2018-2019学年广东省湛江二中高一(上)期中数学试卷(B卷)(精品解析)

广东省湛江市第二十一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“x ∀∈R ，220x x -≥”的否定是（）A ．x ∀∉R ，220x x -≥B ．x ∀∉R ，220x x -<C ．x ∃∈R ，220x x -≥D ．x ∃∈R ，220x x -<2．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}1,5B =，则()U A B = ð（）A ．{}1,4B ．{}1,3C ．{}3,4D ．{}1,3,43．下列函数在定义域内单调递减的是（）A ．12y x =B ．12y x -=C ．1y x -=D ．2y x -=4．已知函数()1,02,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则“02x =-”是“()01f x =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x=D ．58y x =6．函数()2f x x =-的定义域为（）A ．(1，+∞)B ．[1，+∞)C ．[1，2)D ．[1，2)∪(2，+∞)7．已知函数()212my m x n =-+-是幂函数，一次函数()0,0y kx b k b =+>>的图像过点(),m n ，则41kb+的最小值是（）A ．3B ．92C ．143D ．58．若函数2()(2)23f x ax a b x a =++-+是定义在()()22,00,3a a -⋃-上的偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、多选题9．下列函数中既是奇函数，又在()0,∞+上为减函数的是（）A ．()3f x x=B ．()2022f x x =-C ．()f x =D ．()1f x x=10．对于实数a ，b ，c ，下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>，则b aa b+的最小值为2D ．若0c a b >>>，则11c a c b>--11．以下化简结果正确的是（字母均为正数）（）A ．21()x =-B 13y =C ．2132x y-=D ．13x-=12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x=--三、填空题13．函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()32f x x =-，则()1f -=___________.14．当1x >时，41x x +-的最小值为______．15．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m （件）与售价x （元/件）之间的关系满足一次函数：1623m x =-.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件.16．若函数()f x ，()g x 满足14()22f x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()()6f x g x x +=+，则(1)(1)f g +-=________．四、解答题17．（1）解关于x 的不等式2560x x -+-≤（结果用集合或区间表示）；（2）化简：312a -⎛ ⎝18．已知集合412P xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+.(1)当2m =时，求P S U ；(2)若S P ⊆，求实数m 的取值范围.19．已知二次函数()f x 为奇函数，且在0x ≥时的图象如图所示.(1)请补全函数()f x 的图象；(2)求函数()f x 的表达式(3)写出函数()f x 的单调区间.20．已知函数21()x f x x+=.(1)判断()f x 奇偶性；(2)当()1,x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明；21．某工厂的固定成本为4万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x （百台），其总成本为g ()x 万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足()20.5710.5,0713.5,7x x x r x x ⎧-+-<≤=⎨>⎩，假设该产品产销平衡，（利润=收入－成本），根据上述统计数据规律求：(1)求利润f (x )的表达式；(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？最大利润是多少？22．已知幂函数()()22317m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．参考答案：1．D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，即先将量词“∀”改成量词“∃”，再将结论否定，所以该命题的否定是“x ∃∈R ，220x x -<”.故选：D.2．C【分析】根据交集、补集的定义求解即可.【详解】由题意，得{}2,3,4U B =ð，所以(){}3,4U A B = ð故选：C 3．B【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.【详解】由幂函数单调性可知，函数12y x =在定义域[)0,∞+内单调递增，不满足题意；函数12y x -=在定义域()0,∞+内单调递减，满足题意；函数1y x -=在(),0∞-，()0,∞+上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；函数2y x -=为偶函数，在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，不满足题意.故选：B 4．A【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.【详解】由()2211f -=-+=-，即“02x =-”⇒“()01f x =-”，由()01f x =-，可知当00x ≤时，可得011x +=-，解得02x =-；当00x >时，可得21x -=-，可得02x =，即“()01f x =-”¿“02x =-”；所以“02x =-”是“()01f x =-”的充分不必要条件.故选：A.5．D【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案.