—14学年下学期高二期末考试数学(理)(附答案)

第1页（共4页） 第2页（共4页）密 封 线 内 不 要 答 题XXX 学年下学期期末考试高二数学试卷一、选择题（每题2分，共30分）1、sin450cos150-cos450sin150的值是 （ ） A.-23 B.21 C.-21 D.23 2、若cos α=-21,sin β=23,且α和β在第二象限，则sin(α+β)的值（ ）A.213-B.23C.-23D.213、x y 212-=的准线方程( )A. 21=yB. 81=xC. 41=xD. 161=x 4、由1,2,3可以组成多少个没有重复数字的三位数 （ ）A. 6个 B . 3个 C. 2个 D. 1个5、(nx )6-的展开式中第三项的系数等于6,那么n 的值（ ）A ． 2B ．3C ． 4D ．56、从放有7个黑球,5个白球的袋中,同时取出3个,那么3个球是同色的概率( ) A. 221 B. 447 C. 449 D. 221或447 7、x y 2=与抛物线2x y =的交点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++的结果是（ ）A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 9、已知△ABC 的三边分别为a=7, b=10, c=6,则△ABC 为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、函数y x y 的图象可由函数)6sin(2π+==的图象x sin 2 而得到( ) A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移3π个单位11、椭圆155322=+y x 的焦点坐标为 （ ） A.)0,8(),0,8(- B.)8,0(),8,0(- C.)0,2(),0,2(- D.)2,0(),2,0(- 12、 61⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是 （ ） A.C 36 B.C 46 C.C 06 D.C 56专业 班级 考场 座号第3页（共4页） 第4页（共4页）13、100件产品中,有10件一等品,20件二等品,任取一件是二等品的概率（ ） A. 51 B. 101 C. 301 D. 50114、下列点在1234+-=x x y 的曲线上的是（ ）A ．（1，0）B ．（—1，—6）C ．（—5，1）D ．（2，1）15、从8名男生和1名女生中选4人组成一个小组,必须要有女生参加的选法种数为（ ） A. 70 B. 56 C. 336 D. 126 二、填空题（每题2分，共30分） 1、长轴和短轴之和为18,焦距为6,且焦点在x 轴上的椭圆标准方程 2、双曲线1361622=-y x 的渐近线方程 3、过点M(-1,-2)的抛物线标准方程4、用1克,2克,4克的砝码在天平上能称出 种不同的物体的质量.5、长轴在y 轴，离心率为36，且过点(3,0)的椭圆的标准方程是 。

桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测高二年级数学（答案在最后）（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导运算正确的是A ．(cos )sin x x'=B ．(sin )cos x x'=C ．211()x x '=D ．(2)2x x'=2．双曲线2213y x -=的离心率为A ．12B ．2CD．23．曲线3y x =在点（1，1）处的切线方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．340x y +-=D ．320x y --=4．已知数列{}n a 的各项均不为0，11a =，1113n na a +-=，则8a =A ．120B ．121C ．122D ．1235．对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是A ．B．C ．D ．6．从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是A ．8B ．12C ．18D ．727．在数列{}n a 中，12a =，对任意m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，则2024a =A ．20262B ．20252C ．20242D ．202328．已知点1F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点作直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以线段MN 为直径的圆过原点，则C 的离心率的取值范围是A ．[2，1）B ．（0，2]C ．[3，1）D ．[3，2]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．直线l ：y x m =+，圆C ：2220x y x +-=，下列结论正确的是A ．直线l 的倾斜角为3πB ．圆C 的圆心坐标为（1，0）C ．当1m =-时，直线l 与圆C 相切D ．当(1)m ∈-时，直线l 与圆C 相交10．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-，则下列结论中正确的是A ．112a =B ．数列{}n a 是递增数列C ．11()2nn S =-D ．1n S >11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，EE 为1AA 的中点，则A ．DE ∥平面1A CAB ．DE ⊥平面11DC EC ．P 为棱11A B 上任一点，则三棱锥C PDE -的体积为定值D ．平面DCE 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．4(2)x y +的展开式中，22x y 的系数是________．（用数字作答）13．盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是________．14．若不等式21ln x ax bx +≤+（0a >）恒成立，则ba的最小值为________四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数2()1ln f x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）判断()f x 在（1，2）上是否有零点，并说明理由．