2025届高三模拟考试数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足()72i 3i 4z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘方与除法运算，整理可得标准形式，结合复数的几何意义，可得答案.【详解】由()72i 3i 4z +=+-，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限．故选：D ．2. 已知：()21:1,:log 12p q x a x ≥-≥-．若p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）A. ()0,1 B. (]0,1C. (],0-∞D. (],1-∞【答案】C 【解析】【分析】a解分式不等式、对数不等式求对应x 范围，结合充分不必要条件有22a +≤，即可得范围.【详解】由113:110222x p x x x -≥⇒-=≤---，可得(2)(3)02320x x x x --≤⎧⇒<≤⎨-≠⎩；由()2:log 122q x a x a x a -≥⇒-≥⇒≥+，因为p 是q 的充分不必要条件，则220a a +≤⇒≤.故选：C3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236S S S =+（ ）A.43B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列{}n a 的前n 项和n S 的性质，将6912,,S S S 分别用3S 表示，代入1236S S S +即可求解.【详解】因为361,4S S =所以634S S =，则6333S S S -=，由等比数列{}n a 的前n 项和n S 的性质可知，数列36396129,,,S S S S S S S ---是以3S 为首项，3为公比的等比数列，所以2963339S S S S -==，即9363913S S S S =+=，312933327S S S S -==，即123932740S S S S =+=，所以1236S S S =+3334084S S S =+故选：B.4. 已知()()4sin 2cos ,tan tan 3αβαβαβ+=-+=，则tan tan αβ⋅=（ ）A. 3 B. 3- C.13D. 13-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简后两边同除以cos cos αβ可得解.【详解】由()()sin 2cos αβαβ+=-可得sin cos cos sin 2cos cos 2sin sin αβαβαβαβ+=+，.两边同除以cos cos αβ可得，tan tan 22tan tan αβαβ+=+，代入4tan tan 3αβ+=，可得1tan tan 3αβ=-，故选：D5. 已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，满足2CD OC xOA yOB =--，且0,0x y >>，则21x y+的最小值为（ ）A.34+B.32C.94+D. 3+【答案】B 【解析】【分析】由四点共面可知2x y +=，结合基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】23CD CO OD OC xOA yOB OD OC xOA yOB =+=--⇒=--,因,,,A B C D 四点共面，所以312x y x y --=⇒+=，注意到0,0x y >>，从而212133322222x y y x x y x y x y ⎛⎫++=+=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32.故选：B.6. 记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知a =π3A =，则222b c +的最大值为（ ）A. 9B. 6+C. 9+D. 12【答案】B 【解析】【分析】由已知可得222222)3(2b b ac c +=+，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性质，可得答案.【详解】由a =π3A =，则222222)3(2b b ac c +=+，为根据正弦定理，可得2222222)4()3(sin i sin 2sin 2s n 2sin b C c B B C A==+++1cos 21cos 24()62cos 2224cos 22B CB C -==--+- ，在ABC V 中，πC A B =--，则2π3C B =-，224π62cos 24cos 222)62cos 2cos 2i 32(n b c B B B BB +-+-==--+26B =+，在ABC V 中，易知2π03B <<，当π4B =时，m x 2a 2()26b c ++=.故选：B.7. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点,,P A B 都在椭圆E 上，若1122,PF F A PF F B λμ==，且4λμ+≥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ⎫⎪⎭C. ⎛ ⎝D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】设直线1:PA x m y c =-，直线2:PB x m y c =+代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出01y y λ=-，和02y y μ=-，代入4λμ+≥中，利用韦达定理代入，化简即得，()222224a c a c +≥-，由,a c 的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围.【详解】依题意()1,0F c -，()2,0F c ，如图，由11PF F A λ= ，22PF F B μ=可知1,,P A F 三点共线，2,,P BF 三点共线.设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，直线1:PA x m y c =-，直线2:PB x m y c =+,由122221x m y c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，可得()2222222221120a b m y b cm y a b b c +--+=，则2222102221b c a b y y a b m -=+，同理可得2222202222b c a b y y a b m -=+，显然10y ≠，00y ≠，20y ≠，由11PF F A λ=代入坐标可得：0011(,)(,)c x y x c y λ---=+，即得01y y λ=-，同理由22PF F B μ=可得，02y y μ=-，由010x m y c =-，可得010x m y c +=，同理，002m x y c -=，故2222222120022221020211a b m b m y y y y y y b c a b λμ+++=-+=-⋅-⎛⎫ ⎪⎝⎭()2222222222220000022222222002[2()()]y x c x c a b b b x a y b c a b b c y y a b b c+-=++=++--（*），又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，则（*）式可化成：()()222222222222224a b b c ac a b b c a c ++=≥--，解得223ac ≤，故得c e a =≥又01e <<，故E的离心率的取值范围为⎫⎪⎭.