高中数学必修2-4.1.2《圆的一般方程》同步练习

4.1.2 圆的一般方程A 级 基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a ＝0，所以a ＝1.答案：B2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2. 答案：C3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( )A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆C ．一个点D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆解析：(2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)，当a ＝b ＝0时，方程表示一个点；当a ≠0或b ≠0时方程表示一个圆．答案：D4．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0 解析：因为两圆的圆心坐标为O (0，0)和C (－2，2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.答案：D5．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，在第四象限． 答案：D二、填空题6．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13， r ＝13，l ＝2πr ＝213π.答案：213π7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意圆心⎝⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________． 解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)． 答案：(0，－1)三、解答题9．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点D (m ，3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.B 级 能力提升1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.答案：B2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________． 解析：r 2＝1＋（m －1）2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π. 答案：34π 3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)．设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝ 3（x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)． 所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3，0)与(6，0)]． (2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3.。

2 2
D E 圆心 ( , ) 2 2
1 2 2 半径 D E 4F 2
2.求轨迹方程的步骤
1.设动点的坐标为为(x,y)
2.找到几何关系
4.整理化简
5.下结论
3.用方程表示几何关系
2 2
2
2
１、当 D E 4F 0 时，方程表示圆
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
半径长 1 2 2 D E 4F 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2 2
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
1 2 2 D E 4F 2
半径
Hale Waihona Puke 探究： 圆的标准方程和圆的一般方程的优缺点 1、圆的标准方程的优点在于它明确地 指出了圆心和半径。
AM 2
y
M

由两点间距离公式，上式可用坐标表示为
1 . ( x 3) 2 y 2 2 x2 y2
C
O
A 3
x
两边平方并化简，得曲线方程为
x2 y 2 2x 3 0
将方程配方，得
( x 1) 2 y 2 4
所以所求曲线是以C (1,0) 为圆心，半径为 2 的圆.

圆的一般方程A 组 基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)． 答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0， 故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为 d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2.∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0 解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________． 解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________． 解析：所给圆的半径长为r ＝1＋ m－1 2－2m 22＝12－ m＋1 2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程． 解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组 能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D. 答案：D 12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB 的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t |＝4(定值)．。

第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程A 级 基础巩固一、选择题1．若直线l ：ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则a ＋2b 的值为( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4解析：已知圆C 的圆心为(－1，2)，因为直线l 平分圆C 的周长，所以直线l 过圆心．即－a －2b ＋1＝0，所以a ＋2b ＝1.答案：A2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.答案：C3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( )A ．一个圆B．只有当a＝0时，才能表示一个圆C．一个点D．a，b不全为0时，才能表示一个圆解析：(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)，当a＝b＝0时，方程表示一个点；当a≠0或b≠0时方程表示一个圆．答案：D4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析：因为两圆的圆心坐标为O(0，0)和C(－2，2)，直线l为线段OC的垂直平分线，所以直线l的方程是x－y＋2＝0.答案：D5．若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0解析：由题意，过M(3，0)的最长的弦所在的直线为过点M(3，0)的直径，x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心为(4，2)，故所求直线方程为y－0＝2(x－3)，即2x－y－6＝0.答案：C二、填空题6．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．解析：(x－3)2＋(y＋2)2＝13，r ＝13，l ＝2πr ＝213π.答案：213π7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)三、解答题9．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点D (m ，3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.B 级 能力提升1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A.5 B ．5 C ．25 D ．10解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.答案：B2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．解析：r 2＝1＋（m －1）2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π. 答案：34π 3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．解：如图，设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3，3)．因为CM ⊥AM ，所以k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25. 所以所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．。