16．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知10100S =，3514a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 的公比为q ，11b a =，q d =，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．17．已知抛物线E ：2y x =，过点T （1，2）的直线与E 交于A ，B 两点，设E 在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，1l 与2l 的交点为P ．（1）若点A 的坐标为（1-，1），求OAB △的面积（O 为坐标原点）；（2）证明：点P 在定直线上．18．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，以边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120︒形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是 CE上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：GH ∥平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值；（3）在（2）的条件下，线段AE 上是否存在点T ，使BT ⊥平面BPD ，证明你的结论．19．已知函数()xf x e =，()ln()g x x a ax =++（0a >）．（1）求函数()()1h x f x x =--的最小值；（2）若()()xf x g x e -≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：7222422211211()()()12n e n+++⨯⨯⨯< ．桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测高二数学参考答案及评分标准一、单选题题号12345678答案BBDCBDCA二、多选题题号91011答案BCDACBC三、填空题12．2413．3514．1e-四、解答题15．解：（1）函数()f x 的定义域为（0，+∞）1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=令()0f x '>，得1x >，()f x 的增区间为（l ，+∞）令()0f x '<，得01x <<，()f x 的减区间为（0，1）()f x 的极小值为(1)1f =-，无极大值（2）()f x 在（1，2）上有零点因为2(1)111ln110f =---=-<2(2)221ln 21ln 20f =---=->由零点存在定理可知，函数()f x 在（1，2）上有零点16．解：（1）因为10100S =，所以11045100a d +=①又3514a a +=，所以12614a d +=②由①②得11a =，2d =所以1(1)21n a a n d n =+-=-（2）因为11b a =，q d =，所以11b =，2q =所以1112n n n b b q--==因为n n n c a b =⋅，所以1(21)2n n c n -=-⋅01221123252(23)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ③12312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ④-③④得：012112222222(21)2n nn T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 所以(23)23nn T n =-⨯+17．解：（1）直线AB 的斜率12111(1)2k -==--直线AB 的方程为11(1)2y x -=+，即230x y -+=联立方程2230x y y x-+=⎧⎨=⎩，整理得：2230x x --=设A （1x ，21x ），B （2x ，22x ），则1212x x +=，1232x x =-设直线AB 与y 轴的交点为D ，则D （0，32）122113133||||||22224OAB OAD OBD x S x x x S S ==⨯⨯++⨯⨯=-△△△158=（2）由2y x =，得2y x'=1l 的方程为：21112()y x x x x =-+，整理得：2112y x x x =-同理可得2l 的方程为：2222y x x x =-设P （P x ，P y ），联立方程21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得12122P P x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩因为点T （1，2）在抛物线内部，可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()12y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=故12x x k +=，122x x k =-所以2P kx =，2P y k =-，可得22P P y x =-所以点P 在定直线22y x =-上18．证明：（1）取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ 因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GQ AB ∥，12GQ AB =又因为AB EF ∥，所以GQ HE∥所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以GH ∥平面BCE（2）依题意得AB ⊥平面BCE ，所以PB AB ⊥，因为PB AE ⊥，AB ，AE ⊂平面ABEF ，AB AE A = ，所以PB ⊥平面ABEF ，所以PB BE⊥以B 为坐标原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴，建系如图所示B （0，0，0），A （0，0，1），D （32，12-，1），P （1，0，0），E （0，1，0）(1,0,0)BP =，1,1)22BD =- 