2020年山东省威海市文登区高考数学二模试卷2 (含答案解析)

山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。

山东省威海市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈【答案】D 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.2．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与b r 的夹角为150o,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．4．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.6．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-rr，且a b ⊥rr，·22(2)0a b λ=+-=r r ，则1λ=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 7．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 8．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 9．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C10．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v =-，所以13λ,μ44==-，即可求解，得到答案．【详解】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-， 故选A ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．11．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆223，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B ．2C 5D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220123223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即33c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.12．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，集合．则集合可表示为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·成都月考) 在复平面内，给出以下四个说法：①实轴上的点表示的数均为实数；②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；④已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于第四象限.其中说法正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）(2017·榆林模拟) 函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6=18﹣a7 ，则S12=（）A . 18B . 54C . 72D . 1085. （2分）执行右边的程序框图，若t∈[－1，2]，则s∈（）A . [－1，1)B . [0，2]C . [0，1)D . [－l，2]6. （2分） (2020高一下·南平期末) 已知向量,满足，，则（）A . 4B . 3C . 2D . 07. （2分） (2016高二下·宜春期中) 设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知在双曲线中，F1 ， F2分别是左右焦点，A1 ， A2 ，B1 ， B2分别为双曲线的实轴与虚轴端点，若以A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部，则此双曲线离心率的取值范围是（）A .B . [ ，+∞）C .D .9. （2分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A . 3＜m＜6D . ﹣1＜m＜010. （2分） (2017高二下·台州期末) 曲线y=x3﹣6x2+9x﹣2在点（1，2）处的切线方程是（）A . x=1B . y=2C . x﹣y+1=0D . x+y﹣3=011. （2分） (2019高二下·南充月考) 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A .B .C .D . 3212. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，则P60的坐标为（）A . （3，8）D . （5，7）二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2018高三上·南宁月考) 若的展开式式中含的项为________.14. （1分）(2020·山东模拟) 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________.15. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 设实数满足，则目标函数的最小值为________．16. （2分）(2017·浙江模拟) 某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分） (2020高三上·温州期末) 已知函数（）的周期为 .（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，，对应的边分别为 . ，，，若，且，，求的面积.18. （15分）如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（2）证明：BD∥平面PEC；（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．19. （15分） (2018高二上·贺州月考) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；（3）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断b为何值时，达到最值．（只需写出结论）20. （5分） (2019高三上·清远期末) 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴的两端点分别为，，线段，的中点分别为，，且四边形是面积为8的矩形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．21. （10分） (2019高二下·赣县期中) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若函数在上有零点，求的取值范围.22. （10分）(2020·呼和浩特模拟) 已知椭圆的普通方程为：，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且逆时针依次排列，点的极坐标为（1）写出曲线的参数方程，及点的直角坐标；（2）设为椭圆上的任意一点，求：的最大值.23. （5分） (2019高一上·大庆月考) 已知函数在区间[1，7]上的最大值比最小值大，求a的值参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2020年山东省威海市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数z 满足z =2+i i+i ，则|z|=( )A. √2B. 2C. √5D. √102. 