故选：B.【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三：（1）根据已知条件列方程组，解出,a c 的值，直接利用离心率公式求解即可；（2）根据已知条件得到一个关于,a c （或,a b ）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率e 的方程（或不等式）求解；（3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令1a =，求出相应c 的值，进而求出离心率.8.，则（ ）A. B. 这两个球体的半径之和的最大值为43C. 这两个球体的表面积之和的最大值为(6π+D. 这两个球体的表面积之和的最大值为10π9【答案】D 【解析】【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则11,62R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,62r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中13r R =--，表达出()213r f r =+，11,62r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得到函数单调性，得到最值，并求出()()2221632R r R r R r ⎡⎤+=-+-++⎣⎦，令23x R r =+≤，函数()22π63y x x =--+在20,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，求出max 10π9y =，得到答案.【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，过点O '作O E '⊥AB ，垂足为E ，过点O '作O D '⊥OF ，垂足为D ．设圆O 的半径为R ，圆O '的半径为r ，当下面的球与上底面相切时，R 取得最大值，此时R1302︒=，故1OB =，故R 的最大值为12，且取最大值时，,,O O B '三点共线，设O E r '=，则2O B r '=，则1212r r ++=，解得16r =，所以11,62R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,62r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，OD R r =-，OO R r '=+，O D EF AB AF BE ==--='.因为222OD O D OO '='+，所以())()222R r R r -+=+①，整理得()()223263210R r R r r +-+-+=，解得13r R =-，令函数()21133r r f r R r r =+=-+=+，11,62r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f r '=令函数()34g r r =-+，()40g r '=+>，所以()g r 是增函数.又因为106g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以011,62r ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()00g r =，所以01,6r r ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0g r <，01,2r r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0g r >，即01,6r r ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f r '<，01,2r r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f r '>，所以()f r 在01,6r ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在01,2r ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.因为112623f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()max23f r =，即这两个球体半径之和的最大值为23.由①可得()()2221632R r R r R r ⎡⎤+=-+-++⎣⎦，的这两个球体的表面积之和为()()()2224π2π63R r R r R r ⎡⎤+=-+-++⎣⎦.令23x R r =+≤，函数()22π63y x x =--+在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以2max2210π2π63339y ⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即这两个球体的表面积之和的最大值为10π9.故选：D ．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 随机事件A ，B 满足()()()123,,234P A P B P A B ===，则下列说法正确的是（ ）A. ()()()P AB P A P B = B. ()38P AB =C. ()34P A B += D. ()()()()()22P AB A B P AB PA PB +=【答案】CD 【解析】【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项.【详解】A.()()311144P A B P A B =-=-=，所以()()()12114312P AB P A B P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()()111236P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B ≠，故A 错误；B ()()()()()()13112434P AB P A P AB P A P A B P B =-=-=-⨯=，故B 错误；C.()()()()111323124P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C 正确；D.()()()1112394P AB P AB A B P A B +===+，()()()311434P AB P A B P B ==⨯=，.所以()()()1119436P AB A B P AB +=⨯=，()()221114936P A P B =⨯=，故D 正确.故选：CD10. []x 表示不超过x 的最大整数，例如：[][]0.51,1.11-=-=，已知函数()[]f x x =，下列结论正确的有（ ）A. 若()0,1x ∈，则()()1144f x f x ⎡⎤-+<-+⎢⎥⎣⎦B. ()()(),,x y f x y f x f y ∀∈+<+R C. 函数[],y x x =∈R 的图象不关于原点对称D. 设方程13x ⎡-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+≥，若A B = R ，则{}4851,0,553k ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用定义的函数，来取特殊值分析，即可判断ABC ，对于D 需要转化到一元二次方程根的分布，再由端点值的取值符号来确定参数范围即可.