设平面BPD 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m BP m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111101022x x y z =⎧-+=⎪⎩，取12y =，得10x =，11z =所以平面BPD 的一个法向量是(0,2,1)m =易知平面BPA 的一个法向量为(0,1,0)n =设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则||25cos |cos ,|5||||m n m n m n θ⋅===⋅（3）满足条件的点T 存在，证明如下：设T （x ，y ，z ），AT AE λ=（01λ<<），则(,,1)(0,1,1)x y z λ-=-，所以T （0，λ，1λ-），(0,,1)BT λλ=- 因为BT ⊥平面BPD ，所以BT m∥所以121λλ-=，得23λ=所以存在点T （0，23，13）满足题意19．解：（1）()1xh x e x =--，()1xh x e '=-当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增所以min ()(0)0h x h ==（2）因为()()xf x g x e -≥-恒成立，即ln ln 0xxe x x a a e ----+≥恒成立令()ln ln xx xe x x a a e ϕ=----+（0x >）11()(1)1(1)(x x x x e x e x xϕ'=+--=+-令1()()xm x e x=-（0x >）21()0x m x e x'=+>，()m x 在（0，+∞）单调递增因为1(202m =<，0(1)1m e =->所以01(,1)2x ∃∈，使0()0m x =，即0010xe x -=当0(0,)x x ∈时，()0m x <，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减当0(,)x x ∈+∞时，()0m x >，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增故0min 0000()()ln ln 1ln xx x x e x x a a e a a eϕϕ==----+=--+所以1ln 0a a e --+≥，令()1ln n a a a e =--+（0a >），1()10n a a'=--<，()n a 在（0，+∞）单调递减因为()1ln 0n e e e e =--+=所以a 的取值范围是（0，e ]（3）由（1）知ln(1)x x +≤，当且仅当1x =时，等号成立要证7222422211211()()()12n e n+++⨯⨯⨯< 只要证222222112117ln[()()()]124n n +++⨯⨯⨯<因为22222222211211111ln[(()()]ln[(1)(1)(1)]1212n n n +++⨯⨯⨯=+⨯+⨯⨯+ 22222111111234n <+++++ 2211111122334(1)n n<+++++⨯⨯- 2211111111511717((((12233414244n n n n =++-+-+-=+-=-<- 故原命题得证。

2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控高二年级数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 是等比数列，满足11a =，公比2q =，则3a =（）A.2B.4C.8D.16【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，满足11a =，公比2q =，所以2231124a a q ==⨯=.故选：B2.直线220x y --=在y 轴上的截距为（）A.2-B.2C.1- D.1【答案】C 【解析】【分析】令0x =，解得1y =-，即可得直线220x y --=在y 轴上的截距.【详解】由题意可知，直线方程为220x y --=，令0x =，解得1y =-，所以直线220x y --=在y 轴上的截距为1-.故选：C.3.随机变量X 与Y 满足21Y X =+，若()2D X =，则()D Y =（）A.8B.5C.4D.2【答案】A 【解析】【分析】借助方差性质计算即可得.【详解】()()()2212428D Y D X D X =+==⨯=.故选：A.4.为研究数学成绩x （单位：分，满分150分）与物理成绩y （单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表数学成绩x 100137116142125物理成绩ya89899785根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为1282ˆyx =+，由此可知表中的a 的值为（）A.78B.85C.88D.90【答案】D 【解析】【分析】由经验回归方程必过样本中心点计算即可得.【详解】1001371161421251245x ++++==，8989978536055a ay +++++==，则有11242823605a +=⨯+，解得90a =.故选：D.5.正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，且(4)0.38P X >=，则(2)P X <-=（）A.0.76B.0.38C.0.24D.0.12【答案】B 【解析】【分析】正态曲线关于1x =对称，利用已知条件转化求解概率即可．【详解】因为随机变量X 服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线关于1x =对称，所以(2)(4)0.38P X P X <-=>=.故选：B .6.已知12,F F 是椭圆22:11612x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，且23PF =，则12PF F △的面积为（）A.3B.4C.6D.10【答案】C 【解析】【分析】由椭圆定义和23PF =得到1835PF =-=，结合124F F =，由余弦定理得123cos 5F PF ∠=，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得1228PF PF a +==，故1835PF =-=，又1224F F c ===，则由余弦定理得22221212121259163cos 22535PF PF P F PF F F F PF ++-∠===⨯⨯-⋅，故124sin 5F PF ∠==，故121122sin 611453225PF F S F PF PF PF =∠=⨯⨯⋅⨯= .