【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求.故选：D 6．D【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且2x ≠．故选：D ．7．B【分析】根据幂函数定义，求出点(),m n ，代入一次函数中，得到2k b +=，再利用基本不等式求41k b+的最小值.【详解】由()212my m x n =-+-是幂函数，可得211m -=，20n -=，即1m =，2n =，又由点()1,2在一次函数y kx b =+的图像上，所以2k b +=，因为0k >，0b >，所以由基本不等式，得()411412k b k b k b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭145495222b k k b +⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2k b =时取等号，即当43k =，23b =时，min 4192k b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选：B.8．A【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案.【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则3220a a -+-=，解得2a =-,而当2,1a b =-=时，函数()227f x x =-+是()()6,00,6-⋃上的偶函数，所以2a =-.故选：A.9．BD【分析】根据奇函数和减函数的特性，结合选项判定即可.【详解】选项A ：()3f x x =是奇函数，但在()0,∞+上是增函数，排除A ；选项B ：()2022f x x =-是奇函数，在()0,∞+上为减函数，符合题意；选项C ：()f x =0x ≥，是非奇非偶函数，在()0,∞+上为增函数，排除C ；选项D ：()1f x x=是奇函数，在()0,∞+上为减函数，符合题意；故选：BD 10．BD【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.对A ：考查可乘性，要判断c 的符号；对B ：考查可乘性，显然20c >，故B 正确；对C ：根据基本不等式成立的条件判断；对D ：由已知变换出11c a c b--与的大小.【详解】对A ：若0c ≥时，则不等式不成立，所以A 错；对B ：由22ac bc >，则20c >，两边同乘以21c，所以a b >，故B 正确；对C ：因为0a b >>，所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =即a b =时取等号，但a b >，故取不到最小值2．故C 不正确；对D ：由0c a b >>>，所以0c a c b <-<-，所以110c a c b>>--，故D 正确；故选：BD.11．BC【分析】根据分数指数幂和根式化简，再结合根号下大于等于零，逐一判断即可得出结论.【详解】对于A，12(0)x x =->，故A 错误；对于B()11236(0)yy y ==>，故B 正确；对于C ，()2231321210,0)y x yx y x-=>>，故C 正确；对于D，131310)x x x-==>，故D 错误.故选：BC【分析】根据奇函数的定义并取特值0x =即可判定A ；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得()f x 在(,0]-∞上有最大值，进而判定B ；利用奇函数的单调性性质判定C ；利用奇函数的定义根据0x >时的解析式求得0x <时的解析式，进而判定D ．【详解】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，故A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，且存在00x ≥使得()01f x =-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，且当0x x =-有()01f x -=,∴()f x 在(,0]-∞上有最大值为1，故B 正确；若()f x 在[1,)+∞上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，故C 错误；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．13．1【分析】利用奇函数的定义即可求解.【详解】由于函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()()21111f f -=-=--=.故答案为：1.14．5【分析】将所求代数式变形为441111x x x x +=-++--，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，所以41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出y 取得最大值时的销售定价x ．【详解】设每天获得的销售利润为y 元，则2(30)(1623)3(42)432y x x x =-⋅-=--+，3054x <<，所以当42x =时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.故答案为：4216．9【解析】根据方程组法求解函数()f x 的解析式，代入求出(1)f ，(1)f -，再利用(1)f -代入求出(1)g -.【详解】由14()22f x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可知()1(242f f x x x x -=-，联立可得()2f x x =，所以(1)2f =，(1)2f -=-又因为(1)(1)165f g -+-=-+=，所以(1)527g -=+=，所以(1)(1)9f g +-=.故答案为：9【点睛】求函数解析式常用方法：（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；（2）换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（3）方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭与()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()f x ．17．