泛函分析知识总结汇总

偏微分方程与泛函分析知识点偏微分方程与泛函分析是数学中的两个重要分支，它们在应用科学、工程学和物理学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍偏微分方程与泛函分析的相关知识点。

一、偏微分方程的定义和分类偏微分方程是描述函数未知的各阶导数与自变量之间关系的方程。

与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数是多个变量的函数，因此需要使用偏导数来描述其性质。

偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型、双曲型和抛物型。

1. 椭圆型偏微分方程：椭圆型方程的典型例子是拉普拉斯方程，它在物理学中描述了稳定状态下的热传导和电势分布。

椭圆型方程的解具有良好的性质，包括连续性和可微性。

2. 双曲型偏微分方程：双曲型方程的典型例子是波动方程和传播方程。

双曲型方程描述了波的传播和振动现象，其解通常具有波动性和突变性。

3. 抛物型偏微分方程：抛物型方程的典型例子是热传导方程和扩散方程。

抛物型方程描述了随时间演化的过程，其解在空间和时间上具有平滑性。

二、泛函分析的基本概念和理论泛函分析是函数空间上的分析学，它研究了函数的极限、连续性、收敛性等性质。

泛函是将函数映射到实数或复数的映射，通常考虑无穷维空间中的泛函。

1. 函数空间：函数空间是指一组具有特定性质的函数集合。

常见的函数空间包括连续函数空间、可导函数空间和Lp空间等。

函数空间中的函数可以用序列或者级数进行逐点或均匀收敛。

2. 勒贝格空间和希尔伯特空间：勒贝格空间和希尔伯特空间是泛函分析中的重要概念。

勒贝格空间是指具有有界变差和有界测度性质的函数空间，而希尔伯特空间是指内积空间和完备度量空间的结合。

3. 线性算子和泛函：线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的映射。

泛函是将一个函数映射到实数或复数的线性算子。

线性算子和泛函在泛函分析中有着重要的应用和性质。

三、偏微分方程与泛函分析的关系偏微分方程的解通常可以通过泛函分析的方法进行研究和求解。

泛函分析提供了偏微分方程解的存在性、唯一性和稳定性等方面的理论基础。

泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。

2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。

3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。

4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。

5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。

6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。

7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。

重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。

难点 完备距离空间、 压缩映射原理。

(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。

2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。

3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。

二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。

2. 空间)1(≥p L p：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。

3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。

4. 有穷维赋范空间。

重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。

难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。

第一章 预备知识第一节 极限点和闭集一、极限点1、 定义：极限点：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 如果：对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O都有：∅≠-A x x O }){)((00ε，则称：A x =0的极限点2、 性质⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点⑵、证明：A x =0的内点0x ∃⇒的一个-*ε环境A x O ⊂*)(0ε，对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O①如果*εε≥：A x x O A x x O }){*)((}){)((0000-⊃-εε，，∅≠-=}{*)(00x x O ε，②如果*εε<：∅≠-=-}{)(}){)((0000x x O A x x O εε，，⑶、归纳：点=内点+边缘点+孤立点，极限点=内点+边缘点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0①、A x =0的极限点②、00x x x x A x n n n →≠∈∃，，③、∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，④、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑵、证明：②①⇒A x =0的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-A x x O }){)((00ε，⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0n x O ，，都有∅≠-A x nx O }){)1((00， A x nx O x n }){)1((00-∈∃⇒， A x x x nx O x n n n ∈≠∈∃⇒，，，00))1(( 在度量空间中，0lim 00=⇔→∞→），（x x x x n n n ρ 