故选：C7.在()()()()()12345x x x x x +++++的展开式中，含x 的项的系数是（）A.120 B.240C.274D.282【答案】C 【解析】【分析】在()()()()()12345x x x x x +++++的展开式中含x 的项即从5个因式中取4个常数，1个x ，即可写出含x 的项.【详解】在()()()()()12345x x x x x +++++的展开式中含x 的项即从5个因式中取4个常数，1个x ，所以含x 的项为23451345124512351234274x x x x x x ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以含x 的项的系数是274.故选：C .8.若函数()21e 12x af x x +=-+有两个极值点，则实数a 的取值范围为（）A.1a ≤- B.1a <- C.10a -<< D.0a >【答案】B 【解析】【分析】先对函数求导，然后由题知()f x '有两个变号零点，结合函数的性质可求得结果.【详解】函数的定义域为R ，由()21e 12x af x x +=-+，得()ex af x x +'=-，令()()e x ag x f x x +'==-，则()e 1x a g x +'=-，当x a >-时，()0g x '>，当x a <-时，()0g x '<，所以()g x 在(,)a -∞-上递减，在(,)a -+∞上递增，所以()g x 的极小值为()1g a a -=+，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →-∞时，()g x →+∞，所以要使()21e12x af x x +=-+有两个极值点，则()g x 有两个变号零点，所以10+<a ，得1a <-，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:l y kx k =-，圆22:4C x y +=，则下列结论正确的有（）A.直线l 过定点()1,0B.直线l 与圆C 恒相交C.直线l 被圆C 截得的弦长最短为4D.若直线l 被圆C ，则1k =±【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线的点斜式方程可判断A ；利用定点与圆的位置关系可判断B ；根据定点为弦的中点时，直线l 被圆C 截得的弦长最短可判断C ；利用弦长公式可判断D .【详解】对于A ，直线:l y kx k =-，即()1y k x =-，则直线恒过定点()1,0，故A 正确；对于B ，因为221014+=<，所以定点()1,0在圆22:4C x y +=内部，所以直线l 与圆C 恒相交，故B 正确；对于C ，直线l 与x 轴垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，此时:1l x =，直线l 被圆C截得的弦长为=，故C 错误；对于D ，直线:0l kx y k --=，圆心C 到直线l的距离d ==，得1k =±，故D 正确.故选：ABD10.不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（）A.两次摸到的都是红球的概率为310B.第二次摸到的是红球的概率为34C.第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为12D.第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为25【答案】AC 【解析】【分析】利用独立概率的乘法公式、条件概率与全概率公式逐项计算即可得解.【详解】设事件A 为第一次摸到的球的颜色为红色，事件B 为第二次摸到的球的颜色为红色，对A ：()3235410P AB =⨯=，故A 正确；对B ：()()()3223354545P B P AB P AB =+=⨯+=，故B 错误；对C ：()()()23154325P AB P A B P B ⨯===，故C 正确；对D ：()()()32154325P AB P B A P A ⨯===，故D 错误.故选：AC.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，H 为底面ABCD 上一点，则下列结论正确的是（）A.若H 为BD 中点，则1MH BD ⊥B.若//MH 平面11B CD ，则点H 的轨迹长度是22C.若32MH =，则点H 在圆上D.若直线MH 与AB 所成角为45°，则点H 在双曲线上【答案】BCD 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点H 坐标，从而可借助空间向量解决相应问题，对A ：计算向量数量积即可得；对B ：求出平面法向量后，结合向量垂直可得点H 轨迹，即可得其轨迹长度；对C ：借助空间中两点距离公式计算即可得点H 轨迹；对D ：借助空间向量夹角公式计算即可得点H 轨迹.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()1,1,0B 、()10,0,1D 、11,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),,0H m n ，0,1m n ≤≤；对A ：由H 为BD 中点，则11,,022H ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,222MH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,1,1BD =-- ，则()()111111112222B M D H ⋅-⨯-+⨯--⨯=-= ，故MH 与1BD 不垂直，故A 错误；对B ：11,,2MH m n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()0,1,0C ，()11,1,1B ，则()11,0,1B C =--，()111,1,0D B = ，设平面11B CD 的法向量为(),,m x y z =，则有1100B C m x z DB m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则有1y =-，1z =-，即()1,1,1m =--，若//MH 平面11B