【详解】对于A ，当()0,1x ∈，则()[]0f x x ==，所以有()()1131111,0444444f x f x ⎡⎤⎛⎫-+=-+=--+=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，显然()()1144f x f x ⎡⎤-+<-+⎢⎥⎣⎦成立，故A 正确；对于B ，存在()()[]()()[]0.60.620.6200,0.60.6 1.2 1.21f f f f +=⨯=⨯=+===，此时()()(),,x y f x y f x f y ∀∈+<+R 不成立，故B 错误；对于C ，因为()[]()[]0.50.51,0.50.50f f -=-=-==，所以()()0.50.5f f -≠-，即()[]f x x =不是奇函数，所以函数[],y x x =∈R 的图象不关于原点对称，故C 正确；对于D ，方程13x ⎡⎤-=⎣⎦，可得[)13,4x -∈，解得：45x ≤<或32x -<≤-，所以{|32A x x =-<≤-或}45x ≤<，又因为A B ⋃=R ，{}22211150B x x kx k =-+≥，所以当R B =时，满足题意，此时222Δ1211200k k k =-=≤，解得0k =；当R B ≠时，由上可知方程22211150x kx k -+=有两根，解得12,532k k x x ==，当0k >时，若A B ⋃=R ，则需要满足548525335k k k ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤⎩，当0k <时，若A B ⋃=R ，则需要满足33415522k k k ≥-⎧⎪⇒-≤≤-⎨≤-⎪⎩，综上可得：{}4851,0,553k ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.11. 已知22:(2)4C x y -+=e ，直线:2,l x O =为原点，点P 在C 上，直线OP 与l 交于点,Q R 在直线OP 上，且PQ OR =，点R 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线E ，其中l 是E 的渐近线，如图所示．设()00,M x y 是E 上一点，则（ ）A. 022-≤<x B. 存在异于原点O 的点M ，使得M 关于点O 的对称点仍在E 上C. 若M 在第二象限，则0yD. 若M 在第一象限，则直线OM 的斜率大于02e x 【答案】AD【解析】【分析】设(),R x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设OR OP λ= ()0λ≠得到11x x y y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到2214x x y λ=+，设OR OP μ= ()0μ≠，则12x μ=，再由PQ OR = ，则111μλ-=，从而求出曲线E 的方程，即可判断A 、B ；利用特殊值判断C ，设()()2e 022xx f x x x-=<<+，利用导数说明函数的单调性，即可得到2e 2x xx+>-，从而判断D.【详解】设(),R x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，由OP 与l 相交，则P 不与O 重合，即10x ≠，设OR OP λ= ()0λ≠，则()()11,,x y x y λ=，所以11x x y y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22(2)4x y -+=，可得2240x y xλλλ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2214xx y λ=+，设OR OQ μ= ()0μ≠，则()()22,,x y x y μ=，即2x x μ=，代入2x =，即2x μ=，即12xμ=，由PQ OR = ，即R OP OQ O =- ，所以11OR OR OR μλ=-，当0OR ≠时111μλ-=，从而22412x x x y -=+，整理得2222x y x x+=⋅-；当0OR = 时OQ OP = ，即P 和Q 重合，()0,0R ，此时方程2222x y x x+=⋅-成立；所以曲线E 的方程为2222x y x x+=⋅-；由220000202x y x x +=⋅≥-，所以0202x x +≥-，解得022-≤<x ，故A 正确；E在第一象限的部分对应的方程为()02y x x =<<①，E 在第三象限的部分对应的方程为()20y x x =-<<，它关于原点成中心对称的部分对应的方程为()()20y x x -=--<-<，即()02y x x =<<②，联立①②解得0x =，这样02x <<矛盾，所以不存在异于原点O 的点M ，使得M 关于点O 的对称点仍在E 上，由对称性可知，二、四象限也不存在关于点O 的对称点仍在E 上，故B 错误；当1x =-时213y =，当 1.2x =-时210.363y =>，故C 错误；设()()2e 022xx f x x x -=<<+，则()()22e 02x xf x x -'=<+，所以()f x 在()0,2上单调递减，从而()()01f x f <=，所以2e 12xx x -<+，即2e 2x x x+>-，所以2222e 2x x y x x x +=⋅>-，即22e x y x >，即2e xy x>，所以若M 在第一象限，则直线OM 的斜率大于02e x ，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出曲线E 的方程，D 选项关键是构造函数()()2e 022xx f x x x -=<<+，利用导数证明2e 2x x x+>-.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 621()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为______．【答案】25-【解析】【分析】分21x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭取1，6()x y +取42x y 和21x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭取2x y -，6()x y +取33x y 两种情况讨论即可.【详解】当21x y ⎛⎫-⎪⎝⎭取1，6()x y +取42x y ，42x y 的系数为2615C =；当21x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭取2x y -，6()x y +取33x y 时，得42x y 的系数为：362C 40-=-.所以42x y 的系数为：154025-=-.故答案为：25-13. 已知01a b c <<<<，且34b a ≥，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值是_________.【答案】16【解析】【分析】利用换元法可得11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，进而根据不等式的性质，讨论求解即可.