00x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⑶、证明：③②⇒00x x x x A x n n n →≠∈∃，，反证法：假设}{n x 含有有限多个不同的点00x x x n ∃⇒≠的一个-ε环境)(0ε，x O ，)(0ε，x O x n ∉【剔除有限个点】 但是⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈⇒矛盾}{n x ⇒含有无穷多个不同的点∃⇒各不相同的子点列}{k n x⑷、证明：④③⇒∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，对于0x 的任何一个环境)(0x O)(00x O x =⇒的内点0x ∃⇒的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂ε，⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ N ∃⇒，当N n >时，)()(00x O x O x n ⊂∈ε，)(0x O ⇒含有无穷多个n x )(0x O ⇒含有A 的无穷多个点【A x n ∈】⑸、证明：①④⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⇒0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的无穷多个点⇒}{)(00x x O -ε，，含有A 的无穷多个点∅≠-⇒A x x O }){)((00ε，二、闭集1、 基本概念⑴、定义：A A ='的导集A =的所有极限点 ⑵、定义：A A =的闭包'A A =⑶、定义：=A 闭集，如果A A ⊂'2、 分析⑴、=A 内点+边缘点+∈)(A 孤立点⑵、='A 内点+边缘点=内点+边缘点+∈)(A 边缘点)(A ∉ ⑶、=A 内点+边缘点+孤立点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 ①、A x ∈0②、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点③、0x x A x n n →∈∃，⑵、证明：②①⇒A x A A x A x ∈⇒∈⇒∈000' 或者'0A x ∈如果：⇒∈A x 0对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点 如果：A x A x =⇒∈00'的极限点⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑶、证明：③②⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0nx O ，，含有A 的点 )1(0nx O x A x n n ，，∈∈∃⇒ 0x x A x n n →∈∃⇒，⑷、证明：①③⇒0x x A x n n →∈∃，如果：A x A x ∈⇒∈00如果：000x x x x A x A x n n n →≠∈∃⇒∉，，A x =⇒0的极限点A x A x ∈⇒∈⇒00'4、 核心定理⑴、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00，⑵、证明：①必要性：反证法：假设A x ∉0000x x x x A x A x n n n →≠∈⇒∉，，A x =⇒0的极限点'0A x ∈⇒=A 闭集A A ⊂⇒'⇒∈⇒A x 0矛盾②充分性：反证法：假设≠A 闭集≠A 闭集A x A x A A ∉∈∃⇒⊄⇒，''A x A x =⇒∈'的极限点x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⇒⊂⇒A x 矛盾5、 性质 ⑴、性质：=A A ，'闭集⑵、证明：='A 闭集')''(00A x A x =⇒∈∀的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-'}){)((00A x x O ε， ')('}){)((0000A y x y x O y A x x O y ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，εε A y A y =⇒∈'的极限点⇒对于y 的任何一个-δ环境)(δ，y O ，∅≠-A y y O }){)((δ，构造))0()0(min(y x y x ，，，ρερδ-=y ⇒的-δ环境)(δ，y O 满足： ①：)()(0εδ，，x O y O ⊂②：)(0δ，y O x ∉③：∅≠-A y y O }){)((δ，A x y x y O x A y y O x ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，)(}){)((δδ ∅≠-⇒∈≠∈∃⇒A x x O A x x x x O x }){)(()(0000εε，，，，A x =⇒0的极限点=⇒⊂⇒∈⇒')''(''0A A A A x 闭集 ⑶、证明：=A 闭集：证明同上6、 性质⑴、性质：⊂A 闭集F A F ⊂⇒⑵、证明：①：首先证明：⊂A 闭集''F A F ⊂⇒A x A x =⇒∈∀'的极限点⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-A x x O }){)((ε，⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-F x x O }){)((ε， F x =⇒的极限点'''F A F x ⊂⇒∈⇒②：=F 闭集F F ⊂⇒'F A A F A A F A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒ ''⑶、推论：=A 包含A 的最小闭集⑷、证明：假设：=*A 包含A 的最小闭集=A 闭集，⇒⊂A A =A 包含A 的闭集A A ⊂⇒*【最小】=*A 包含A 的闭集=⇒*A 闭集，**A A A A ⊂⇒⊂【定理】 A A =⇒*7、 性质⑴、性质：=A 闭集A A =⇔⑵、证明：①必要性：=A 闭集A A A A A A A A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒ '' A A A A A ⊂⇒='A A =⇒ ②充分性：=⇒⊂⇒=⇒=A A A A A A A A '' 闭集8、 基本概念⑴、定义：如果：=R 赋范线性空间，R A =中的点集则称：==)()(A span A L 由A 张成的线性子空间A =中向量的所有可能的线性组合 ⑵、定义：==)()(A span A L 由A 