CD ，则有1102M m H m n =-⋅-+= ，即12m n =+，故1,,02H n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，102n ≤≤，则点H2=；对C：若2MH =，则()2213144m n -++=，即()22112m n -+=，故点H 在圆上，故C 正确；对D ：()0,1,0AB = ，若直线MH 与AB 所成角为45°，则有cos ,2AB MH =，即cos ,2AB MH AB MH AB MH⋅==⋅，整理得()22114n m =-+，即()224411n m --=，故点H 在双曲线上，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而将对应的轨迹、夹角、位置关系等问题都转化为空间向量解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.ln 2y x x =+在点()1,2处的切线方程为____________．【答案】31y x =-【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由ln 2y x x =+，得12y x'=+，所以切线的斜率为123k =+=，所以切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故答案为：31y x =-13.若安排5名同学去校园A ，B ，C 三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，C 处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答）【答案】60【解析】【分析】先从5名同学中选2名同学去C 处，再将剩下的3名同学安排到A ，B 两处，每处至少一人，即可求解.【详解】从5名同学中选2名同学去C 处，有25C 种选法，再将剩下的3名同学安排到A ，B 两处，每处至少一人，有2232C A 种安排方法，所以不同的安排方案共有22253254C C A 321602⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=种.故答案为：60.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，左焦点为F ．若过点F 的直线l 双曲线C 左支交于两点，则e 的取值范围为____________；过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且与另一条渐近线交于点B ，若13AF FB =，则e =____________．【答案】①.()1,2②.62【解析】【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分A 、B 在y 轴同侧与在y 轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得ba，即可得离心率.【详解】空一：由题意可得(ba∈，则()1,2e ==；空二：不妨设渐近线:OA bl y x a=-，若A 、B 在y 轴同侧，则tan AFb AOF a AO ∠==，44tan tan 2AB AF b AOB AOF AO AO a ∠=∠===，即2241bb a a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得22b a =，则62e ====；若A 、B 在y 轴异侧，则tan AF b AOF a AO ∠==，()22tan tan π2AB AF b AOB AOF AOAOa∠=-∠===，即2221bb a a b a -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得b a =，则e ====综上所述，e =2.故答案为：()1,262.【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由OA AF ⊥，故可从其倾斜角与斜率的关系入手建立相应等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2,,PA AB M N ==分别为,PC PD 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面ABN 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理结合四边形ABCD 为正方形，可得MN ∥AB ，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系-A BDP ，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为,M N 分别为,PC PD 的中点，所以MN ∥CD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，因为AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ；【小问2详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，所以,,AB AD PA 两两垂直，所以以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系-A BDP ，因为2PA AB ==，所以()()()()0,0,2,2,0,0,0,0,0,0,1,1P B A N ，所以()()()2,0,2,2,0,0,0,1,1PB AB AN =-== ，设平面ABN 的法向量为()000,,n x y z =，则000000200000x x n AB y z y z n AN ⎧⎧==⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⎪⋅=⎩⎪⎩⎩，令01y =，则01z =-，所以()0,1,1n =- ，设直线PB 与平面ABN 所成角为θ，所以21sin cos ,42PB n PB n PB n θ⋅==== ，因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6θ=，所以直线PB 与平面ABN 所成角的大小为π6．16.