中考数学专题复习分类练习 旋转综合解答题及答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是

；

结论2：DM、MN的位置关系是 ；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ；

（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；

（4）若m＝6，n＝42，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）90°，2n；（2）无变化；（3）1255；（4）BD=210或21143．

【解析】 试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE∥AB得CDCECBCA即可解决问题．②求出BD、AE即可解决问题．

（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．

（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．

（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．

试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴CECDACCB=12．∵BC=n，∴CD=12n．故答案为90°，12n．

②如图2中，当α=180°时，BD=BC+CD=32n，AE=AC+CE=32m，∴BDAE=nm．故答案为nm．

（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵CDBCnCEACm，∴△ACE∽△BCD，∴BDBCnAEACm．

（3）如图4中，当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB=22ACBC=6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE=22ABBE=2263=35，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴BDBCAEAC，∴35BD=810，∴BD=1255．故答案为1255．

（4）∵m=6，n=42，∴CE=3，CD=22，AB=22CABC=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD=22BCCD=224222（）（）=210．

②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴342BMECME，，∴AM=5，AE=22AMME=57，由（2）可知DBAE=223，∴BD=21143．

故答案为210或21143．

点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．

3．如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．

（1）根据题意补全图形；

（2）判定AG与EF的位置关系并证明；

（3）当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)252.

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）先判断出△ADF≌△ABE，进而判断出点C，D，F共线，即可判断出△DFG≌△HEG，得出FG=EG，即可得出结论；

（3）先求出正方形的对角线BD，再求出BH，进而求出DH，即可得出HG，求和即可得出结论．

【详解】

（1）补全图形如图所示，

（2）连接DF，

由旋转知，AE=AF，∠EAF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，AD=AB，∠ABC=∠ADC=BAD=90°，

∴∠DAF=∠BAE，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴DF=BE，∠ADF=∠ABC=90°，

∴∠ADF+∠ADC=180°，

∴点C，D，F共线，

∴CF∥AB，

过点E作EH∥BC交BD于H，

∴∠BEH=∠BCD=90°，DF∥EH，

∴∠DFG=∠HEG，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠CBD=45°，

∴BE=EH，

∵∠DGF=∠HGE，

∴△DFG≌△HEG（AAS），

∴FG=EG

∵AE=AF，

∴AG⊥EF；

（3）∵BD是正方形的对角线，

∴BD=2AB=32，

由（2）知，在Rt△BEH中，BH=2BE=22，

∴DG=BD-BH=2

由（2）知，△DFG≌△HEG，

∴DG=HG，

∴HG=12DH=22，

∴BG=BH+HG=22+22=522．

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．

4．如图1，菱形ABCD，AB4，ADC120，连接对角线AC、BD交于点O，

1如图2，将AOD沿DB平移，使点D与点O重合，求平移后的A'BO与菱形ABCD重合部分的面积．

2如图3，将A'BO绕点O逆时针旋转交AB于点E'，交BC于点F，

①求证：BE'BF2；

②求出四边形OE'BF的面积．

【答案】 13?2①证明见解析3②

【解析】

【分析】

(1)先判断出△ABD是等边三角形，进而判断出△EOB是等边三角形，即可得出结论；

(2)先判断出 ≌△OBF，再利用等式的性质即可得出结论；

(3)借助①的结论即可得出结论．

【详解】

1四边形为菱形，ADC120，

ADO60，

ABD为等边三角形，

DAO30，ABO60，

∵AD//A′O，

∴∠A′OB=60°，

EOB为等边三角形，边长OB2，

重合部分的面积：3434，

2①在图3中，取AB中点E，

由1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°，

∴∠EOE′=∠BOF，

又∵EO=BO，∴∠OEE′=∠OBF=60°，

∴△OEE′≌△OBF，

∴EE′=BF，

∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；

②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF，

∴S△OEE′=S△OBF，

S四边形OE′BF =OEBS3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.

5．在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α（0°＜α＜180°）,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD，BE．

（1）如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F．

①求证：△ABD是等边三角形；

②求证：BF⊥AD，AF=DF；

③请直接写出BE的长；

（2）在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值．

【答案】（1）①②详见解析；③3﹣4；（2）13．

【解析】

试题分析：（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得