相似三角形的性质学案

4.5相似三角形的性质及其应用（2）学案课题 4.5相似三角形的性质及其应用（2）单元第四单元学科数学年级九年级上册学习目标1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的性质；2．理解相似三角形的对应线段的比，能应用它解决实际问题．重点关于相似三角形的周长和面积的两个性质.难点“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.教学过程导入新课【引入思考】相似三角形有哪些性质？在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面的问题：1、两个相似三角形的相似比是多少？2、两个相似三角形的周长比是多少？3、两个相似三角形的面积比是多少？归纳：两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？归纳：相似三角形周长比和面积比的性质：；。

新知讲解提炼概念已知:ΔABC∽ΔA’B’C’，相似比为k,求证:归纳几何语言：∵△ABC∽△A’B’C’，相似比为k∴，。

典例精讲例3:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。

例4:如图,在△ABC中，作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？课堂练习 巩固训练1．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A.DE BC ＝12B.DE BC ＝13C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝12D.S △ADES △ABC＝132．如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.3. 如图所示，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE EC＝23，S △ABC ＝S ，求S ▱BFED .4. 如图所示，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，AD 与PN 交于点E ，这个正方形零件的边长是多少？答案： 引入思考归纳相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方提炼概念典例精讲例3例4巩固训练1.答案B2. 1∶3，1∶3，1∶33.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由AEEC＝23，得AEAC＝25.∵CFBF＝ECAE，∴CFBC＝35.∴S△ADES＝(25)2＝425，即S△ADE＝425S.S△CEFS＝(35)2＝925，即S△CEF＝925S.∴S▱BFED＝S－425S－925S＝1225S.4.解：设正方形的边长为x mm，∵PN∥BC.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴80－x80＝x120，解得x＝48.答：加工成的正方形零件的边长为48 mm.课堂小结1．相似三角形的周长的性质定理：相似三角形的周长之比等于___________．2．相似三角形的面积的性质定理：相似三角形的面积之比等于_____________．3．相似三角形对应线段的性质性质：相似三角形对应高的比等于__________．相似比，相似比的平方，相似比注意：(1)相似三角形周长的比值与面积的比值不同，一个是等于相似比，另一个是等于相似比的平方．(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似比等于面积的比的算术平方根．。

相似形复习课学案 总编号：NO. 22命题人：陈光双 审核人：初二数学组学习目标：1.熟练掌握相似三角形的基础知识 2.灵活应用相似三角形的知识解决数学问题重点、难点：相似三角形知识的应用课前复习：比例的性质 比例的基本性质 和比性质 等比性质定义相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于 相似三角形 性质 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于1. ，两三角形相似2. ，两三角形相似 判定3. ，两三角形相似直角三角形的判定方法是课中探究：一．基础巩固（易错点）：1. △ ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且∠AED= ∠ B ， 那么△ AED ∽ △ ABC ，从而AD ( ) =DEBC2.如图，DE ∥BC, AD:DB=2:3, 则S △ AED:S △ ABC =＿＿＿.DACB ABCDEA BCDE第1题第2题第5题3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm ， 则三角形乙的最短边为______cm.4.等腰三角形ABC 的腰长为18cm ，底边长为6cm,在腰AC 上取点D, 使△ABC ∽ △BDC, 则DC=______.5． 如图，D 是△ABC 一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA 的条件是（ ）.A.AC:BC=AD:BDB. AC:BC=AB:ADC. AB 2=CD·BCD.AB 2=BD·BC 二·基础巩固（易漏点）6·D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，∠DCB= ∠ A ，把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。

7·已知菱形ABCD 的边长为8，点E 在直线AD 上，DE 等于4，连接BE 与对角线AC 相交于点N ，则 NC:AN=三．跟踪检测：第6题 8．如图，△ADE ∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 第8题 9．·如图若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对 第9题10、如图：DE ∥BC, AD:DB=3:4, △ADE 与 △ ABC 的周长比为 ， △ABC 与四边形DBCE 的面积的比为A BEDC A C BD E 2733图6A四·重点知识应用：11..如图，AB ∥CD ，AO=OB ，DF=FB ，DF 交AC 于E ， 求证：ED 2=EO · EC探究：12.已知：如图，△ABC 中，P 是AB 边上的一点，连结CP ．满足什么条件时△ ACP ∽△ABC ．13.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似三角形吗？如有，把它们一 一写出来.ABCDEFOA P BC 1 24课后延伸：（用相似知识解决实际问题）14.如图：A , B 两个工厂合用一个变压器，两厂位于高压输电线的同一侧，A 厂据高压线30千米，B 厂据高压线40千米，D ，C 两点之间的距离为80千米，试问变压器装在何处，所用电线最短？ABD E GBD。

七、布置作业
课本P108习题10.5第1、2、3、4题
课外作业《数学补充题》P65～66 10.5相似三角形的性质(1)
填空题填好后并说明理由。
有条理地书写解题过程。
操作、观察、思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。
说出解题思路。
写出解题的过程。
确定对应元素是关键：公共角是对应角。
问题2.若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？
问题3.你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、例题教学：
2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____，周长是_____。
3、若△ABC与△A′B′C，且∠A=450，∠B=300，则∠C/=____。
4、两个相似多边形的面积之比为1︰4，周长之差为6，则两个相似多边形的周长分别是______。
5、如图，在□ABCD中，AE︰AB=1︰2。
(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；
(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。
二、新课
(一)、情境创设：
情境1：在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1.在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1︰500表示什么含义？
问题2.方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？

学必求其心得，业必贵于专精 互动课堂 重难突破

一、三角形相似的预备定理 在初中,我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么称这两个三角形相似.对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比（或相似系数).利用上一节所学的平行线分线段成比例定理，可得预备定理:平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似。

二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形相似的方法有:(1）定义法，即对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形。当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要。 （2）平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理,即①判定定理1:两角对应相等,两三角形相似；②判定定理2:两边对应成比例,夹角相等，两三角形相似；③判定定理3：三边对应成比例,两三角形相似。 在这些判定方法中,应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似。因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用此定理的情况较多。 对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其特殊的方法: 学必求其心得，业必贵于专精 (1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相

似； （2）如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一 个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似; (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的利用. 三、相似三角形的性质 如果两个三角形相似，那么它们的形状相同,只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是: (1）相似三角形对应角相等,对应边成比例; （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形的周长比等于相似比; （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方； （5）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方,利用这些关系,可以进行各种各样的求值和证明. 四、刨根问底 问题 在初中，我们已经学过全等三角形,两个全等三角形的大小、形状是完全一样的,相似三角形是形状相同但大小不一样的三角学必求其心得，业必贵于专精 形,显然，当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成