已知集合A ={−3,−1,0，1，3}，B ={x|x 2+3x =0}，则A ∩B =( )A. {−3,0，3}B. {−3,0}C. {0,3}D. {−3,−1,0，1，3}3. 已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为( )A. 85B. 84C. 83D. 814. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32D. −√325. 设x ，y 满足约束条件{x ≥0,y ≥0x −y ≥−1x +y ≤3，则z =2x −y 的最大值为( )A. 0B. 2C. −2D. 6 6. 函数y =sin2x −√3cos2x 的最小值为( )A. 2B. √3C. −2D. −√37. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 一定是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形8. 已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C. y =f(x)的图象关于直线x =1对称D. y =f(x)的图象关于点(1,0)对称9. 如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A. 403 B. 323 C. 163D. 28310. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，则BC =( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √6 11. 函数f(x)的定义域为R ，f(−1)=2，且对任意x ∈R ，f′(x)>2，则f (x )>2x +4的解集为( )A. (−1,1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1)D. R12. 设P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 216−y 29=1上的动点，则△F 1PF 2的重心G 的轨迹方程是( )A. 9x 216−y 2=1(y ≠0)B. 9y 216−x 2=1(y ≠0)C.9x 216+y 2=1(y ≠0)D.9y 216+x 2=1(y ≠0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−3x)5的展开式中x 3的系数为______ ．14. 若抛物线y 2=2px(p >0)上一点A 到焦点和到x 轴的距离分别为10和6，则p = ______ ． 15. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为______ ．16. 已知m,n 为正整数，3m +n =20，则m >n 的概率为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a n ；(2)若d <0，求S n 的最大值．18. 在如图所示的四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB//平面ACE；(2)若PA=AD=1，AB=2，求二面角E−AC−B的余弦值．19.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x(单位：吨，100≤x≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，T(单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．(Ⅰ)视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P(x≥120)；(Ⅱ)将T表示为x的函数，求出该函数表达式；(Ⅲ)在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x∈[100,110)，则取X=105的概率等于市场需求量落入[100,110)的频率)，求T的分布列及数学期望E(T)．20. 在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，已知左顶点的坐标为(−√2,0)，点M 在椭圆C 上，且△MF 1F 2的周长为2√2+2 (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 交椭圆C 于A 、B ，且满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求△ABO 的面积．21. 已知函数f(x)=e x(Ⅰ)当x >0时，设g(x)=f(x)−(a +1)x(a ∈R).讨论函数g(x)的单调性； (Ⅱ)证明当x ∈[12,1]时，f(x)<x 2+x +1．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t,y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：为参数)(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(ρ∈R)与直线l和曲线C 1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．(2)若曲线C 2：θ=π323.已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求证：2≤√at+12+√bt≤4．-------- 答案与解析 --------1.答案：A+i，解析：解：∵z=2+ii∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．2.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解答】解：∵集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}={0,−3}，∴A∩B={0,−3}．故选B．3.答案：A解析：解：由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：1(75+81+85+89+95)=85．5故选：A．利用茎叶图、平均数的性质直接求解．本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．，【解答】解：由三角函数定义得tanα=32sinα即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中等题．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．变形目标函数可得y=2x−z，平移直线y=2x可知当直线经过点A(3,0)时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=2x−y的最大值为6，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了三角函数的辅助角公式，两角差的正弦公式，以及利用三角函数的性质求最值．【解答】解：∵y=sin2x−√3cos2x，=2(12sin2x −√32cos2x)， =2(sin2x ·cos π3−cos2x ·sin π3)， =2sin (2x −π3)， ∴最小值为−2． 故选C ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查三角形的形状判断，考查平面向量的加减法以及向量的模，属于基础题． 