第一章 特殊的平行四边形

- 1 - 第一章 特殊的平行四边形

1.1 菱形的性质与判定第一课时 性质

学习过程：

一、自主预习（10分钟）自学课本例题以上的内容，完成下列问题：

如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来

的四边形叫做菱形，生活中的菱形有 。

按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？

②菱形为什么是轴对称图形？

有 对称轴。

图中相等的线段有：

图中相等的角有：

③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。

性质：

证明：

二、合作解疑（20分钟）

菱形性质的应用

1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°

沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，

求两条小路的长和花坛的面积。

3.如图是边长为16cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= .

4.如右图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.

求证：①△ABE≌△ADF；

②∠AEF=∠AFE.

平行四边形 菱形 ？

1 C B A

F E D

C A

B

- 2 - 综合应用拓展

如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．

求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．

三、限时检测（10分钟）

1．______________的平行四边形叫做菱形．

2．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得

到_____________的四边形是菱形．

3．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________________ ． 第3题图

4．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______．

5．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ）

A．对角线相等 B．是中心对称图形 C．是轴对称图形 D．对角线互相平分

6．菱形的周长为20 cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．

7．以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是____________．

1.1 菱形的性质与判定第一课时 判定

学习过程：

一、自主预习（10分钟）

1．复习

（1）菱形的定义：

（2）菱形的性质1

性质2

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

3．【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过演示，容易得到：

菱形判定方法1 ：

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

通过下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：

菱形判定方法2 ：

二、合作解疑（20分钟））

1.判断题，对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）

(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）

(4).对角线相等的四边形是菱形（ ） ABCD

- 3 - 2.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

求证：（1）四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

(3) 求证：四边形ABCD是菱形.

综合应用拓展

如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．

求证：MN与PQ互相垂直平分．

三、限时检测（10分钟）

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是 ；（2）对角线互相垂直平分的四边形是 ；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是 ；

（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形．

2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．

（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，

求证：四边形OCED是菱形。

1.2矩形的性质与判定第一课时 性质 A

B N P Q M D

C ABCDEF

- 4 - 学习过程：

一、自主预习（10分钟）

（1）请用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？

（2）试着改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？这时这个平行四边形的内角是多少度？

（3）观察图形特征，得出概念.

叫做矩形.

矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

二、合作解疑（15分钟）

问题一 如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？

问题二 将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？

证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”

已知：

求证：

证明：

四、例题学习

例：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。

求证：△AOB是等边三角形。(注意表达格式完整性与逻辑性)

拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？

综合应用拓展

（2）求对角线AC、BD的长.

三、限时检测（10分钟）

1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30°，AB=4.

（1）判断△AOD的形状； O B

C D A O B

C D

A

ODCBAODCBA

- 5 - 为 、 、 、 ．

（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为

cm， cm， cm， cm．

2．（选择）

（1）下列说法错误的是（ ）．

（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．

（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对

3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

1.2矩形的性质与判定第一课时 判定

学习过程：

一、自主预习（10分钟）

1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．

2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．

3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.

平行四边形 矩形

边

角

对角线

二、学习新知：自学教材

1、矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请说出最基本的方法：

矩形具有平行四边形不具有的性质是：

思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定）

2.做一做：按照画“边 ―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的另一个判定）

总结：矩形的判定方法． 矩形判定方法1：______________________________

矩形判定方法2：_______________________________

（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

二、合作解疑（10分钟）

下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）

(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）