（1）{}23x x x ≤≥或；（2）1a【分析】(1)化简不等式，根据一元二次不等式的解法求其解；(2)根据分数指数幂的定义和指数幂的运算公式求其解.【详解】（1）不等式2560x x -+-≤可化为2560x x -+≥，即()()230x x --≥，因为方程()()230x x --=的解为2x =或3x =，作函数()()23y x x =--的图象如下，观察可得不等式()()230x x --≥的解集为{}23x x x ≤≥或，所以原不等式的解集为{}23x x x ≤≥或；（2）312a -⎛ ⎝()321141322a b b a ---⎛⎫=⋅÷ ⎪⎝⎭312222a b b a ----⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭11a a-==18．(1){}23P S x x ⋃=-<≤(2)[]0,1【分析】（1）先求解集合P 中不等式，再结合并集运算求解即可；（2）由集合S 非空求m 的范围，再由S P ⊆，列出不等式组，求解即可.【详解】（1）由412x ≥+，可得202x x -≥+，即()()22020x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，所以{}22P x x =-<≤.又当2m =时，{}13S x x =-≤≤，所以{}23P S x x ⋃=-<≤.（2）因为{}11S x m x m =-≤≤+为非空集合，所以11m m -≤+，所以0m ≥，因为S P ⊆，又{}22P x x =-<≤，所以01212m m m ≥⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩，所以01m ≤≤，即所求m 的取值范围是[]0,1.19．(1)图象见解析(2)()()()2211,011,0x x f x x x ⎧--⎪=⎨-++<⎪⎩(3)答案见解析【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，补全函数()f x 的图象；（2）利用待定系数法，分0,0x x ≥<两种情况求函数的解析式，得到分段函数()f x 的解析式；（3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出()f x 的递增区间及递减区间．【详解】（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于y轴左侧的部分，如图所示：（2）当0x 时，设()()211f x a x =--，又(0)0f =，得1a =，即()()211f x x =--；当0x <时，0x ->，则()()()()221111f x f x x x ⎡⎤=--=----=-++⎣⎦，所以()()()2211,011,0x x f x x x ⎧--⎪=⎨-++<⎪⎩ ；（3）根据函数的图象可知：函数()f x 的单调递增区间是：(-∞，1]-，[1，)∞+；函数()f x 的单调递减区间是：[1-，1]．20．(1)奇函数(2)函数()f x 是()1,+∞上的单调增函数，证明见解析【分析】（1）根据函数解析式得出()()f x f x -=-，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；（2）函数()f x 是()1,+∞上的单调增函数，根据函数单调性的定义，任取1x 、()21,x ∈+∞且12x x <，得出()()12f x f x <，即可证明.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，因为22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数()f x 是奇函数；（2）函数()f x 是()1,+∞上的单调增函数，证：任取1x 、()21,x ∈+∞且12x x <，则()()22221212212112121211x x x x x x x x f x f x x x x x +++---=-=()()()()121212121212121x x x x x x x x x x x x x x -----==，因为211x x >>，所以120x x -<，120x x >，1210x x ->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 是()1,+∞上的单调增函数.21．(1)()20.5614.5,079.5,7x x x f x x x ⎧-+-<≤=⎨-+>⎩；(2)工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元.【分析】（1）利用利润=收入－成本即得；（2）分段求函数的最值即得.【详解】（1）由题可知总成本()4g x x =+，∴利润()()()20.5614.5,079.5,7x x x f x r x g x x x ⎧-+-<≤=-=⎨-+>⎩；（2）当07x <≤时，()()220.5614.50.56 3.5f x x x x =-+-=--+∴当6x =时，()max 3.5f x =，当7x >时，()79.5 2.5f x <-+=，∴工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元．22．(1)()4f x x =(2)11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m 的值即可；(2)由(1)求出函数()g x 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】（1）因为()()22317m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-．又()f x 的图像关于y 轴对称，所以6m =，故()4f x x =．（2）由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为[]1,2x ∈-，所以[]20,4x ∈，又函数21111684y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1(,)8-∞上单调递减，在1(,)8+∞上单调递增，所以221111116,243844x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

5．B
【解析】∵点 P sin , cos 位于第四象限，∴{ sin 0 ，
cos 0 ∴角 所在的象限是第二象限．
故选：B． 6．C
1
【解析】∵y=f(x+1)是偶函数，∴f(-x+1)=f(x+1)，即函数 f(x)关于 x=1 对称．
∵当 x≥1 时，
f
x

‒1 2+1
3
= 10.
