2018年高考数学 专题09 概率与统计分项试题(含解析)理
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专题 概率与统计
一、选择题
1．【2018衡水金卷大联考】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )
A. B. C. D.
【答案】B
2．【2018吉林百校联盟九月联考】太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被3sin6yx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A. 136 B. 118 C. 112 D. 19
【答案】B
【解析】设大圆的半径为R，则： 126226TR，
则大圆面积为： 2136SR，小圆面积为： 22122S，
则满足题意的概率值为： 213618p.
本题选择B选项.
2 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.
3．【2018辽宁大连八中模拟】若从区间0,(ee为自然对数的底数， 2.71828...e）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为 （ ）
A. 2e B. 1e C. 21e D. 11e
【答案】A
4．【2018海南省八校联考】某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组17.5,20， 20,22.5， 22.5,25， 25,27.5， 27.5,30.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是( )
A. 380 B. 360 C. 340 D. 320
【答案】A
【解析】解：
由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为：
（0.08+0.04+0.16+0.1）×2.5=0.95， 3 ∴这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为：
400×0.95=380.
点睛：由频率分布直方图求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率，由此能求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数．
5．【2018广东珠海市九月模拟】在线段 AB 上任取一点 P ，点 P 恰好满足 | AP |23 |
AB | 的概率是
A. 23 B. 49 C. 19 D. 13
【答案】D
6．【2018湖北武汉高三调研】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程210axbx有实数解的概率是（ ）
A. 736 B. 12 C. 1936 D. 518
【答案】C
【解析】若方程210axbx有实根，则必有240ba，若1a，则2,3,4,5,6b；若2a，则3,4,5,6b；若3a，则4,5,6b；若4a，则4,5,6b若5a，则5,6b；若6a，则5,6b， 事件“方程210axbx有实根”包含基本事件共
54332219， 事件的概率为1936，故选C.
7．【2018陕西西工大附中七模】已知平面区域{,|0,01}xyxy，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线2sinyx下方的概率是（ ）
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】A
4 【解析】概率是ππ2001sin2π1cos2π2| sin12022ππππ2xxxdxxdx ,选A.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
8．【2018陕西西工大附中七模】在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2100,(0)，若在80,120内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ）
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
【答案】B
【解析】1(80120)801200.12PXPXPX ,选B.
9．【2018陕西西工大附中八模】已知高峰期间某地铁始发站的发车频率为5分钟1班，由于是始发站，每次停靠1分钟后发车，则小明在高峰期间到该站后1分钟之内能上车的概率为（ ）
A.
13 B. 14 C. 15 D. 25
【答案】D
二、解答题
10．【2018衡水金卷高三联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人） 5
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.
试题解析：
（1）由列联表可知的观测值，
.
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），
6 偶尔或不用网络外卖的有（人）.
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，
恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.
由题意得，
所以；
.
11．【2018广西三校联考】某校50名学生参加2015年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90,100，第二组100,110，…，第五组130,140．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；
（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记x为取得第一组成绩的个数，求x的分布列与数学期望．
【答案】（1）27人；（2）分布列见解析， 67
试题解析： 7 （1）由频率分布直方图知，成绩在100,120内的人数为：
500.16500.3827（人） 所以该班成绩良好的人数为27人．
（2）解：由题意0,1,2x 02342720.7CCpxC 11342741,7CCpxC
20342712.7CCpxC
x的分布列为
x 0 1
2
p 27 47 17
x的期望为
24160127777Ex.
12．【2018河南中原名校质检二】近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：
患心肺疾病 不患心肺疾病 合计
男 20 5
25
女 10 15
25
合计 30 20 50
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.参考公式：，其中
8 【答案】（1）有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的；
（2）
;
∴，又，
∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的
（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，
∴，，
，.
所以的分布列为
所以的数学期望
13．【2018吉林百校联盟九月联考】已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示. 9
（1）试估计该产品收益率的中位数；
（2）若该产品的售价x（元）与销量y（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组x与y的对应数据：
售价x（元） 25 30
38 45
52
销量y（万份） 7.5 7.1 6.0 5.6
4.8
根据表中数据算出y关于x的线性回归方程为10.ˆ0ˆybx，求ˆb的值；
（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为X，求X的分布列及期望.
【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.
试题解析：
（1）依题意，设中位数为x， 0.32.50.20.5x，解得0.28x.
（2）25303845521903855x， 7.57.16.05.64.8316.255y，
∴10.06.20.13ˆ8b.
