【期望杯】2011年九年级数学竞赛试题(含答案)
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2011年浙江省湖州市九年级数学竞赛试卷
（2011年12月11日 上午9：00—11：00）
题 号 一 二 三 总分 1－8 9－14 15 16 17 18
得 分
评卷人
复查人
答题时注意: 1．用圆珠笔或钢笔作答．
2．解答书写时不要超过装订线．
3．可以用计算器
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必须经过点（ ）
A． （2，6） B． （2，﹣6） C． （4，﹣3）
D． （3，﹣4）
2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（ ）
A． 1种 B． 2种 C．
3种 D． 4种
3．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3）、B（﹣4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（ ）
A． B． ﹣2 C． D． ﹣3
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2010•鄂尔多斯）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（ ）
2 A．
B．
C．
D．
6．观察下列三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14
15
„ „
A． 1225 B． 1260 C． 1270 D． 1275
7．如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（ ）
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．王师傅围一块一面靠墙长方形花圃，面积为50m2，如果不靠墙的三面用竹篱笆去围．那么，竹篱笆最少需要
_________ m长．
10．如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为 _________ ．
3 11．如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表示α的关系式是 _________ ．
12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 _________ ．
13．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金 _________ 元．
14．如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN=BM，BN与CM相交于点O，若S△ABC=7，S△OBC=2，则= _________ ．
三、解答题（共4小题，满分50分）
15．（2007•绍兴）设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；
（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
16．已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．
4 17．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的5倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？
18．（2009•眉山）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．
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2011年浙江省湖州市九年级数学竞赛试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必须经过点（ ）
A． （2，6） B． （2，﹣6） C． （4，﹣3） D． （3，﹣4）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征。
专题： 数形结合；函数思想。
分析：
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点（3，4）代入反比例函数，求得m2+2m﹣1值，然后再求函数图象所必须经过的点．
解答：
解：∵点（3，4）是反比例函数图象上一点，
∴点（3，4）满足反比例函数，
∴4=，即m2+2m﹣1=12，
∴点（3，4）是反比例函数为y=上的一点，
∴xy=12；
A、∵x=2，y=6，∴2×6=12，故本选项正确；
B、∵x=2，y=﹣6，∴2×（﹣6）=﹣12，故本选项错误；
C、∵x=4，y=﹣3，∴4×（﹣3）=﹣12，故本选项错误；
D、∵x=3，y=﹣4，∴3×（﹣4）=﹣12，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．已知|a+b|+|a﹣b|﹣2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有（ ）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 绝对值；数轴。
专题： 探究型。
分析： 根据绝对值的几何意义由每个数轴对|x+y|+|x﹣y|﹣2y=0，进行分析判断是否成立．
解答： 解：根据绝对值的几何意义：
由第一个图可得：
6 |x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；
由第二个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；
由第三个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+y﹣x﹣2y=0，成立；
由第四个图可得：
|x+y|+|x﹣y|﹣2y=x+y+x﹣y﹣2y=2x﹣2y≠0，不成立；
所以可能成立的有2种．
故选B．
点评： 本题考查的是绝对值的性质，熟知数轴上两点之间距离的定义是解答此题的关键．
3．在直角坐标系中，已知两点A（﹣8，3）、B（﹣4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（ ）
A． B． ﹣2 C． D． ﹣3
考点： 坐标与图形性质。
分析： 过x轴作B点的对称点B1，过y轴作A点的对称点A1，连接BB1，AA1，与y轴x轴的交点为C，D，连接各点这时周长最小，从而可求解．
解答： 解：作B点关于x轴的对称点B1，作A点关于y轴的对称点A1，连接BB1，AA1，与
y轴x轴的交点为C，D，连接各点这时周长最小作，容易得到m、n 的关系．
有：=﹣（m为负数）．
故选C．
点评： 本题考查平面内坐标的特点和两点之间线段最短的性质．
4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点： 旋转的性质；正方形的性质。
专题： 计算题。
7 分析： 设EF交CD于G点，连AG，根据旋转的性质得到∠BAE=30°，则∠EAD=90°﹣30°=60°，易证得Rt△ADG≌Rt△AEG，得∠DAG=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得GD=，则S△ADG=•AD•DG=×1×=，利用S阴影部分=S正方形ABCD﹣2S△ADG计算即可．
解答： 解：设EF交CD于G点，连AG，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°﹣30°=60°，
∵AE=AD，AG公共，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG，
∴∠DAG=30°，
而AD=1，
∴AD=GD，
∴GD=，
∴S△ADG=•AD•DG=×1×=，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣2S△ADG=1﹣2×=1﹣．
故选D．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
5．（2010•鄂尔多斯）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象。
专题： 新定义。
分析： 先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．
解答：
解：根据新定义运算可知，y=3※x=，
（1）当x≥3时，此函数解析式为y=2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；
（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．