石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A 材料、B 材料可供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关；（2）以实验结果成功的频率为概率，用A 材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关（2）分布列见解析，数学期望为85【解析】【分析】（1）借助等高堆积条形图可得22⨯列联表，再计算出卡方即可得；（2）求出X 的所有可能取值及其对应概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望.【小问1详解】A 材料B 材料合计实验成功437实验失败123合计5510提出假设0H ：实验的结果与材料无关，()()()()222()10(4231)100.476 2.706557321n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；【小问2详解】设产品制作成功件数为X ，由题意可知X 服从二项分布，成功的概率为45，即42,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0，1，2，()02024110C 5525P X ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11124181C 5525P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()202241162C 5525P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：X012P 1258251625()181680122525255E X ∴=⨯+⨯+⨯=.17.函数()()()e ,,xf xg x kx b k b ==+∈R （1）令()()()h x f x g x =-，讨论函数()h x 的单调性；（2）若0k >，且()()g f x x ≥在实数R 上恒成立，求k b +的最大值．【答案】（1）答案见解析（2）e【解析】【分析】（1）求得()e xh x k '=-，分0k ≤和0k >，两种情况讨论，即可求解；（2）由（1）可知，当0k >时，ln e ln 0k k k b --≥，转化为2ln k b k k k +≤-，令()2ln (0)p k k k k k =->，通过导数求max ()p k 即可.【小问1详解】因为()()()e xh x f x g x kx b =-=--，所以()e xh x k '=-，当0k ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在R 上单调递增，当0k >时，()0h x '=时，ln x k =，当()()ln ,0,x k h x h x <'<在(),ln k ∞-上单调递减，当()()ln ,0,x k h x h x >'>在()ln ,k ∞+上单调递增，综上所述：当0k ≤时，()h x 在R 上单调递增，当0k >时，()h x 在(),ln k ∞-上单调递减，在()ln ,k ∞+上单调递增.【小问2详解】结合（1）与题意可得()ln 0h k ≥，即ln e ln 0k k k b --≥，即ln e ln k b k k ≤-，从而得ln e ln 2ln k k b k k k k k k+≤-+=-令()2ln (0)p k k k k k =->所以令()1ln 0ep k k k '=-=⇒=当()0,e k ∈时，()()0,p k p k '>在()0,e 上单调递增当()e,k ∈+∞时，()()0,p k p k '<在()e,+∞上单调递减所以()max ()e ep k p ==所以e k b +≤，即k b +的最大值为e ．18.抛物线E 的准线方程为14y =-，抛物线E 上的三个点,,A B C 构成一个以B 为直角顶点的直角三角形．（1）求拋物线E 的标准方程；（2）若点B 坐标为()1,1，证明：直线AC 过定点；（3）若BA BC =，求ABC 面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据准线方程求出抛物线方程；（2）设,A C 点的坐标分别为()()220044,,,x x x x ，直线AC 的方程为y mx b =+，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意1BA BC k k ×=-，即可得到m 、b 的关系，从而求出直线过定点坐标；（3）不妨设A ，B ，C 三点的坐标分别为()()()222112233,,,,,x x x x x x ，且123x x x <<，不妨记直线BC 的斜率为k ，且0k >，再由弦长公式得到()32121k x k k -=+，再求出BC 的最小值，即可得解.【小问1详解】拋物线E 的准线方程为14y =-，所以124p =且焦点在y 轴的非负半轴上，则12p =，∴抛物线E 的标准方程为2y x =；【小问2详解】设,A C 点的坐标分别为()()220044,,,x x x x ，直线AC 的方程为y mx b =+，联立2y x y mx b⎧=⎨=+⎩得20x mx b --=，显然0∆>，0404,x x m x x b ∴+==-，因为,,A B C 构成一个以B 为直角顶点的直角三角形，1BA BC k k ∴⋅=-，024********x x x x --∴⨯=---，040420x x x x ∴+++=，20,2m b b m ∴-+=∴=+∴直线AC 的方程为()212y mx b mx m m x =+=++=++，当=1x -时2y =，所以直线AC 过定点()1,2-；【小问3详解】由拋物线的对称性，不妨设A ，B ，C 三点的坐标分别为()()()222112233,,,,,x x x x x x ，且123x x x <<，不妨记直线BC的斜率为k，且0k>，则直线BA的斜率为1k-，则() 22223221322132211,* x x x xk x x x xx x k x x--==+-==+--，))()21322132,BA BC x x x x x x k x x=-=-⇒-=-结合（*）得()()3222221121kx x k k x x xk k k-⎛⎫---=--⇒=⎪+⎝⎭，))()3322121kBC x x k x kk k⎡⎤-∴=-=-=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦2121k kk k k+=⋅≥⋅+（当且仅当1k=时取得等号），2112ABCS BC∴=≥（此时1,k B=为坐标原点），即ABC面积的最小值为1.