【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，所以11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，若34b a ≥，则()333341b n p m n p =--≥---，故41m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，因此44M m M nM p ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故641M m n p ≥++≥,则16M ≥，当且仅当41m n p ++=等号成立，取16m n p ===时可满足等号成立，可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为16，故答案为：16.14. 设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P.给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则R A ð不具有性质P.其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，若A 具有性质P ，且A ≠R ，假设R A ð也具有性质P ，设0A ∈，在R A ð中任取一个,0x x ≠，此时可证得x A -∈，否则若R x A -∈ð，由于R A ð也具有性质P ，则()0R x x A +-=∈ð，与0A ∈矛盾，故x A -∈，由于A 具有性质P ，R A ð也具有性质P ，所以()22,R x A x A -∈∈ð，而()22x x -=，这与R A A ⋂=∅ð矛盾，故当0A ∈且A 具有性质P 时，则R A ð不具有性质P ，同理当0R A ∈ð时，也可以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，由下列四个条件中选出三个：①最大值为2； ②最小正周期为2π；③()02f =-； ④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的解析式及单调递减区间；（2）设()()π6g x f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．当[]0,x m ∈时，()g x 的值域为0,2⎡⎣，求m 的取值范围．【答案】（1）()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递减区间为()π4π2π,2πZ 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）5π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求出解析式，再根据三角函数的单调性求递减区间即可；（2）根据（1）的结论，结合三角恒等变换化简()g x ，利用三角函数的性质计算参数范围即可.【小问1详解】对于条件③，有()0sin 2f A ϕ==-，因为π0,02A ϕ><<，则sin 0ϕ>，sin 0A ϕ>，显然()0sin 2f A ϕ==-不成立，因此只能选择条件①②④，则2,1A ω==，()πππ2sin 0πZ 666f k k ϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-=⇒-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π6ϕ=，此时()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令()ππ3π2π,2πZ 622x k k k ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦，解之得()π4π2π,2πZ 33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由上可知)ππ()()()2sin 2sin 2sin cos 66g x f x f x x x xx x⎛⎫=-=+⋅=+ ⎪⎝⎭sin 222sin 2π3x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为此时()g x 的值域为0,2⎡+⎣，则πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，则()ππ4π22π,2πZ 333x k k k ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故ππ4π5π5π2,,323126m m ⎡⎤⎡⎤-∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD DC ⊥，PA PD PB ===122BC DC AD ===，E 为AD 的中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值；（3）记BC 的中点为M ，若N 在线段PE 上，且直线MN 与平面PAB 段EN 的长．【答案】（1）证明见解析（2）23 （3）1或195【解析】【分析】（1）连接BE ，证出PE AD ⊥和PE BE ⊥，即可利用线面垂直判定定理得证；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果；（3）设()()0,4EN t t =∈，利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而得到结果.【小问1详解】连接BE ，则12BC AD DE ==，因为//AD BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形；所以2BE CD ==，因为PA AD ==，4=AD ，且E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥，所以4PE ===，所以222PE BE PB +=，即PE BE ⊥，又因为AD BE E = ，所以PE ⊥平面ABCD .【小问2详解】以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，()0,2,0B ，()2,2,0C -，()0,0,4P ，所以()2,2,0AB =- ，()0,2,4PB =- ，()2,0,0BC =-，设平面PAB 法向量为()111,,m x y z =，则0m AB m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220240x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取()2,2,1m =，设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，则0n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220240x y z -=⎧⎨-=⎩，取()0,2,1n =，所以cos ,m nm n m n ⋅====⋅所以二面角A PB C --23=.【小问3详解】设()()0,4EN t t =∈，则()0,0,N t ，而()1,2,0M -，所以()1,2,NM t =-，由（II ）知平面PAB 的法向量为()2,2,1m =，的设直线MN 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,NM θ= ，化简得2524190t t -+=，解得：1t =或195t =，故线段EN 的长度为1或195．17. 