张成的闭线性子空间第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 定义：共轭指标：如果：1>q p ，并且：111=+qp 则称：=q p ，一对共轭指标2、 引理 ⑴、公式：q p b qa p ab 11+≤ 其中：=q p ，一对共轭指标，1>b a ， ⑵、证明：1)1)(1(111=--⇒+=⇒=+q p q p pq qp 假设：1111---==⇒=q p p y yx x y q p b q a p b q a p dy y dx x ab 110101+=+≤⇒⎰⎰--3、 Holder 不等式 ⑴、公式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤其中：=q p ，一对共轭指标，)n 21(，，，， =∈k R y x k k 【实数点列】⑵、证明： ①：如果：0||1=∑=nk pkx或者0||1=∑=nk q k y 0=⇒k x 或者⇒=0k y 结论成立②：否则：令qnk q k k k pn k p k k k y y b x x a 1111)||(||)||(||∑∑====，∑∑∑∑====+=+=⇒nk q k qk n k p k p k q k p k qn k q k p n k p k k k k k y y qx x p b q a p y x y x b a 111111||||1||||111)||()||(||， ∑∑∑∑====+≤⇒nk q k qk n k p k p k q n k q k p n k p k k k y y q x x p y x y x 111111||||1||||1)||()||(||111||||1||||1)||()||(||111111111=+=+≤⇒∑∑∑∑∑∑∑=======qp yy qx x py x yx nk qknk qkn k pk nk pkqnk q k pnk p k nk kkqnk q k pnk pk n k k k y x y x 11111)||()||(||∑∑∑===≤⇒4、 Minkowski 不等式 ⑴、公式：pnk pk pnk pk pnk pk ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+其中：1>p ，)n 21(，，，， =∈k R y x k k⑵、证明：令p q =的共轭指标∑∑∑∑=-=-=-=+++≤++=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111||||||||||||||qnk q k pnk p k nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤qnk p k k pnk pk qnk p q k k pnk pk nk p k k k y x x y x x y x x 111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+⇒qnk p k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k k ky x y y x y y x y111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+qnk p k k pnk p k qnk p k k pnk p k nk pk k y x y y x x y x 111111111)||()||()||()||(||∑∑∑∑∑=====+++≤+⇒pnk p k pnk p k qn k p k k nk pk ky x y x y x1111111)||()||()||(||∑∑∑∑====+≤++⇒pnk pk pnk pk pnk pk k y x y x 111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+⇒5、 积分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式⑴、Holder 不等式qbaq pbapb adx x g dx x f dx x g x f 11)|)(|()|)(|(|)()(|⎰⎰⎰≤⑵、Minkowski 不等式pbap pbap bapp dx x g dx x f dx x g x f 111)|)(|()|)(|()|)()(|(⎰⎰⎰+≤+第三节 ][b a L p，和pl一、定义1、 定义：}|)(||)({][+∞<=⎰bappdx x f x f b a L ，2、 定义：}|||{1+∞<=∑+∞=n p nn pxx l二、线性空间1、 性质：=][b a L p，线性空间⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘②：两种运算保持封闭 ③：满足8条规则⑵、证明：加法封闭：][)()(][)()(b a L x g x f b a L x g x f pp，，，∈+⇒∈∀⎰⎰≤+bap bap dx x g x f dx x g x f |)])(|)(m ax (|2[|)()(|，⎰⎰+≤=bap ppba p pdx x g x f dx x g x f ]|)(||)([|2|)])(|)([m ax (|2，+∞≤+≤⎰⎰b ap p b ap p dx x g dx x f |)(|2|)(|22、 性质：=pl 线性空间⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘 ⑵、证明：同上三、赋范线性空间1、 性质：=][b a L p，赋范线性空间⑴、定义：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、证明：满足范数的3条性质①：齐次性：p pbappbapp f dx x f dx x f f ||||*||)|)(|(||)|)(|(||||11αααα===⎰⎰②：三角不等式：p p p g f g f ||||||||||||+=+【Minkowski 不等式】③：正定性：0)|)(|||||1≥=⎰pbapp dx x f f0)(0)|)(|(0||||1=⇔=⇔=⎰x f dx x f f pb ap p2、 性质：=pl 赋范线性空间 ⑴、定义：pn p nn xx 11)||(||||∑∞+==⑵、证明：同上四、Banach 空间1、性质：=ppl b a L 、，][Banach 空间 2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert 空间1、 性质：=][2b a L ，Hilbert 