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锐角三角函数全章同步练习含答案

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4.1 第1课时 正 弦一、选择题1．2017·日照在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.1252．如果把一个锐角三角形ABC 的三边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．没有变化D ．不能确定3．如图K －30－1所示，已知点P 的坐标是(a ，b )，则sin α等于( )图K －30－1A.a bB.b aC.a a 2＋b2D.b a 2＋b24．如图K －30－2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若CD ∶AC ＝2∶3，则sin ∠BCD 的值是( )图K －30－2A.55 B.23 C.1313 D.2135．如图K －30－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图K －30－3A.3 1010 B.12 C.13 D.1010二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，sin A ＝35，则AB 的长是________ cm.7．直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，其中一条直角边AB 的长为6 cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝________.8．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图K －30－4所示，其中AB ，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________.图K －30－49．如图K －30－5，点P (12，a )在反比例函数y ＝60x的图象上，PH ⊥x 轴于点H ，则sin∠POH 的值为________．图K －30－510．已知AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin BAC ∶sin ACB ＝________．三、解答题11．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝15，AC ＝8，求sin A ＋sin B 的值．12．如图K－30－6，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．图K－30－613、探究题如图K－30－7，在平面直角坐标系中，点A，B，C为第一象限内圆弧上的点，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F.(1)试根据图形比较sin∠AOD，sin∠BOE，sin∠COF的大小，并探究当0°＜α＜90°时，正弦值随着锐角α的增大的变化规律；(2)比较大小：sin10°________sin20°.图K－30－71．[解析] B Rt △ABC 的斜边长为13，根据勾股定理，求得∠A 的对边BC ＝12，利用正弦的定义得sin A ＝1213.2．[答案] C 3．[答案] D 4．[答案] B5．[解析] D 过点B 作OA 边上的高h ， 由等面积法可得S △AOB ＝12×2×2＝12×2 5h ，解得h ＝2 55，所以∠AOB 的正弦值为h OB ＝1010.故选D.6．[答案] 10[解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝6 cm ，sin A ＝35＝BCAB ，∴AB ＝10 cm.7．[答案] 45[解析] 直角三角形ABC 的直角边AB 为6 cm ，∠A 是锐角，则另一直角边是BC ，∠B 是直角．由直角三角形ABC 的面积为24 cm 2，得到12AB ·BC ＝24，因而BC ＝8 cm ；根据勾股定理，可得斜边AC ＝10 cm ，∴sin A ＝BC AC ＝810＝45. 8．[答案] 4 m 9．[答案] 513[解析] ∵点P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，∴a ＝6012＝5.∵PH ⊥x 轴于点H ，∴PH ＝5，OH ＝12.在Rt △PHO 中，由勾股定理，得PO ＝52＋122＝13，∴sin ∠POH ＝PH PO＝513.10．[答案] 2∶3[解析] 如图，由正弦的定义可知，∵sin BAC ＝CF AC ，sin ACB ＝AE AC，∴sin BAC ∶sin ACB ＝CF AC ∶AEAC＝CF ∶AE ＝2∶3.故答案为2∶3.11．解：由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝152＋82＝17，所以sin A ＝1517，sin B ＝817，所以sin A ＋sin B ＝1517＋817＝2317.12．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝4x . ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ＝2x ，∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ，∴EM 2＋CM 2＝CE 2， ∴△CEM 是直角三角形， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55. 14、解：(1)sin ∠AOD ＜sin ∠BOE ＜sin ∠COF ；当锐角α逐渐增大时，sin α也随之增大．(2)＜第2课时 特殊角的正弦及用计算器求锐角的正弦值一、选择题1．sin60°的值为( ) A.12 B.32 C.22 D.332．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于( ) A ．50° B．60° C ．70° D．80°3．用计算器求sin50°的值，按键顺序是( ) A.50sin ＝ B.sin 50＝C.sin 05＝D.）sin 50＝4．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，则对△ABC 的形状描述最确切的是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 二、填空题5．运用科学计算器计算：3 17×sin73°52′≈________．(结果精确到0.1) 6．如图K －31－1，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值为________．图K－31－17．如图K－31－2，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为________ .图K－31－28．如图K－31－3，P是∠AOx的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，则∠AOx ＝________°.图K－31－3三、解答题9．用计算器求下列锐角的正弦值(精确到0.0001)．(1)68°；(2)81°53′；(3)76°10′.10．已知下列正弦值，用计算器求锐角的度数(精确到1′)：(1)sin A＝0.7321；(2)sin A＝0.9538.11．计算：(1)2sin60°－2sin 245°；(2)sin60°sin 245°－(sin30°sin60°)2.12阅读理解我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．图K－31－4类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角的正对(sad)．如图K－31－4，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)sad60°的值为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)对于0°＜∠A ＜180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是________． (3)已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，则sad A 的值是________．