( ) 2 ×
‒
1 3
+1
3
故选 A.．
点睛：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3．B
【解析】
试题分析：∵已知������(������)是定义在( ‒ ∞, + ∞)上的偶函数，且在区间( ‒ ∞,0]上是增函数，∴������(������)在
14．已知������(������) =
2
������������������(������ ‒ ������)������������������( ‒ ������ ‒ ������)
(1)化简������(������)
( ) (2)若������是第二象限角,且������������������
1 2sin������cos������
+
cos2������
=
sin2������ + 2sin������cos������
cos2������ + cos2������
=
������������������2������ 2������������������������
+ +
1 1

【数学】广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期测试题（B组）（解析版）广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期数学测试题（B组）一、选择题：本大题12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，借助数轴，易知，故选B.2.是一次函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,设f（x）=ax+b,则解得,故f(x)=x-,故选C.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】要使二次根式有意义，则，由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A.4.下列函数中在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，C中，y=x2+x=，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，D中，y=，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D.5.已知，则（）A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】已知则，易知f（x）+f（）=1，故=+3=.故选C.6.设,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2，综上，，故选B.7.函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()=<0 , f（1）= -1<0,f(2)=,,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（）A. B.C. D. 不存在这样的函数【答案】B【解析】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）?0≤g （x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）?x≤g（x），若g（x）=x，当x= -时，g（x）<0，即A不正确，若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x=，则g（）=，，即C不正确；故选B.9.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为方程有两个正根，所以，选D.10.已知函数，若，则（）A. B.C. D. 与的大小关系无法确定【答案】A【解析】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2），因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0，所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．故选A.11.设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D错误, 故选B12.设函数，则下列命题中正确的个数是（）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】=,当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设集合，集合，则集合中有____个元素．【答案】6【解析】由题意，B={2，3，4，5，6，8}；共有6个元素.14.若函数，则__________．【答案】-1【解析】令t=2x+1，则x=, 则f（t）=﹣2=，∴, ∴f（3）=﹣1.故填：.15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________.【答案】【解析】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，满足不等式的解集为：（1,2] ，∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0)，故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2] .16.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_____.【答案】9【解析】∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0，则b=，∵不等式f（x）=x2+ax+＜c的解集为（m，m+6），则x2+ax+-c=0的两个根为x1=m，x2=m+6，x1+x2=-a，x1x2=-c，∴|m+6-m|=，解得c=9.三、解答题：本大题共6题，共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）．解：(1) 原式= ..18.已知全集.（1）求；（2）求．解：（1）A∩B＝［－1，3］∩［－2，2）＝［－1，2），A∪B＝［－1，3］∪［－2，2）＝［－2，3］；（2）＝（－∞，－1）∪［2，＋∞），＝（－∞，－2）∪（3，＋∞）.19.设，若，求实数的取值范围.解：若A=?，则a＜-2，故B=C=?，满足C B；若A?，即a-2，由在上是增函数，得，即，①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间是（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40钟，根据上述分析结果回答下列问题：（1）请你说明，当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．解：由题意知，当0＜x30时,f(x)=30<40, 公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间；当30＜x＜100时，>40, 即x2-65x+900＞0，解得x＜20(舍去)或x＞45，∴当x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1-x%）=40-，当30＜x＜100时，；∴，∵当0＜x≤30时, g（x）=40-是单调递减函数，g（30）=37，当30＜x＜100时，，且g（30）=37，∴当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g （x）单调递增；实际意义：说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；大于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最短.21.已知是定义在上的奇函数，且，若且时，有成立．（1）判断在上的单调性，并用定义证明；（2）解不等式；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．解：任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，< p=""> ∵f(x)为奇函数，∴f(－x2)= -f(x2),∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)=，由已知得>0，<0,∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．< p="">(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴，解得.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≤－2或m≥2.22.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证：．解：（1）取x1=x2=0，可得f（0）≥f（0）+f（0）?f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件：①g（x）≥0，也满足条件；②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f （n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0.</f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．<></x2，则－x2∈[－1,1]，<>。