根据题意，平行四边形ABDC 是矩形，即可得解． 【解答】解：∵|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， 以线段AB 和AC 为邻边画出平行四边形ABDC ，如图，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴平行四边形ABDC 的两条对角线相等， ∴平行四边形ABDC 是矩形， ∴∠BAC 是直角， ∴△ABC 是直角三角形， 故选B ．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数的对称性与单调性的判断，属于基础题．由解析式得f(2−x)=ln(2−x)+lnx=f(x)，即得y=f(x)的图象关于直线x=1对称．【解答】解：∵函数f(x)=lnx+ln(2−x)，∴f(2−x)=ln(2−x)+lnx，即f(x)=f(2−x)，即y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故选：C．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了由三视图还原几何体，以及锥体的体积问题，属于中档题型．根据三视图画出直观图，然后根据其几何特征计算体积．【解答】解：由三视图得到其直观图如图所示，则体积为13×[12×(1+4)×4]×4=403．故选A．10.答案：D解析：【分析】本题考查了垂直与数量积的关系、向量的三角形法则、数量积的性质，属于基础题．利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则、数量积的性质即可得出． 【解答】解：∵向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴3×1−22−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，化为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=1+22−2×(−12)=6． ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6． 故选D ．11.答案：B解析：设F (x )=f (x )−(2x +4)，则F (−1)=f (−1)−(−2+4)=0，又对于任意x ∈R ，f′(x )>2，所以F′(x )=f′(x )−2>0，即F (x )在R 上单调递增，则F (x )>0的解集为(−1,+∞)，即f (x )>2x +4的解集为(−1,+∞)，故选B ．12.答案：A解析：解：∵G 是△PF 1F 2的重心，∴OP =3OG ， 设G(x,y)(y ≠0)，则P(3x,3y)， 代入双曲线方程可得：9x 216−y 2=1．故选：A ．设G(x,y)，在P(3x,3y)，代入双曲线方程化简即可． 本题考查了双曲线的性质，三角形重心的性质，属于中档题．13.答案：−270解析：解：(1−3x)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−3x)r ， 令r =3，可得展开式中x 3的系数为−27⋅C 53=−270，故答案为：−270．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.答案：2或18解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用． 由抛物线方程得到焦点F(p 2,0)，设A(x,√2px)，由A 到焦点和到x 轴的距离分别为10和6，利用抛物线定义建立方程组，能求出p 的值．【解答】解：∵点A 是抛物线y 2=2px(p >0)上一点，∴焦点F(p 2,0)，可设A(x,√2px)，∵A 到焦点和到x 轴的距离分别为10和6，∴{√2px =6x +p 2=10, 整理，得p 2−20p +36=0，解得p =2，或p =18．故答案为：2或18． 15.答案：4π解析：【分析】本题考查三棱柱的结构特征和外接球的表面积的求法，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的半径的最小值是关键．设BC =2x ，BB 1=2y ，则4xy =2，利用直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，可得直三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的半径为√x 2+y 2≥√2xy =1，即可求出三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球表面积的最小值．【解答】解：设BC =2x ，BB 1=2y ，则4xy =2，∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，∴直三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的半径为√x 2+y 2≥√2xy =1，∴直三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12=4π．故答案为：4π．16.答案：16解析：【分析】本题考查古典概型的计算，属于中档题．把所有情况分别列出即可．【解答】解：∵m,n为正整数，3m+n=20，则所有(m,n)共有(1,17)，(2,14)(3,11)，(4,8)，(5,5)，(6,2)共计6个，满足m>n只有1个，则m>n的概率为16．故答案为16．17.答案：解：(1)由题意得：5a3a1=(2a2+2)2，∵a1=10，∴50(10+2d)=(22+2d)2，化简得d2−3d−4=0，解得d=−1或d=4，∴a n=−n+11或a n=4n+6．(2)∵d<0，∴d=−1，a n=−n+11，则S n=(a1+a n)n2=−12n2+212n=−12(n−212)2+4418;∴n等于10或11时S n取得最大值55．解析：本题考查的知识要点：等比中项，等差数列的通项公式、前n项和公式的求法及应用，为中档题．(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)直接由等差数列前n项和公式求解即可．18.答案：(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB．∵EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB//平面ACE．(2)解：如图，以A为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，C(2,1，0)，B(2,0，0)，E(0,12,12)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12)， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面ABC 的一个法向量n 0⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)．设平面AEC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{12y +12z =0,2x +y =0令x =1，则y =−2，z =2，∴n ⃗ =(1,−2,2)．∴cos⟨n 0⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=n 0⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |n 0⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=23， 由图可知，二面角E −AC −B 为钝角，∴二面角E −AC −B 的余弦值为−23．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．