1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] B 根据用计算器计算三角函数值的方法：先按键“sin ”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得到结果．4．[解析] C 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋(sin B －22)2＝0，得sin A ＝22，sin B ＝22，所以∠A ＝45°，∠B ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．5．[答案] 11.9 6．[答案]32 7．[答案]22[解析] 连接AC ，AB 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5， ∴AC ＝BC ，BC 2＋AC 2＝AB 2，∴∠BCA ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∴∠ABC 的正弦值为22. 8．[答案] 60[解析] 过点P 作PB⊥x 轴于点B.∵点P 的坐标为(1，3)，∴OB ＝1，PB ＝3，∴OP ＝2，∴sin ∠AOx ＝PB OP ＝32，∴∠AOx ＝60°.故答案为60.9．解：(1)sin 68°≈0.9272. (2)sin 81°53′≈0.9900. (3)sin 76°10′≈0.9710. 10．解：(1)∠A≈47°4′.(2)∠A≈72°31′. 11．解：(1)原式＝2×32－2×(22)2＝3－1. (2)原式＝32（22）2－(1232)2＝3－13＝3 3－13.12、[答案] (1)B (2)0<sad A<2 (3)105[解析] (1)当等腰三角形的顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°， 则此三角形为等边三角形，则sad 60°＝11＝1.故选B .(2)当∠A 接近0°时，sad A 接近0，当∠A 接近180°时，等腰三角形的底边长接近于腰长的2倍，故sad A 接近2. 于是sad A 的取值范围是0＜sad A ＜2. 故答案为0＜sad A ＜2.(3)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35.在AB 上取点D ，使AD ＝AC ，过点D 作DH⊥AC，垂足为H.令BC ＝3k ，AB ＝5k ， 则AD ＝AC ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k. 又∵在△ADH 中，∠AHD ＝90°，sin A ＝35.∴DH ＝AD·sin A ＝125k ，∴AH ＝AD 2－DH 2＝165k.则在△CDH 中，CH ＝AC －AH ＝45k ，CD ＝DH 2＋CH 2＝4 105k.∴在△ACD 中，AD ＝AC ＝4k ，CD ＝4 105k.由正对的定义，可得sad A ＝CD AD ＝105， 即sad A ＝105.4.2 正 切一、选择题1．如图K －33－1，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则tan α等于( )图K －33－1A.513 B.1213 C.512 D.1252．若tan(α＋10°)＝ 3，则锐角α的度数是( ) A ．20° B．30° C．35° D．50°3.2017·宜昌△ABC 在网格中的位置如图K －33－2所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列四个选项中错误的是( )图K －33－2A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝14．在△ABC 中，若锐角A ，B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －32＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的大小是( )A ．45° B．60° C．75° D．105°5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，那么tan B 的值是( )A.52 B.53 C.2 55 D.236．如图K －33－3，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B ＝36°，则中柱AD (D 为底边的中点)的长是( )图K －33－3A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米7如何求tan75°的值，按下列方法作图可解决问题．如图K －33－4，在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD ＝AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为( )图K －33－4A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1＋ 3 D.3－1 二、填空题8．如图K －33－5所示，BC 是一条河的直线河岸，A 是河岸BC 对岸上的一点，AB ⊥BC 于点B ，站在河岸的C 处测得∠BCA ＝50°，BC ＝10 m ，则桥长AB 的长约为______m(用计算器计算，结果精确到0.1 m)．图K －33－59．如图K －33－6，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________.图K －33－610．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tan A ＝________．三、解答题11．计算：(1)3sin60°－cos30°＋2tan45°；(2)tan45°tan30°－cos45°sin 60°·tan60°.12．如图K －33－7，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AB ＝2，CD ＝8，tan ∠BAC ＝2，求tan D的值.图K－33－713．如图K－33－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB 于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．图K－33－814．如图K －33－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，tan A ＝33，AD ＝20.求BC 的长．图K －33－915．已知：如图K －33－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．图K －33－1016新定义问题在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝ba，则称它为锐角A 的余切．根据这个定义解答下列问题：(1)cot30°＝__________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值；(3)求证：tan A ＝cot(90°－∠A )．1．[解析] C 过点P 作PE ⊥x 轴于点E. ∵点P 的坐标为(12，5)，∴PE ＝5，OE ＝12， ∴tan α＝PE OE ＝512.2．[答案] D3．[解析] C 由图可知，△ADB 是等腰直角三角形，BD ＝AD ＝2，AB ＝2 2，CD ＝1，AC ＝5，∴sin α＝cos α＝22，故A 正确；tan C ＝AD CD ＝2，故B 正确；tan α＝BDAD＝1，故D 正确；∵sin β＝CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝2 55，∴sin β≠cos β，故C 错误．故选C .4．[解析] D 由题意得cos A ＝32，tan B ＝1， 则∠A＝30°，∠B ＝45°， 则∠C＝180°－30°－45°＝105°. 5．[解析] A ∵sin A ＝BC AB ＝23，∴设BC ＝2x ，AB ＝3x ，由勾股定理得：AC ＝AB 2－BC 2＝5x ，∴tan B ＝AC BC ＝5x 2x ＝52.