已知椭圆C 的焦点在x 轴上，长轴长与短轴长的比为2:1，焦距为.P 为椭圆上任意一点，过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线PA 、PB ，,A B 分别为切点，直线AB 分别与x 、y 轴交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求MON △面积的最小值；（3）过点()0,1Q 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆C 相交于不同于点Q 的D ，E 两点，若1l 与2l 的斜率之和为―2，直线DE 是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由.【答案】（1）22:14x C y +=（2）12（3）直线DE 经过定点(1,1)-，理由见解析【解析】【分析】（1）依题列出,,a b c 的方程组，求解即得椭圆方程；（2）先判断点,A B 在以OP 为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直线AB 的方程，求出,M N 的坐标，利用基本不等式，即可求得MON △面积的最小值；（3）设直线DE 的方程为：x my t =+，与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简122l l k k +=-，得到m t =-或1m t =-，回代入直线DE 的方程，检验后即得直线DE 经过的定点.【小问1详解】依题意，22222a b c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1a b ==，则椭圆C 的标准方程为22:14x C y +=；【小问2详解】如图，设(,)P m n ，连接,,OA OB OP ,则,OA AP OB BP ⊥⊥,即点,A B 在以OP 为直径的圆上，取OP 的中点为(,22m nH，||OP =则圆2222:()(224m n m n H x y +-+-=，即220x y mx ny +--=，将其与221x y +=作差整理，可得直线AB 的方程为：10mx ny +-=，令0x =，则1y n =；令0y =，则1x m =，则得11(,0),(0,M N m n，故11111||||22||MON S m n mn =⋅=⋅ ，因点(,)P m n 在椭圆上，故2244m n +=，由22442|2|m n mn =+≥可得||1mn ≤，当且仅当2m n =时，等号成立，此时1112||2MON S mn =⋅≥，即当点P为这四个点时，MON △面积取得最小值12；【小问3详解】如图，当直线DE 的斜率为0时，直线QD 与QE 关于y 轴对称，此时120l l k k +=不符合题意；故可设直线DE 的方程为：x my t =+，代入2244x y +=中，整理得：222(4)240m y mty t +++-=，由222244(4)(4)0m t m t ∆=-+->，可得2240m t -+>设1122(,),(,)D x y E x y ，则122212224,44mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩（*）依题，12121212121111l l y y y y k k x x my t my t----+=+=+++ 12211212(1)()(1)()()()()()y my t y my t my t my t my t my t -+-+=+++++12122212122()()22()my y t m y y tm y y mt y y t +-+-==-+++，化简整理得：2212122()(2)()220m m y y t mt m y y t t +++-++-=，将（*）代入，可得22222422()(2)(22044t mtm m t mt m t t m m -+⋅++--+-=++，即得2222()(4)(2)()(4)0m m t mt t mt m t t m +--+-+-+=，整理得：()(1)0m t m t +-+=，则有m t =-或1m t =-.当m t =-时，:DE l x ty t =-+经过点(0,1)Q ,不合题意，舍去；当1m t =-时， :(1)DE l x t y t =-+，经过定点(1,1)-.故直线DE 经过定点(1,1)-.18. 若数列{}()**1,,n a n k n k ≤≤∈∈N N满足{}0,1na∈，则称数列{}n a 为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M ．（1）若{}n a 是12项0-1数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，求数列{}(1)nn a -的所有项的和；（2）从集合k M 中任意取出两个数列{}{},n n a b ，记1ki ii X a b==-∑．①求随机变量X 的分布列，并证明：()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，且()()01,01P A P B <<<<．若()()P B A P B A <，比较()P A B 与()P A B 的大小．【答案】（1）0 （2）①分布列，证明见解析；②()()||P A B P A B <【解析】【分析】（1）根据题意得到()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，当32n p =-和()*31,4n p p p =-∈≤N 时，1n a =从而得到{}(1)n n a -的所有项的和；（2）①由题知X 的可能取值为：1,2,3,,k ，进而结合题意得到1222()21C C k m k mkk k P X m C -===-，再结合等式11C C m m k k m k --=求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；②利用条件概率公式，结合不等式的性质变形即可证明.【小问1详解】因为{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，所以当32n p =-和()*31,4n p p p =-∈≤N 时，1n a =.设数列{}(1)nn a -的所有项的和为S ，则()24578101112457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)S a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+-+-()2457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=-+-+-+-+-+-+-+-()()()()11111111=-+++-+-+++-0=，所以数列{}(1)nn a -的所有项的和为0.【小问2详解】①因为数列{}n a ，{}n b 是从集合k M 中任意取出两个数列，所以，数列{}n a ，{}n b 为k 项01-数列所以，X 的可能取值为：1,2,3,,k当()1,2,,X m m k == 时，数列{}n a ，{}n b 中有m 项取值不同，有k m -项取值相同，又因为集合k M 中元素的个数共有012C C C C 2kkk k k k ++++= 个，所以，()122C 2C ()1,2,21k m k m k kkP X m m k C -====- ,所以，X 的分布列为：X 12L kP1C 21k k-2C 21k k-LC 21kk k-因为，()()()()()11·1!