线性空间 ⑴、定义：⎰>=<ba dx x g x f x g x f )()()()(，⑵、证明：满足内积的3条性质 ①：共轭对称性：><==>=<⎰⎰)()()()()()()()(x f x g dx x f x g dx x g x f x g x f baba，，②：第一变元的线性：⎰+>=+<badx x z x g x f x z x g x f )()]()([)()()(βαβα，⎰⎰+=babadx x z x g dx x z x f )()()()(ββα><+><=)()()()(x z x g x z x f ，，βα③：正定性：0|)(|)()()()(2≥=>=<⎰⎰babadx x f dx x f x f x f x f ，0)(0|)(|0)()(2=⇔=⇔>=<⎰x f dx x f x f x f ba，2、 性质：=2l Hilbert 线性空间 ⑴、定义：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，⑵、证明：同上3、 性质：)2(][≠p l b a L pp 、，不是Hilbert 空间第二章 Hilbert 空间第一节 极限和连续性1、 度量空间⑴、定义：0)(lim 00=⇔→→∞x x x x n n n ，ρ⑵、性质：距离)(y x ，ρ的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，ρρ=⇒→→∞→2、 赋范线性空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n⑵、性质：范数||||x 的连续性：||||lim ||||lim 00x x x x n n n n ∞→∞→=⇒→3、 内积空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n 【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】⑵、性质：内积)(y x ，的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，=⇒→→→∞第二节 投影定理一、正交和投影1、 基本概念⑴、定义：0)(=⇔⊥y x y x ，⑵、定义：⇔⊥M x 对于0)(=∈∀y x M y ，，⑶、定义：⇔⊥N M 对于0)(=∈∀∈∀y x N y M x ，，， ⑷、定义：=⊥M 所有与M 正交的向量2、 基本性质：M x M x ⊥⇔∈⊥3、 性质⑴、性质：x y y x ⊥⇒⊥⑵、证明：x y x y y x y x ⊥⇒=⇒=⇒⊥0)(0)(，，⑶、性质：0=⇒⊥x H x⑷、证明：00)(=⇒=⇒∈⊥x x x H x H x ，，⑸、性质：⊥⊥⊂⇒⊂M N N M⑹、证明：⇒⊥⇒∈∀⊥N x N x 对于0)(=∈∀y x N y ，，⇒⊂N M 对于⊥∈⇒⊥⇒=∈∀M x M x y x M y 0)(，，⑺、性质：{0}=⊥MM⑻、证明：00)(=⇒=⇒∈∈⇒∈∀⊥⊥x x x M x M x M M x ，，⑼、性质：勾股定理：222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥⑽、证明：)()()()()(||||2y y x y y x x x y x y x y x ，，，，，+++=++=+ 0)(0)(==⇒⊥x y y x y x ，，，222||||||||)()(||||y x y y x x y x +=+=+⇒，，4、 正交补定理⑴、定理：⊂M 内积空间H H M =⇒⊥的闭线性子空间⑵、证明：①：=⊥M 线性子空间 两种运算封闭：⊥⊥∈+⇒∈∀M y x M y x ，0)(=⇒∈∈∀⊥z x Mx M z ，，0)(=⇒∈⊥z y M y ，⊥∈+⇒⊥+⇒⊥+⇒=+⇒M y x M y x z y x z y x 0)(，②：=⊥M 闭集假设：0x x M x n n →∈∀⊥，⇒⊥⇒∈∀⊥M x M x n n 对于0)(=∈∀y x M y n ，，根据内积的连续性0)()(lim 0==⇒∞→y x y x n n ，，=⇒∈⇒⊥⇒⊥⇒⊥⊥M M x M x y x 000闭集⑶、推论：⊂M 内积空间H ⊥⊥=⇒M M span )( ⑷、证明：①：⊥⊥⊂⇒⊂M M span M span M )()(②：⊥⊥⊥⊂⇒⊂⇒∈∀}{}{x M M x Mx⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 线性子空间，线性运算封闭】⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 闭集，最小闭集】⊥⊥⊥⊥⊂⇒∈⇒⊂⇒)()()(}{M span M M span x M span x5、 投影⑴、定义：投影：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：对于H x ∈，存在：⊥∈∈M x M x 10，使得：10x x x +=， 则称：x x =0在M 上的投影⑵、关键：投影投在线性子空间⑶、性质：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一⑸、证明：假设：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，x x ='0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x ''00，=M 线性子空间M x x ∈-⇒'00=⊥M 闭线性子空间⊥⊥∈-⇒∈---⇒M x x M x x x x ')'()(0000'0)''(000000x x x x x x =⇒=--⇒，6、 最佳逼近⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 如果：H x ∈，x x =0在M 上的投影 那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈并且：M x =0上使等式成立的唯一向量⑵、思想：①：利用M 上的变元y ，来逼近H 中的x②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影⑶、证明：①x x =0在M 上的投影M x x M x ⊥-∈⇒00， y x x x M y x M x M y -⊥-⇒∈-⇒∈∈∀0000，2020200||||||||||||y x x x y x x x -+-=-+-⇒【勾股定理】 20202||||||||||||y x x x y x -+-=-⇒||||||||inf ||||||||||||||||00202x