2018-2019学年第二学期广东二师附中中段测试高一级试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡和答卷一并交回．试卷要自己保存好，以方便试卷评讲课更好开展.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1、直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A .30°B ．60°C ．120°D ．150°2、已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A . 2- B. 2 C. 12-D. 8 3、在△ABC 中，060B =，2b ac =则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4、将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（ ）A ．43π B ． 4π C ． 3π D ． 3π 5、设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥B ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒C ．,//m m n n αα⊥⇒⊥D ．//,////m m n n αα⇒ 6、一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )A ．224cm πB ．218cm πC ．245cm πD ． 248cm π 7、球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( ) A ．3π B ．4π C ．2πD ．π 8、在ABC ∆中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --=．求B 的度数（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9、.如图所示,在正方体D C B A ABCD 111-中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A.AC B.BD C.1A D D.11A D . 10、已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=，422=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ）． A.38B.34C. 3D. 2311、已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ）A. 直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB. 直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED. 平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12、如图所示，已知两点),(04A ),(40A ，从点),(02P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A ．210 B ．6 C ．33 D ．25第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 13、锐角ABC ∆中，若面积ab S 43=，则角C =___________ 14、如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：__________时，SC ∥平面EBD.15、如图所示，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m ，0045,105ACB CAB ∠=∠=后，就可以计算出,A B 两点的距离为________16、设点P 在直线30x y +=上,且P 到原点的距离与P 到直线32x y +=的距离相等,则点P 的坐标为 .三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 三、解答题(本大题共6题,共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17、（本小题满分10分）已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18、（本小题满分12分）如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==．求证：（1）11AAC BAC ⊥平面平面；（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．19、（本小题满分12分）设ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且3,1,2b c A B ===．（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值．20、（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=,∠A 的平分线所在的直线方程为0y =,若点B 的坐标为（1，2）， 求：（1）点A 和点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．21． （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.22、（本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,sin cos ,3cos ,sin cos (0)a x x x b x x x λλλ=+=->，函数()f x a b =⋅的最大值为2.（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.2018-2019学年第二学期中段测试高一级试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B ADDCACDBBDA二、 填空题13.14.E 为SA 中点/SE=EA 15. 502m 16. 3131(,)(,)5555--或三、解答题 17、【答案】（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； ……………4分 （2）当12l l ∥时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =， (6)12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=， ……………8分距离为229142333d -==+ ……………10分 18、【答案】 （1）证明：C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，∴ AC⊥BC． ……………1分AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC， ……………2分又AC∩AA 1=A ， ……………3分∴BC⊥平面AA 1C ． ……………4分又BC ⊂平面BA 1C ， ……………5分∴平面AA 1C⊥平面BA 1C ． ……………6分（2）解：在Rt△ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大，此时AC=BC. 此时几何体1A ABC -取得最大体积. ……………8分090,2ACB AB ∠==，则由AB 2=AC 2+BC 2， ……………10分 AA 1⊥平面ABC ， AA 1是几何体1A ABC -的高所以体积max 11112332ABC V S AA ⎛=⋅=⨯⨯= ⎝23． ……12分19．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==， ………1分∴22222a c b a b ac+-=⋅， ………3分∵3,1b c ==，∴212a =，∴a = ………5分2）由（1）可得2221cos 23b c a A bc +-==-， ………7分∵0A π<<，∴sin A ………9分 ∴sin()sin cos +cos sin444A A A πππ+=13=-= ………12分 20、【答案】（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -． ………2分又AB 的斜率2011(1)AB k -==--．∵x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+① ………3分 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-， BC 所在的直线方程为22(1)y x -=--② ………4分解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． ………6分 （2）()()22152645BC =-++= ………7分又直线BC 的方程是240x y +-=A 到直线的距离24655d --==………10分 所以ABC ∆的面积1164512225BC d =⋅=⨯⨯= ………12分 21、解：（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，∴所以//BC AD . ………1分又BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ， ………3分∴//BC 平面PAD ………4分（2）取AD 的中点M ，连结,PM CM .12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ∠= ∴ 四边形ABCM 为正方形，∴CM AD ⊥. ………5分因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，所以,PM AD PM ⊥⊥底面ABCD . ………6分 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥.… ………7分 设BC x =，则,2,3,2CM x CD x PM x PC PD x =====.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以142PN x =………8分 因为PCD ∆的面积为27，所以11422722x x ⨯⨯=， 解得2x =-（舍去），2x =.………10分 于是2,4,23AB BC AD PM ====.所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=………12分22、试题解析：（1）函数()•23sin cos f x a b x x λ==+()sin cos x x λ+()sin cos x x - ………1分()22sin cos sin cos x x x x λ=+-)cos2x x λ=-12cos22x x λ⎫=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ………2分 因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=. ………3分 则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤-≤+， ………4分 可得：3522223k x k ππππ+≤≤+，536k x k ππππ+≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，. ………6分 （2）由2222cos 22b a b c d A c bc-+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b a c ab +-=. 解得1cos 2C =，即3C π=. ………8分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ………10分因为()2sin 206f A m A m π⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立， 则2sin 26A m π⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即1m ≤-. ………12分。