故选A .6．[解析] C ∵BC＝10米，D 为底边的中点，∴DC ＝BD ＝5米． ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADB 中，∠B ＝36°，∴tan 36°＝ADBD ，即AD ＝BD·tan 36°＝5tan 36°(米)．7．[解析] B 在Rt △ABC 中，AC ＝k ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝BD ＝2k ，∠BAD ＝∠BDA＝15°，∴∠CAD ＝90°－∠BDA＝75°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝3k ，在Rt △ACD 中，CD ＝BC ＋BD ＝3k ＋2k ，则tan 75°＝tan ∠CAD ＝CD AC ＝3k ＋2k k＝2＋3.故选B . 8．[答案] 11.9[解析] 在△ABC 中，∵AB ⊥BC ， ∴tan ∠BCA ＝ABBC.又∵BC＝10 m ，∠BCA ＝50°，∴AB ＝BC·tan 50°＝10×tan 50°≈11.9(m )． 9．[答案] 43[解析] 过点A 作AE⊥BC 于点E.∵AB＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC.∵∠BPC ＝12∠BAC，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝ 52－42＝3， ∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.10．[答案]32或2 33[解析] 分两种情况：(1)如图①，BD 是AC 边上的中线，BD ＝AC.设AD ＝CD ＝k ，则BD ＝AC ＝2k.在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°，∴BC ＝BD 2－CD 2＝3k ，∴tan A ＝BC AC ＝3k2k＝32；(2)如图②，AD 是BC 边上的中线，AD ＝BC.设BD ＝CD ＝k ，则AD ＝BC ＝2k.在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC ＝AD 2－CD 2＝3k ，∴tan ∠CAB ＝BC AC ＝2k 3k＝2 33.综上可知，tan A 的值为32或2 33.11．解：(1)原式＝3×32－32＋2×1＝3＋2. (2)原式＝133－2232×3＝3－23. 12．[解析] 利用tan ∠BAC ＝2，AB ＝2，先求得BC ＝4，再利用勾股定理求得AC ＝2 5，所以tan D ＝AC CD ＝54.解：在Rt △ABC 中，tan ∠BAC ＝2， 即BCAB＝2.又∵AB＝2，∴BC ＝4， ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22＋42＝2 5. 在Rt △ACD 中，tan D ＝AC CD ＝2 58＝54.13．解：(1)证明：因为AE 平分∠CAB， 所以∠CAE ＝∠BAE.又∠C＝∠AFE＝90°，AE ＝AE ， 所以△ACE≌△AFE.(2)设AB ＝3x ，则BF ＝x ，AF ＝AC ＝2x ， 所以BC ＝AB 2－AC 2＝9x 2－4x 2＝5x. 由(1)知CE ＝EF ，设CE ＝EF ＝m ， 在△BEF 中，BE 2＝EF 2＋BF 2， 即(5x －m)2＝m 2＋x 2， 因为x ≠0，所以m ＝2 55x ，故tan ∠CAE ＝CE AC ＝2 55x 2x ＝55.14．解：∵tan A ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°.又∵BD 平分∠ABC，AD ＝20，∴∠A ＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD ＝BD ＝20，∴DC ＝10，即AC ＝AD ＋DC ＝30.又∵tan A ＝BC AC ，∴BC ＝AC·tan A ＝30×33＝10 3，即BC 的长为10 3. 15．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD＝90°，∠ACD ＋∠CAD＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45，∴在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，由BE∶AB＝3∶5，知BE ＝3k ，则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，∴AC ＝3 2，∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝3.∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45，∴CD ＝12 25.16解：(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， 设∠A＝30°，则AB ＝2BC ，AC ＝3BC ， 所以cot 30°＝AC BC ＝3BCBC ＝ 3.故答案为3.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k ， ∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， 则∠A＋∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A. ∵tan A ＝BC AC ，cot B ＝BCAC ，∴tan A ＝cot B ，即tan A ＝cot (90°－∠A)．4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( ) A ．已知一直角边和一锐角 B ．已知一斜边和一锐角 C ．已知两边 D ．已知两角2．如图K －34－1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )图K －34－1A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm3．2016·牡丹江如图K －34－2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 的长为( )图K －34－2A ．2B ．3C ．3 2D ．2 34．如图K －34－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )图K －34－3A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( )A ．60B ．30C ．240D ．1206．如图K －34－4，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )图K －34－4A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图K －34－5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图K －34－59．已知△ABC ，O 为AC 的中点，点P 在AC 上，若OP ＝52，tan A ＝12，∠B ＝120°，BC ＝2 3，则AP 的长为________．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC，其中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)已知c＝8 3，∠A＝60°；(2)已知b＝2 2，c＝4；(3)已知c＝4，a＝b.11．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝33，AB＝8 cm.求△ABC的面积．12．如图K－34－6，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.图K －34－613．如图K －34－7，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5.(1)求∠B 的度数及AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．