x y x x x y x x x y x My -≥-⇒-≥-⇒-≥-⇒∈②唯一性：假设：M y =0上使等式成立的向量 ||||||||00x x y x -=-⇒0020020200||||||||||||x y y x x x y x =⇒=-⇒-=-⇒二、投影定理1、 变分引理【极值可达】⑴、定义：x 到M 的距离||||inf )(y x M x d d My -===∈，⑵、性质：完备⇔闭集，线性子空间⇒凸集⑶、定理：假设：=M 内积空间H 的完备凸集如果：H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷、关键：①：x 到M 的距离②：完备凸集则极值可达⑸、证明：①：点列||||inf y x d My -=∈⇒存在点列M x n ⊂}{，d x x n n =-∞→||||lim②：基本点列平行四边形公式：2222||||2||||2||||||||y x y x y x +=-++2222||2||2||2||2||||||||x x x x x x x x x x x x n m n m n m +--+-+-=-+-⇒2222||2||2||2||2||||||||n m n m n m x x x x x x x x x -+-+=-+-⇒2222||2||2||||||||||2||2x x x x x x x x x nm n m n m -+--+-=-⇒=M 凸集d x x x M x x nm n m ≥+-⇒∈+⇒||2||222222||||||||||2||2d x x x x x x n m n m --+-≤-⇒22222||||lim ||||lim ||2||2lim 0d x x x x x x n m n m m n n m m n --+-≤-≤⇒∞→∞→∞→，，，⇒=-⇒∞→0||||lim 2n m m n x x ，=}{n x 基本点列③：收敛点列=M 完备=⇒}{n x 收敛点列0x x n →⇒④：存在性=M 完备⇒=M 闭集，M x n ∈，M x x x n ∈⇒→00根据范数的连续性d x x x x n n =-=-⇒∞→||||||||lim 0⑤：唯一性假设存在M y ∈0，使得d y x =-||||0构造点列：}{}{0000 ，，，，y x y x z n = =⇒=-⇒=-⇒∞→}{||||lim ||||n n n n z d z x d z x 基本点列【证明同上】0||||lim 0||||lim 0||||lim 001=-⇒=-⇒=-⇒∞→+∞→∞→y x z z z z n n n n m n m n ，00000||||x y y x =⇒=-⇒2、 投影引理⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 H x ∈，M x ∈0 如果：d x x =-||||0 那么：M x x ⊥-0 ⑵、思想：极值可达点正交⑶、证明：⇒∈≠∀M z 0对于λ∀，M z x ∈+λ0220220||||||)(||d z x x d z x x ≥--⇒≥+-⇒λλ )(||||0020z x x z x x z x x λλλ----=--，22020||||||)}(Re{2||||z z x x x x λλ+---=， 令2020||||)(||||)(z z x x z z x x ，，-=⇒-=λλ 2202002020||||||||)(||||)()(||||)(2||||z z z x x z z x x z x x z z x x x x ，，，，--+----⇒ 22020||||||)(||||||z z x x x x ，---= 0||||||)(||||||||)(||||||220222020=-⇒≥---⇒z z x x d z z x x x x ，， M x x z x x z x x ⊥-⇒⊥-⇒=-⇒0000)(，3、 投影定理⑴、定理：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：对于H x ∈∀存在：M x M x ⊥∈10，，使得：10x x x +=⑵、思想：任意向量x 在M 上的投影，存在并且唯一⑶、证明：①存在性：变分引理M x ∈∃⇒0，使得d x x =-||||0 投影引理M x x ⊥-⇒0 构造01x x x -=M x ⊥⇒1②唯一性：参见变分引理4、 推论⑴、推论：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：⊥⇒≠M H M 含有非零元素 ⑵、证明：M x H x M H x H M ∉∈∃⇒-∈∃⇒≠，投影定理⇒投影存在⇒假设x x =0在M 上的投影⊥∈-⇒M x x 0000≠-⇒∈∉⇒x x M x M x ，第三节 就范正交系一、级数1、 基本概念 ⑴、定义：级数：∑∞=++++=121i i iu u u u⑵、定义：部分和：∑==ni in us 1【将级数转换为数列】⑶、定义：收敛级数：如果s s n n =∞→lim ，则称∑∞=1i iu收敛2、 基本性质 ⑴、性质：∑∞=1i iu收敛s s u un n ni i n i i===⇒∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11⑵、性质：∑∞=1i iu收敛0lim =⇒∞→i n u 【1--=i i i s s u 】⑶、性质：Cauchy 收敛原理∑∞=1i iu收敛⇔对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<∑=||mni iu二、有限正交系1、 基本概念⑴、定义：正交系：假设：=F 内积空间H 的一族非零向量 如果：对于F y x ∈∀，，都有：0)(=y x ， 则称：=F 正交系⑵、定义：就范正交系：如果：=F 正交系并且：对于F x ∈∀，都有：1||||=x 则称：=F 就范正交系2、 基本性质⑴、性质：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，那么：)()(0i i e x e x ，，=⑵、证明：)())(())(())(((10iiiiiiinj ijji e x e e e x e e e x e e e x e x ，，，，，，，），====∑=3、 定理⑴、定理：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=⑵、证明：①：M x ∈0②：∑==⇒∈⇒∈∀ni i i n e y e e e span y M y 121}{α，，，0)()()(10100=-=-=-⇒∑∑==ni i i ni i i e x x e x x y x x ，，，ααM x x y x x ⊥-⇒⊥-⇒00x x =⇒0在M 上的投影 ③：))(()(||||100020∑===ni i i e e x x x x x ，，，21110|)(|)()()()(∑∑∑======ni i ni i i ni i i e x e x e x e x e x ，，，，，④：0000x x x M x x M x ⊥-⇒⊥-∈，【勾股定理】20202002||||||||||||||||x x x x x x x -+=-+=⇒4、 推论⑴、性质：如果：=}{21n e e e ，，， 就范正交系，H x ∈ 那么：∑=≥ni i e x x 122|)(|||||， ⑵、证明：∑==≥⇒-+=ni ie x x x x x x x 1220220202|)(|||||||||||||||||||||，⑶、性质：如果：=}{21n e e e ，，， 就范正交系，H x ∈ 那么：对于i α∀，||)(||||||11∑∑==-≥-ni iin i ii e e x x e x ，α⑷、证明：假设：∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = x x =⇒0在M 上的投影假设：M y ey ni ii ∈⇒=∑=1α根据最佳逼近定理||||||||inf 0x x y x My -=-⇒∈||||||||0x x y x -≥-⇒||)(||||||11∑∑==-≥-⇒ni i i n i i i e e x x e x ，α三、无限正交系1、 Bessel （贝塞尔）不等式⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵、证明：=∈}|{N i e i 就范正交系⇒对于n ∀，=}{21n e e e ，，， 就范正交系 ∑=≥⇒ni i e x x 122|)(|||||，【单调递增，必有极限】∑∑∞==∞→≥⇒≥⇒122122|)(||||||)(|lim ||||i i n i i n e x x e x x ，，2、 性质⑴、性质：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，0)(lim =∞→i i e x ，⑵、证明：对于H x ∈∀，⇒≥∑∞=122|)(|||||i ie x x ，∑∞=12|)(|i i e x ，收敛0)(lim 0|)(|lim 2=⇒=⇒∞→∞→i i i i e x e x ，，四、完备正交系1、 定义：完备正交系：假设：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 如果：对于H x ∈∀，都有：∑∞==122|)(|||||i ie x x ，则称：=∈}|{N i e i 完备正交系2、 性质 ⑴、性质：∑∞=1i i i e α收敛y s e en n ni i i n i ii ===⇔∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11αα⑵、性质：=⇒∞<∑∑=∞=}{||112ni i i i ie αα基本点列⑶、证明：假设：∑==ni ii n es 1α||||||||1∑+==-⇒mn i i i n m e s s α2111212||)(||||||||∑∑∑∑+=+=+=+====-⇒mn i imn i i i mn i i i mn i ii n m e e e s s αααα，=⇒∞<∑∑∞=∞=1212||||i i i iαα收敛级数=⇒∑=}||{12ni i α基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，εα<∑+=||||12mn i i⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<-||||||2n m s s=⇒}{n s 基本点列3、 定义：傅里叶级数：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，H x ∈ 则称：==∑∞=1)(i iiee x x ，傅里叶级数4、 定义：=∈}|{N i e span i 由}|{N i e i ∈张成的线性子空间}|{N i e i ∈=的所有可能的有限个向量的线性组合5、 等价定理⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，}|{N i e span E i ∈= 那么：①E x ∈；②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，；③∑∞==1)(i iie e x x ，⑵、证明：②①⇒反证法：假设：∑∞=≠122|)(|||||i ie x x ，E x ∈∃⇒，)0(0|)(|||||2122>>=-∑∞=ααi i e x x ， x x N i e span x N i e span x E x n i n i →∈∈∃⇒∈∈⇒∈，}|{}|{∑==⇒∈∈ni i i n i n e x N i e span x 1}|{α0||||lim 2=-⇒→∞→x x x x n n n⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，ε<-||||x x n⇒对于00>∃>N ，α，当N n >时，α<-||||x x n212122||)(||||||||||||||∑∑==-≥-=->⇒<-ni i i ni i i n n e e x x e x x x x x ，ααα⇒=-≥-=∑∑∞==2212212|)(||||||)(|||||αi i ni i e x x e x x ，，矛盾③②⇒ 21221|)(|||||||)(||∑∑==-=-ni i ni iie x x e e x x ，，]|)(|||[||lim ||)(||lim 21221∑∑=∞→=∞→-=-⇒ni i n ni i i n e x x e e x x ，，212121||)(||||)(lim ||||)(||lim ∑∑∑∞==∞→=∞→-=-=-i i i n i i i n ni iin e e x x e e x x e e x x ，，，0|)(|||||]|)(|||[||lim 212212=-=-=∑∑∞==∞→i i ni i n e x x e x x ，，∑∑∞=∞==⇒=-⇒121)(0||)(||i i i i iie e x x e e x x ，，①③⇒假设：∑==ni iin e e x x 1)(，n n ni i i n i i i x e e x e e x x ∞→=∞→∞====⇒∑∑lim )(lim )(11，，=⇒E 闭集，E x x x E x n n ∈⇒→∈，第四节 Banach 空间的共轭算子一、)(Y X →和)(Y X B →1、 )(Y X →⑴、定义：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中：=Y X 、线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑶、证明：①：定义加法：)()())((x B x A x B A +=+ 定义数乘：)())((x A x A αα=②：两种运算封闭：)()())((y x B y x A y x B A βαβαβα+++=++)()()()()()()()(y B x B y A x A y B x B y A x A βαβαβαβα+++=+++= ))(())(()()()()(y B A x B A y B y A x B x A +++=+++=βαββαα2、 )(Y X B →⑴、定义：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中：=Y X 、赋范线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、证明：①：定义算子范数：||||||||sup||||0x Tx T x ≠= ②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间 ⑵、证明：①：假设：)(}{Y X B T n →=的基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε≤-||||m n T T⇒对于00>∃>∀∈∀N X x ，，ε，当N m n >，时，||||||||*||||||)(||||||x x T T x T T x T x T m n m n m n ε<-≤-=-【=n T 有界】 =⇒}{x T n 基本点列【固定x 】=⇒}{x T n 收敛点列【=Y 完备】②：定义：算子T ：x T Tx n n ∞→=limY X T →=的算子：=Y 闭集，Y Tx Tx x T Y x T n n ∈⇒→∈，Y X T →=的线性算子：21212121lim lim )(lim )(Tx Tx x T x T x x T x x T n n n n n n +=+=+=+∞→∞→∞→Y X T →=的有界线性算子：||||||||||||||||lim ||||||||x Tx x T x x T x T x x T x T n m n m m n εεε<-⇒<-⇒<-∞→)()()(Y X B T Y X B T Y X B T T n n →∈⇒→∈→∈-⇒，③：εεε<-=-⇒<-⇒<-≠||||||||sup ||||||||||||||||||||0x Tx x T T T x Tx x T x Tx x T n x n n n=⇒→⇒=-⇒∞→n n n n T T T T T 0||||lim 收敛点列二、共轭空间1、 共轭空间⑴、定义：如果：=X 赋范线性空间，X X =*上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)*(，；；的共轭空间⑵、性质：=•+)*(，；；P X 赋范线性空间【实数域=赋范线性空间】2、 二次共轭空间⑴、定义：如果：=*X 赋范线性空间，***X X =上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)**(，；；的二次共轭空间⑵、性质：=•+)**(，；；P X 赋范线性空间3、 基本概念⑴、定义：**x ：)()*(*x f f x =其中：***X x =上的泛函，X x X f ∈∈，*⑵、定义：保范算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，Y X U →=的算子 如果：对于X x ∈∀，都有：||||||||x Ux = 则称：Y X U →=的保范算子4、 基本性质⑴、性质：***X x =上的线性泛函⑵、证明：))(()*(*22112211x f k f k f k f k x +=+)*(*)*(*)()(22112211f x k f x k x f k x f k +=+=⑶、性质：***X x =上的有界泛函 ⑷、证明：||||*||||||)(||||)*(*||x f x f f x ≤=⑸、性质：||||||**||x x ≤⑹、证明：||||||||||)*(*||sup ||**||||||||||||)*(*||||||*||||||)*(*||0x f f x x x f f x x f f x f ≤=⇒≤⇒≤≠⑺、性质：***X x =上的保范线性算子 ⑻、证明：未能证明三、共轭算子1、 定义：共轭算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，)(Y X B A →∈ 如果：存在***X Y A →=使得：对于*Y h X x ∈∀∈∀，，都有：)())(*(Ax h x h A = 则称：A A =*的共轭算子2、 共轭定理⑴、定理：如果：=Y X ，赋范线性空间那么：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一 ⑵、证明：①定义：对于*Y h A x ∈∀∈∀，定义X Ax h x A =→=)('上的泛函)()('Ax h x A =⇒②线性：)]()([)]([)('212121x A x A h x x A h x x A +=+=+)(')(')]([)]([2121x A x A x A h x A h +=+=③有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)('||x A h Ax h Ax h x A ≤≤= ④存在：='A 有界线性泛函*'X A ∈⇒定义**'*X Y A h A →=→=的算子'*A h A =⇒)())(*()()(''*Ax h x h A Ax h x A A h A =⇒==，⑤唯一：假设：)())(()())((*2*1Ax h x h A Ax h x h A ==，))(())((*2*1x h A x h A =⇒【*Y h A x ∈∀∈∀，】*2*1*2*1A A h A h A =⇒=⇒第五节 Hilbert 空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，X F =上的线性泛函那么：=F 连续F ⇔的零空间===}0)(|{x F x M 闭线性子空间 ⑵、证明：①必要性：假设：x x M x n n →∈∀，=→F