·!C C N ,1!!1!!mm k k k k m k m k m m k m k m k k m -*--===∈≤≤---所以，12C C C ()12212121k k kkk k k E X k =⨯+⨯++⨯--- ()11011111·2·2C C C 212122k k k k k k k k k k k k k ------=+++=>=-- .②由题知()()P B A P B A <，所以，()()()()()()1()P AB P AB P B P AB P A P A P A -<=-，所以，()()()P AB P A P B <，所以()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB -<-，即()()()()P AB P B P B P AB <，所以，()()()()P AB P AB P B P B <，即()()||P A B P A B<【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于理解01-数列的基础上，结合古典概率模型求得()122C 2C ()1,2,,21k m k m k kkP X m m k C -====- 即可求得分布列，再期望求解过程中，需要用到组合恒等式11C C m m k k m k --=化简.19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用()u n 作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：1212k r r r k n p p p = （k 为n 的质因数个数，i p 为质数，)1,1,2,,i r i k ≥= ，例如：260235=⨯⨯，对应12313,2,3,5,2k p p p r =====，231,1r r ==．现对任意*n ∈N ，定义莫比乌斯函数()121,1(1),10,1k k i n n r r r r μ=⎧⎪=-====⎨⎪>⎩存在．（1）求()()68,985μμ；（2）已知1n >，记212k rrrk n p p p = （k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1,1,2,,i r i k ≥= ）的所有因数从小到大依次为12,,,m a a a ⋯．（ⅰ）证明：()()()122k m a a a μμμ+++= ；（ⅱ）求()()()1212n na a a a a a μμμ+++的值（用()1,2,,i P i k = 表示）．【答案】（1）()680μ=，()9851μ= （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由268217=⨯，9851975=⨯，根据所给定义计算可得；（2）（ⅰ）依题意只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C i k 种结果，再由组合数公式计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出111k k kx x p -=-，最后利用累乘法计算可得.【小问1详解】因为268217=⨯，因为2的指数21>，所以()680μ=；又9851975=⨯，易知2k =，1197p =，25p =，11r =，21r =，所以()()298511μ=-=；【小问2详解】（ⅰ）i a ()1,2,,i m =⋅⋅⋅的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，()0i a μ=，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，所以()()()()121m a a a μμμμ+++⋅⋅⋅+()()()()()()()12122311k k k p p p p p p p p p μμμμμμμ-⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()12k p p p μ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+01211211C C C C C C C C C 2k k k k kk k k k k k k k k --=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=.（ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，所以()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k kk kp p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()222121212122311211111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μ-⎡⎤-+⋅⋅⋅⋅⋅---⎡⎤---⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎦⎣⋅⎣⎦.令()()()()22212122311211111111kk k k k k x p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()()2221112112232112111111111k k k k k k x p p p p p p p p p p p p ------⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2k ≥，*N k ∈），所以()()()()()()22233311211223211211111111(1)kk k k k k k k k k k k k kx p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ----⎡⎤⎡⎤---------⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以111k k k k x x x p ---⋅+=，111k k kx x p -=-.因为1111x p =-，所以12112112111111111k k k k k k k x x x x x x x x p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二：()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k kk kp p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()2221212121223112111111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()22212122311211111111kk k k k p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由多项式展开式原理可知，12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式即为上式所求.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题干所给定义，得到1212k rrrk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数.。