图K －34－714．如图K －34－8所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K －34－815．如图K －34－9，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点． (1)求点A 到BM 的距离．(2)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________．(填写所有符合条件的序号) ①AC ＝13；②tan ∠ACB ＝125；③连接AC ，△ABC 的面积为126.(3)在(2)的答案中，选择其中一个作为条件，画出草图，并求BC 的长． (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)图K －34－916探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－34－10，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，CD＝b sin A，AD＝b cos A，∴BD＝c－b cos A.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(b sin A)2＋(c－b cos A)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A.通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b2＝________，c2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C；(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.图K－34－101．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C3． [解析] A ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC ·sin45°＝6 2×22＝6. ∵tan ∠ABC ＝AD BD＝3，∴BD ＝AD3＝2.4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD ＝5cm ，∴BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x ，根据勾股定理，得AB ＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120.故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD .∵tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D.7．[答案] 14458．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35， 即AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等，∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40. 9．[答案] 2 5或 5[解析] 过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，∵∠ABC ＝120°， ∴∠CBD ＝60°.∵BC ＝2 3， ∴DC ＝BC ·sin60°＝2 3×32＝3.∵tan A ＝12，∴AD ＝2DC ＝6，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝3 5.∵O 是AC 的中点，∴AO ＝32 5.∵OP ＝52，∴AP 的长为2 5或 5.10．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3. (2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45°. (3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 2.11．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC . 解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33， ∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)． ∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)．12．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝x ·tan60°＝3x . 在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝3x .∵BC ＝1＋3，∴3x ＋x ＝1＋3，解得x ＝1，即BD ＝1. 在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB，∴AB ＝BDcos B ＝1cos60°＝2. 13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x ，在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3， ∴CE ＝3，AE ＝6. 在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3， ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5，∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2.14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BEsin37°≈240.60＝40 (mm)．在Rt △ADF中，cos ∠ADF ＝DF AD ，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)如图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，∠B ＝37°，∴AD ＝AB ·sin B ＝12.(2)①以点A 为圆心、13为半径画圆，与直线BM 有两个交点，点C 不唯一； ②由tan ∠ACB ＝125知∠ACB 的大小确定，在△ABC 中，∠ACB ，∠B 及AB 确定，此时的三角形唯一；③AB 的长度和三角形的面积均确定，则点C 到AB 的距离即可确定，则BM 上的点C 是唯一的．故答案为②③.(3)如图②，方案一：选②，由(1)得，AD ＝12，BD ＝AB ·cos B ＝16.在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴CD ＝ADtan ∠ACB ＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝21.方案二：选③，过点C 作CE ⊥AB于点E ，则∠BEC ＝90°，由S △ABC ＝12AB ·CE ，得CE ＝12.6.在Rt △BEC 中，∵∠BEC ＝90°，∴BC ＝CEsin B＝21.16解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍(3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8， ∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC为直角三角形，且a＝c＝2，∴∠C＝45°.(4)∵b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±2 2.∵c＞a＞b，∴c＝6＋22.4．4 解直角三角形的应用[ 第1课时仰角、俯角相关问题一、选择题1．如图K－35－1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )图K－35－1A．500sin55°米 B．500cos35°米C．