北师大版高中数学必修2课件：2.1.3两条直线的位置关系PPT优选课件

问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
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整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .

解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．

A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
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D [设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故 l1 与 l2 垂直．选 D.]
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2．过点 A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1,2)，Q(－5,0)的直 线垂直，则 m＝________.
－2 [由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解得 m＝－2.]
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过点 Ax0，y0且与直线 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程的 求法有两种方法：
1先求斜率斜率存在时，再用点斜式求直线方程. 2与 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程设为 Ax＋By＋m＝0 或 Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点 Ax0，y0求出 m，便可得到 直线方程.
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数学北师大版 高中数学
1.3
两条直线的 位置关系
学习目标
核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平 行或垂直．(重点) 2.能根据直线平行或垂直求直 线方程．(重点)
1.通过利用直线的斜率和截距判断 两直线 平行或垂直提升数学抽象素 养. 2.根据直线平行或垂直求直线方程 提升数学运算素养.
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两条直线的位置关系
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[解] (1)设所求直线方程为 2x＋3y＋C1＝0，则由题意得 2×1＋ 3×(－4)＋C1＝0，解得 C1＝10，
所以所求直线方程为 2x＋3y＋10＝0. (2)设所求直线方程为 3x＋2y＋C2＝0， 由题意得 3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得 C2＝5， 所以所求直线方程为 3x＋2y＋5＝0.
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利用平行、垂直关系求直线方程 【例 2】 已知点 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．

【题后反思】 由 C、 两点的横坐标， D 可知 l2 的斜率一定存在， 由 A、B 两点的横坐标，可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在， 因此应注意对 a 的取值的讨论． ①由 l1∥l2 比较 k1，k2 时，应首先考虑斜率是否存在，当 k1＝ k2 时，还应排除两直线重合的情况． ②由 l1⊥l2 比较 k1，k2 时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑 斜率是否为 0.
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？ 提示 我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要 素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它 们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能 重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通 常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等 即可．
即
A B －A B ＝0， 1 2 2 1 B1C2－B2C1≠0.
当 B1＝0，B2＝0 时，直线 l1、l2 分别可化为： C1 C2 l1：x＝－ ，l2：x＝－ . A1 A2 C1 C2 若 l1∥l2，则－A ≠－A ，即 A2C1≠A1C2. 1 2 综上可知， l1∥l2， A1B2－A2B1＝0 且 B1C1－B2C1≠0 或 A1C2 若 则 －A2C1≠0.
k2 ＝ 7 －0 6
3 ＝4.
k2 ＝
7 0－－8
7 －0 6
3 ＝ . 4
∵k1≠k2，k1·2≠－1， k ∴两直线既不平行，也不垂直． －3 3－2 3 (3)由题意知，k1＝tan 60° 3，k2＝ ＝ ＝ 3. －2－3 因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
3 【变式 3】 已知直线 l1 的斜率 k1＝4，直线 l2 经过点 A(3a，－ 2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，求实数 a 的值．