(1)连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PB ，由此能证明PB//平面AEC.(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −B 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：P (X ≥120)=P (120≤X <130)+P (130≤X <140)+P (140≤X ≤150)=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．(Ⅱ)当x ∈(100,130)时，T =0.5x −0.3(130−x )=0.8x −39，当x ∈(130,150)时，T =0.5×130=65．所以T ={0.8x −39,100≤x <13065,130≤x ≤150(Ⅲ)由题意及(Ⅱ)可得：当x ∈(100,110)时，T =0.8×105−39=45，P (T =45)=0.010×10=0.1；当x ∈(110,120)时，T =0,8×115−39=53，P (T =53)=0.020×10=0.2；当x ∈(120,130)时，T =0.8×125−39=61，P (T =61)=0.030×10=0.3；当x ∈(130,150)时，T =65，P (T =65)=(0.025+0.015)×10=0.4．所以T 的分布列为：∴E (T )=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4万元．解析：求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解． (Ⅰ)根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．(Ⅱ)结合题意用分段函数的形式表示T 与x 的关系．(Ⅲ)先确定T 的所有可能取值为45，53，61，65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．20.答案：解：(1)∵椭圆左顶点的坐标为(−√2,0)，∴a =√2，又△MF 1F 2的周长为2√2+2，∴2a +2c =2√2+2，∴c =1，又b 2=a 2−c 2=1，∴所求椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，两边平方整理得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．①直线l 斜率不存在时，A(−1,√22)，B(−1,−√22)，不满足得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． ②直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为x =my −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −1x 22+y 2=1，消去x ，得(m 2+2)y 2−2my −1=0， ∴y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，(∗)由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 1x 2+y 1y 2=0． 将x 1=my 1−1，x 2=my 2−1代入整理得(my 1−1)(my 2−1)+y 1y 2=0，展开得m 2y 1y 2−m(y 1+y 2)+1+y 1y 2=0，将(∗)式代入整理得−2m 2+1m 2+2=0，解得m =±√22， ∴y 1+y 2=±2√25，y 1y 2=−25，△ABO 的面积为S =12×|OF 1|×|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 代入计算得S =2√35，即△ABO 的面积为2√35．解析：(1)根据椭圆的性质可得a =√2，根据△MF 1F 2的周长为2√2+2可得2a +2c =2√2+2，即可让求出椭圆方程．(2)化简条件可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，讨论直线l 的斜率，联立方程组，根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0求出A ，B 的坐标关系，从而计算出三角形的面积．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数关系的运用，属于中档题． 21.答案：解：(Ⅰ)g(x)=e x −(a +1)x ，g′(x)=e x −(a +1)．当x >0时，e x >1，故有：当a +1≤1，即a ≤0时，∵x >0，∴g′(x)≥0；当a +1>1，即a >0时，由e x =a +1，解得x =ln(a +1)．令g′(x)>0，得x >ln(a +1)；令g′(x)<0，得0<x <ln(a +1)，综上，当a ≤0时，g(x)在(0,+∞)上是增函数；当a >0时，g(x)在(0,ln(a +1))上是减函数，在(ln(a +1),+∞)上是增函数．(Ⅱ)设ℎ(x)=f(x)−(x 2+x +1)，则ℎ′(x)=e x −2x −1，令m(x)=e x −2x −1，则m′(x)=e x −2，∵x ∈[12,1]，∴当x ∈[12,ln2)时，m′(x)<0，m(x)在[12,ln2)上是减函数；当x ∈(ln2,1]时，m′(x)>0，m(x)在(ln2,1]上是增函数．又m(12)=√e −2<0，m(1)=e −3<0，∴当x ∈[12,1]时，恒有m(x)<0，即ℎ′(x)<0． ∴ℎ(x)在[12,1]上为减函数，即当x ∈[12,1]，ℎ(x)≤ℎ(12)=√e −74<0．∴f(x)<x 2+x +1．解析：本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．(I)利用导数研究函数g(x)的单调性和对a 分类讨论即可得出；(II)设ℎ(x)=f(x)−(x 2+x +1)，利用导数研究其单调性，只有证明ℎ(x)max <0即可．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2t,y =12+√3t (t 为参数)，消去t 得得√3x −2y +24=0， 转化为极坐标方程为：√3ρcosθ−2ρsinθ+24=0，曲线C 1：为参数)，得x 2+(y −2)2=4，即x 2+y 2−4y =0，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l ：√3ρcosθ−2ρsinθ+24=0和曲线C 1：ρ=4sinθ的极坐标方程， 可得ρA =16√3，ρB =2√3，由|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，属于中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，从而求|AB |的值． 23.答案：(1)解：由|x +a|<b ，得−b −a <x <b −a ， 则{−b −a =2b −a =4，解得a =−3，b =1． (2)由柯西不等式有：(√−3t +12+√t)2=(√3⋅√−t +4+1⋅√t)2 ≤[(√3)2+12][(√−t +4)2+(√t)2]=16，所以√−3t +12+√t ≤4，当且仅当√4−t √3=√t1，即t =1时等号成立． 又(√−3t +12+√t)2=−3t +12+t +2√−3t +12√t ≥12−2t ≥4(0≤t ≤4)，所以√−3t +12+√t ≥2，当且仅当t =4时等号成立，综上，2≤√at +12+√bt ≤4．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，属于中档题．(1)去绝对值解出不等式，列方程得出a ，b 的值；(2)根据柯西不等式和基本不等式证明．。