500cos55°米 D．500tan55°米2.如图K－35－2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414)( )图K－35－2A．34.14米 B．34.1米C．35.7米 D．35.74米3．如图K－35－3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是( )图K－35－3A．60° B．45° C．15° D．90°4.图K－35－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )图K－35－4A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m二、填空题5．2017·抚顺如图K－35－5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)图K－35－56．2017·黄石如图K－35－6所示，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－35－6三、解答题7．2017·衡阳衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图K－35－7，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)图K－35－78．2017·镇江如图K－35－8，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长．(精确到1 m参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图K－35－89．2017·莱芜某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度(精确到0.01 m)；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．(参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图K－35－910．2017·凉山州如图K－35－10，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米？(结果保留根号)图K－35－1011一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图K－35－11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 3－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．图K－35－111．[解析] C ∵∠ABD＝145°，∴∠EBD ＝35°.∵∠D ＝55°，∴∠E ＝90°.在Rt △BED 中，BD ＝500米，∠D ＝55°，∴ED ＝500cos 55°米．故选C .2．[解析] C 过点B 作BF⊥CD 于点F ，过点B′作B′E⊥BD 于点E ，由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF ＝45°，∴∠BDC ＝45°，∠BDB ′＝∠B ′DC ＝22.5°，∴BE ′＝B′F.∵∠EBB ′＝45°，∠BEB ′＝90°，∴BE ′＝B′F＝22BB′＝10 2，∴DF ＝BB′＋B′F＝20＋10 2，∴DC ＝DF ＋FC ＝20＋10 2＋1.6≈35.7(米)．故选C .3．[解析] C 在Rt △ACB 中，∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝3 26＝22，∴∠CAB ＝45°.在Rt △AC ′B ′中，∵sin ∠C ′AB ′＝B′C′AC ＝3 36＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C .4．[答案] B 5．[答案] 100 2[解析] 连接AN.由题意知，BM ⊥AA ′，BA ＝BA′，∴AN ＝A′N，∴∠ANB ＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB ＝22.5°，∴∠MAN ＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN ＝MN ＝200米．在Rt △ABN 中，∠ANB ＝45°，∴AB ＝22AN ＝100 2(米)．故答案为100 2. 6．[答案] 137[解析] 设AB ＝x 米，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x 米，则BD ＝BC ＋CD ＝(x ＋100)米．在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝30°，∴tan ∠ADB ＝AB BD ＝33，即x x ＋100＝33，解得x ＝50＋50 3≈137，即建筑物AB 的高度约为137米．故答案为137.7．解：如图，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD ＝60°，DF ＝AE ＝1.5米．∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB ＝∠CAB＝30°，∴AB ＝BC ＝10.4米．在Rt △CBD 中，CD ＝BC·sin 60°＝10.4×32≈9.0(米)，∴来雁塔的高度＝CD ＋DF ≈9.0＋1.5＝10.5(米)． 答：来雁塔的高变约为10.5米．8．解：过点A 作AE⊥CD 于点E ，∵AB ＝15 m ，∴DE ＝AB ＝15 m ．∵∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ＝15 m ．在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAE ，则CE ＝AE·tan 37°≈15×0.75≈11(m )，∴CD ＝CE ＋DE≈11＋15＝26(m )．答：实验楼的垂直高度即CD 的长约为26 m .9．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB·tan 31°＝31×tan 31°≈18.60(m )，AE ＝AB cos 31°＝31cos 31°≈36.05(m )，则甲楼的高度为18.60 m ，彩旗的长度为36.05 m .(2)过点F 作FM⊥GD，交GD 于点M.在Rt △GMF 中，GM ＝FM·tan 19°.在Rt △GDC 中，DG ＝CD·tan 40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m ，根据题意，得x tan 40°－x tan 19°＝18.60，解得x≈37.20，则DG ＝37.20×tan 40°≈31.25(m )．答：乙楼的高度为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离为37.20 m .10．解：如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC ＝60°.∵∠OCB ＝∠A ＝90°，∴∠BCP ＝90°，∴∠P ＝30°.∵AD ＝20米，∴OA ＝12AD ＝10米，∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan 60°＝23米，PB ＝2BC ＝4米．在Rt △AOP 中，∵∠P ＝30°，∠A ＝90°，∴PA ＝OAtan 30°＝10 3米，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米．答：路灯的灯柱AB 的高应该设计为(10 3－4)米．11解：(1)如图①，过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°.令AB ＝2t cm .在Rt △ABD 中，AD ＝12AB ＝t ，BD ＝32AB ＝3t. 在Rt △AMD 中，∵∠AMD ＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD ＝AD ＝t.∵BM＝BD －MD ，即3t －t ＝20 3－20.解得t ＝20，∴AB ＝2×20＝40(cm )． 答：AB 的长为40 cm .