总结求逆矩阵

1 求逆矩阵的方法与矩阵的秩

一、矩阵的初等行变换

定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：

(1) 将矩阵中某两行对换位置；

(2) 将某一行遍乘一个非零常数k；

(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.

并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.

矩阵A经过初等行变换后变为B，用

AB

表示，并称矩阵B与A是等价的.

（下面我们把）第i行和第j行的对换变换，简记为“

，

”；把第i行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“ k”；第j行的k倍加至第i行上的倍加变换，简记为“ + k”.

例如，矩阵 A =

321321321cccbbbaaa

321321321cccaaabbb

321321321cccbbbaaa

321321321kckckcbbbaaa

321321321cccbbbaaa

321332211321ccckabkabkabaaa

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵

由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了1A.即

( A , I )初等行变换( I , A1 )

例1 设矩阵 A =

232311111

求逆矩阵A1 .

解 因为 ③k ①，②

②+①k i j

i i j 2 [A , I ] =100232010311001111

102010011220001111

1212510002121110001111

1212510010201012127011

12125100102010221211001

所以 A1=

12125102221211

所求逆矩阵A1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA1进行验证.如果AA1=I成立，则A1正确，否则不正确.

对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[ A , I ]

进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即0A，可以判定A不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A1，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.

例2 设矩阵 A =

116504612，问A是否可逆？

解 因为

[ A , I ] =10011601050400161210317200121720001612

1110000121720001612

[ A , I ]中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A是奇异的，A不可逆.

（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.） ②+①(-1)

③+①(-2)

②(1/2)

③+② ①+③(-1)

②+③(-1)

①+② 3 例3 解矩阵方程AX = B，其中 A =423532211，B =453211

解 [思路] 如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX = B等号的两边同时左乘A1，可得

A1AX = A1B， X = A1B

因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出A1，然后计算A1B，求出X .

因为 [ A , I ] =

100423010532001211103210012110001211

115100012110013101115100127010102001

115100127010102001

所以 A可逆，且 A1=115127102

X = A1B =

115127102453211=429623

三、矩阵的秩

前面给出了利用矩阵行列式A判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.

矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.

在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.

定义2.15 在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的2k个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.

例4 设矩阵 A=324423211123

取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式 4 22212

称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.

定义2.16 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作rA()或秩(A ) .

规定：零矩阵O的秩为零，即rO()= 0.

例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 rA()= 2 .

例5 设A为n阶非奇异矩阵，求rA().

解 由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式0A，所以A有n阶非零子式，故 rA()= n .

例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A，若rA()= n，则A必为非奇异的.

因此n阶方阵A为非奇异的等价于rA()= n.

称rA()= n的n阶方阵为满秩矩阵.

用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.

定理2.10 设A为nm矩阵，则rA()= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.

例如，阶梯阵

A =000001040053162， B =200140531

因为A的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A的秩等于2，B 的秩等于3，即rA()= 2，rB()= 3.

那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.

定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）

定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.

例6 设矩阵 5 A =01422502， B =2110460235230411

求rA()，rB()，rAB().

解 因为 A = 01422502②①26402502

所以 rA()= 2

因为 B =2110460235230411②①③①3221104220317100411

③②④②()()2151600103200317100411④③()120000103200317100411

所以 rB()= 3

因为 AB = 014225022110460235230411=861016242048

AB =861016242048②①()25646180242048

所以 rAB()= 2

由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A , B的秩，即 rAB()

min{(),()}rArB.