2) 证明：当n=1时，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^2+2^2+3^2++k^2=k(k+1)(2k+1)/6；当n=k+1时，等式左边=1^2+2^2+3^2++k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k(2k+1 )+6(k+1))/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6；所以等式成立。
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第四讲
数学归纳法
考点一 用数学归纳法证明等式 一、基础知识要记牢
1．用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺 一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递 推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项， 并注意初始值 n0 是多少，同时第二步由 n＝k 到 n＝k＋1 时要充 分利用假设，不利用 n＝k 时的假设去证明，就不是数学归纳法． 2．掌握恒等变形常用的方法 (1)因式分解；(2)添拆项；(3)配方法．
则当 n＝k＋1 时，1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋ 2k1＋1－2k1＋2
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题，其关键 在于第二步，不妨设命题为 Pn：“fn＝gn”，其第二步 相当于做一道有关条件等式的证明题：“已知 fk＝gk，求 证：fk＋1＝gk＋1”.这一证明过程通常分三步：1找出 fk ＋1与 fk的递推关系；2把归纳假设 fk＝gk代入；3作 恒等变形化为 gk＋1.
则当
n＝k＋1
时
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2k－12k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k 2k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k2k＋3＋1 2k＋12k＋3
＝
22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2kk＋＋11＋1，
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
二、经典例题领悟好 [例 1] (2017·金华模拟)求证 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)．
[解] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12，左边＝右边． (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＝ k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
考点二 用数学归纳法证明不等式 一、基础知识要记牢
1．数学归纳法证明不等式的适用范围 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明问题，应用其他方 法不容易求证时，则可考虑应用数学归纳法． 2．数学归纳法证明不等式的关键 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，推证 n ＝k＋1 时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、 求差(求商)比较法、放缩法等证明．
三、预测押题不能少
2．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an2＋1＋an＋1－1＝an2.求证：当 n ∈N*时，an<an＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根， 所以 a2＝ 52－1，即 a1<a2 成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1， 所以 a2k＋1－ak2＝(ak2＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又 ak＋1>ak≥0，ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以 ak＋2－ak＋1>0，所以 ak＋1<ak＋2， 即当 n＝k＋1 时，an<an＋1 也成立． 根据(1)和(2)，可知 an<an＋1 对任何 n∈N*都成立．
2k＋1 2.
则当 n＝k＋1 时，1＋131＋15·…·1＋ 2k1－11＋2k＋11－1
>
2k2＋1·22kk＋＋12＝2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋23k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.
∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
三、预测押题不能少
1．用数学归纳法证明：对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
2n－112n＋1＝2nn＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，
即有1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2kk＋1，
用数学归纳法证明与正整数有关不等式的第二步，即已知 fk>gk，求证 fk＋1>gk＋1，对这个条件不等式的证明， 应注意灵活运用证明不等式的一般方法.对于较简单的命题， 其基本格式为：fk＋1>fk＋Ak>gk＋Ak>gk＋1.
具体证明过程中要注意以下三点： 1先作等价变换； 2活用起点位置； 3瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析.
二、经典例题领悟好
பைடு நூலகம்
[例 2] 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，
不等式1＋131＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立．
[证明]
(1)当
n＝2
时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15·…·1＋2k1－1>
数学归纳法
考点一 用数学归纳法证明等式 一、基础知识要记牢
1．用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺 一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递 推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项， 并注意初始值 n0 是多少，同时第二步由 n＝k 到 n＝k＋1 时要充 分利用假设，不利用 n＝k 时的假设去证明，就不是数学归纳法． 2．掌握恒等变形常用的方法 (1)因式分解；(2)添拆项；(3)配方法．
则当 n＝k＋1 时，1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋ 2k1＋1－2k1＋2
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
数学归纳法可以证明与自然数有关的恒等式问题，其关键 在于第二步，不妨设命题为 Pn：“fn＝gn”，其第二步 相当于做一道有关条件等式的证明题：“已知 fk＝gk，求 证：fk＋1＝gk＋1”.这一证明过程通常分三步：1找出 fk ＋1与 fk的递推关系；2把归纳假设 fk＝gk代入；3作 恒等变形化为 gk＋1.
则当
n＝k＋1
时
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2k－12k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k 2k＋1
＋
1 2k＋12k＋3
＝
k2k＋3＋1 2k＋12k＋3
＝
22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2kk＋＋11＋1，
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
二、经典例题领悟好 [例 1] (2017·金华模拟)求证 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝
n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)．
[解] (1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12，左边＝右边． (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＝ k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
考点二 用数学归纳法证明不等式 一、基础知识要记牢
1．数学归纳法证明不等式的适用范围 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明问题，应用其他方 法不容易求证时，则可考虑应用数学归纳法． 2．数学归纳法证明不等式的关键 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，推证 n ＝k＋1 时也成立，用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、 求差(求商)比较法、放缩法等证明．
三、预测押题不能少
2．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an2＋1＋an＋1－1＝an2.求证：当 n ∈N*时，an<an＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根， 所以 a2＝ 52－1，即 a1<a2 成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak＜ak＋1， 所以 a2k＋1－ak2＝(ak2＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又 ak＋1>ak≥0，ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以 ak＋2－ak＋1>0，所以 ak＋1<ak＋2， 即当 n＝k＋1 时，an<an＋1 也成立． 根据(1)和(2)，可知 an<an＋1 对任何 n∈N*都成立．
2k＋1 2.
则当 n＝k＋1 时，1＋131＋15·…·1＋ 2k1－11＋2k＋11－1
>
2k2＋1·22kk＋＋12＝2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋23k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.
∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
三、预测押题不能少
1．用数学归纳法证明：对任意的
n
∈
N*
，
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
2n－112n＋1＝2nn＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝13，右边＝2×11＋1＝13，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，
即有1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2kk＋1，
用数学归纳法证明与正整数有关不等式的第二步，即已知 fk>gk，求证 fk＋1>gk＋1，对这个条件不等式的证明， 应注意灵活运用证明不等式的一般方法.对于较简单的命题， 其基本格式为：fk＋1>fk＋Ak>gk＋Ak>gk＋1.
具体证明过程中要注意以下三点： 1先作等价变换； 2活用起点位置； 3瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析.
二、经典例题领悟好
பைடு நூலகம்
[例 2] 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，
不等式1＋131＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立．
[证明]
(1)当
n＝2
时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立，
即1＋131＋15·…·1＋2k1－1>