(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP 交BC 于点N ，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt △ABN 中，BN ＝AB cos 30°＝4032＝80 33(cm )，∴光线AP 旋转6秒，与BC 的交点N距点B 80 33 cm .如图③，设光线AP 旋转2030秒后光线与BC 的交点为Q.由题意可知，光线从边AB 开始旋转到第一次回到AB 处需8×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP 旋转2030秒与旋转14秒时和BC 边的交点是同一个点Q.旋转14 s 的过程是B→C：8 s ，C →Q ：6 s ，∴CQ ＝BN ＝80 33cm .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴BC ＝2·AB·cos 30°＝2×40×32＝40 3(cm )，∴BQ ＝BC －CQ ＝40 3－80 33＝40 33(cm )，∴光线AP 旋转2014秒，与BC 的交点Q 在距点B 40 33cm 处．第2课时 坡度与坡角、方向角相关问题一、选择题1．坡度等于1∶3的斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．40° C．50° D．60°2．2016·苏州如图K －36－1，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( )图K －36－1A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(2 3－2) mD ．(2 6－2) m3．某水坝的坡度i ＝1∶3，坡长为20米，则水坝的高度为( ) A ．10米 B ．20米 C ．40米 D.20 33米4．如图K －36－2，在平地MN 上用一块10 m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC ＝7.5 m ，AD ＝6 m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，则斜坡AB 的坡度是( )图K －36－2A ．3∶5B ．4∶5C ．3∶4D ．4∶3 二、填空题5．如图K －36－3，如果在坡度i ＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的水平距离AC 为3米，那么两棵树之间的坡面距离AB 是________米．图K－36－36．如图K－36－4，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)图K－36－47．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图K－36－5所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF＝________°.图K－36－5三、解答题8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的距离，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果精确到1 mm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－36－69．2017·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果精确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图K－36－710．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．图K－36－811．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，距离60 2千米处有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米处还有一城市B ，B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．图K －36－912阅读与探究阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC 中，设∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则有a sin A ＝b sin B ＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a ·sin B sin A ＝6×sin30°sin45°＝3 2. 理解应用：如图K －36－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A 2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B 2处，此时两船相距10 2海里．(1)判断△A 1A 2B 2的形状，并给出证明； (2)求乙船每小时航行多少海里？图K－36－10。

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九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米． 故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -， 解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1． 已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4． 已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5． 用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6． 若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7． 计算： 2sin450-3tan600=____________． 8． 计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9． 计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10． 计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________． 二、选择题：1． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（ ）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223． 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414． 当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235． 若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006． 当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007． 如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259． 已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（ ）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、 在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14． 求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题： （1）已知a=5，∠B=600．求b ； （2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ； （3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。