第一章 绪论
一 本章的学习要求
（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式
（1）绝对误差：设x 为精确值，x *
为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *
的绝对误
差。
（2）相对误差：r e e x
*
*
*=。
（3）绝对误差限：e x x ε
*
**==-。
（4）相对误差限：r x x x
x
εε**
**
*
-=
=
。
（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε*
*
*
⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭
则。
（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε*
**
*⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
。 （7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε*
**⎛⎫∂==⋅ ⎪
∂⎝⎭
则。 （8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε*
****
*
⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
。
三 本章习题解析
1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别
估计11
23A X X X **
*
=及224
X A X *
*
=的相对误差限。 12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====
解：（1）1x *
有5位有效数字，2x *
有2位有效数字，3x *
有4位有效数字，4x *
有5位有效
数字。 （2）1111123231312123
,
,,,A A A
A x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。
所以
()()1
1
1
r
A A A
ε
ε**
*
=
()()()
12
3
11111123A A A x x x A X X X ε
εε
*
*
*
****⎡
⎤⎢⎥=++
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭
43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***⎡⎤=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦
()
222222424441,,,X A A
x A X x x x x ∂∂=
==-∂∂则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：
()()2
2
2
r
A A A
ε
ε**
*=
()()
2
4
212224A A X X A X X ε
ε
*
*
***⎡
⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭
⎝⎭
()33542
224411*********X X X X X *
*--***⎡⎤
⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦
2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过2
1cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，
2ds
x dx
=，在这里设x *为边长的近似值，S *为
面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε
*
*
*
=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭
即：()
21x x ε**⋅≤ 推出：(
)1
0.005200
x
cm ε*
≤
=。 3. 测得某房间长约L *
=4.32m ，宽约为d *
=3.12m ，且长与宽的误差限均为0.01m ，试问房
间面积S=Ld 的误差限和相对误差限分别为多少？ 解：设s ld = 则有：
s d l ∂=∂，s l d
∂=∂。在这里l d S ***，，分别为l ，d ，s 的近似值： ()()()()()2
3.120.01
4.320.010.0744cm
s s d
s l d l l d l d ε
εεεε*
*
*
*
*
*
***⨯+⨯=⨯+⨯=∂∂⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
相对误差限为：(
)()
0.0744
0.00554.32 3.12
r S S
S εε**
*
=
=
=⨯。
4. 下列公式如何计算才比较准确：
(1)当x 的绝对值充分小时，计算
21
2
x
e -；
（2）当N 的绝对值充分大时，计算1
2
11N N dx
x ++⎰； （3）当x
解：（1）当0x →时，()()()
22221
1
1221x
x
x
x
e e e e -+-=
+=()41
2x
x x x
e e e e --+=()()32x x x
x x x
e e e e e e ---+ =
()()()()
32222x
x x x x
x x x
x
e e
e e e
e e e e ------=++
（2）当N →∞时，
1
2
1
1N N
dx X ++⎰
=1arg N tgx N +=()arg 1arg tg N tgN +- =()
1
arg 11tg
N N ++
(3)当x →+∞