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x-=-或截距式y kx b=+来证明.19.已知数列{}n a的前n项和为n S，且21322nS n n=+．（1）求数列{}n a的通项公式n a；（2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若1x>-且n为正整数时，(1)1nx nx+≥+，当且仅当1n=或0x=时等号成立．（ⅰ）证明：数列n n a n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列；（ⅱ）已知()*4N n n ≥∈时，11122nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，证明：()1231n n n n n n n a a a a a +++⋯+<+．【答案】（1）()*1,N n a n n =+∈（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-求解，注意检验1n =时是否满足；（2）（ⅰ）由（1）知1n n n b n +⎛⎝=⎫ ⎪⎭，通过计算1n n b b +结合伯努利不等式即可证明；（ⅱ）利用伯努利不等式放缩11122k k n n ⎛⎫-≥- ⎪++⎝⎭，可得当4n ≥时，121222n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，再验证3n ≤时也成立.【小问1详解】因为21322n S n n =+，当1n =时，12a =，当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+，1n =符合此式，所以()*1,Nn a n n =+∈；【小问2详解】（ⅰ）记10n n n n a n b n n +⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11222221211(1)1(1)11n n n n n n n n n b n n n b n n n n n n +++⎛⎫ ⎪⎡⎤+⎡⎤+++⎝⎭==⋅=-⋅⎢⎥⎢+++++⎛⎫⎣⎦⎣⎦ ⎪⎝⎭()33223311233211(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n ++⎡⎤++++>-⋅==>⎢⎥++++⎣⎦，则1n n b b +>，所以数列n n a n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列；（ⅱ）当4n ≥，k n ≤时，因为11122nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，由伯努利不等式，得111022k k n n ⎛⎫-≥-> ⎪++⎝⎭，于是()1111111,2,,2222k n kn n k k k n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=-<=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，所以当4n ≥时，2121111111112222222n n n nn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以121222n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即23(1)(2)n n n n n n ++++<+ ，当1n =时，23<，不等式成立，当2n =时，22223134+=<，不等式成立，当3n =时，3333234995++=<，不等式成立，综上所述，不等式()1231n n n n n n n a a a a a ++++<+ 恒成立.【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键点：一是不等式23(1)(2)n n n n n n ++++<+ 成立等价于121111222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立，二是由伯努利不等式放缩11122k k n n ⎛⎫-≥- ⎪++⎝⎭.。

B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1。5倍
C。 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍
D。 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当
【答案】C
【解析】
【分析】
先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解。
A。x-2y—1=0B. 2x+y—2=0
C。x+2y—1=0D。 2x-y—2=0
【答案】A
【解析】
【分析】
线段AB经过抛物线y2＝4x焦点,由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标,从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0),准线方程为：x＝﹣1，
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分。）
13。 抛物线 的焦点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程为 ,所以焦点在 轴上，且焦点为 。
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
14。 在 的展开式中， 的系数为__________________。（用数字作答）
【答案】60。
【解析】
试题分析：因为 ，所以 的系数为
考点：二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项。可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2）已知展开式 某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值,最后求出其参数。