x x n ，连续)()(x F x F n →⇒=⇒∈⇒==⇒∞→M M x x F x F n n 0)(lim )(闭集②充分性：反证法：≠F 有界∞=⇒=|)(|sup 1||||x F x⇒存在点列}{n x ，n x F x n n ≥=|)(|1||||， ⇒构造点列}{n y ，M y y F x F xx F x y n n n n n ∈⇒=⇒-=0)()()(11 )()()()(1111n nn n n n x F x x F x y x F x x F x y =+⇒-=|)(|1||)(||||)(||11n n n n x F x F x x F x y ==+⇒ )(0|)(|1lim ||)(||lim 1111x F xy x F x F x y n n n n n -→⇒==+⇒∞→∞→ =M 闭集，M x F xx F x y M y n n ∈-⇒-→∈)()(1111， 但是⇒∉≠-=-M x F x F 01))((11矛盾2、 性质⑴、性质：如果：)()(y x x F y ，=【固定H x H y ∈∀∈，】 那么：=y F 由y 导出的有界线性泛函 并且：||||||||y F y =⑵、证明：①线性：)()(22112211y x k x k x k x k F y ，+=+)()()()(22112211x F k x F k y x k y x k y y +=+=，，②有界：||||*||||||)(||||)(||y x y x x F y ≤=，【固定H y ∈】 ③公式：||||||||)(sup||||||||)(||||*||||||)(||0y x x F F y x x F y x x F y x y y y ≤=⇒≤⇒≤≠||||||||)(||||)()()()(2y y y F y y y y F y x x F y y y =⇒==⇒=，，||||||||y F y =⇒3、 Riesz 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，H F =上的连续线性泛函 那么：存在唯一的H y ∈使得：对于H x ∈∀，都有：)()(y x x F ，= 并且：||||||||y F =⑵、证明：①存在性：假设：}0)(|{==x F x M00=⇒=y FM x H x x F H x F ∉∈∃⇒≠∈∃⇒≠，，0)(0⊥⇒≠⇒M H M 含有非零元素⊥∈≠∃⇒M z z ，0 0)(}0{≠⇒∉⇒=⊥z F M z M M⇒对于M z z F x F x z z F x F x F H x ∈-⇒=-∈∀)()(0))()((， 2||||)()()()()()(0))()((z z F x F z z z F x F z x z z z F x F x ==⇒=-⇒，，， z z z F y z z z F x z x z z F x F 222||||)()||||)(()(||||)()(=⇒==⇒，， ②唯一性：假设：H y ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(y x x F ，=H z ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(z x x F ，=⇒对于H x ∈∀，z y z y x =⇒=-0)(，否则⇒≠--⇒≠-⇒≠0)(0z y z y z y z y ，矛盾二、共轭算子1、 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间，)(G H B A →∈ 那么：存在唯一的)(H G B B →∈使得：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)()(By x y Ax ，，= ⑵、证明：①定义：)()(y Ax x y ，=ϕ【固定H x G y ∈∀∈，】线性：)()()()())(()(21212121x x y Ax y Ax y x x A x x y y y ϕϕϕ+=+=+=+，，， 有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)(||y x A y Ax y Ax x y ≤≤=，ϕ ||||*||||||||||)(||sup||||||||*||||||||||)(||0y A x x y A x x y x y y ≤=⇒≤⇒≠ϕϕϕH y Ax x y ==⇒)()(，ϕ上的有界线性泛函⇒根据Riesz 定理：存在唯一的H z ∈，使得)()()(z x y Ax x y ，，==ϕ，并且||||||||z y =ϕ②定义：H G z y B →=→=的算子z By =⇒【给定一个y ，得到一个z 】 线性：))(()(2121y y B x y y Ax +=+，，)()()()()()(21212121By By x By x By x y Ax y Ax y y Ax +=+=+=+，，，，，，⇒对于H x ∈∀，21212121)(0))((By By y y B By By y y B x +=+⇒=--+，有界：||||*||||||||||||||||||||||||y A z z By z By y y ≤==⇒=ϕϕ，，||||||||||||sup ||||||||||||||||||||*||||||||0A y By B A y By y A By y ≤=⇒≤⇒≤⇒≠③唯一：假设：)()()()(21y B x y Ax y B x y Ax ，，，，，==2121210)(0))((B B y B B y B B x =⇒=-⇒=-⇒，【G y H x ∈∀∈∀，】2、 共轭算子⑴、定义：假设：=G H ，内积空间，)(*)(H G B A G H B A →∈→∈， 如果：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)*()(y A x y Ax ，，= 则称：A A =*的共轭算子（伴随算子）⑵、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间那么：对于)(G H B A →∈∀，存在唯一的)(*H G B A →∈3、 Banach 空间与Hilbert 空间中的共轭算子⑴、性质：在Banach 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑵、证明：)())(*(Ax h x h A =)()()))((())(*)((Bx h Ax h x B A h x h B A βαβαβα+=+=+⇒))(*)*(())(**())(*())(*(x h B A x h B h A x h B x h A βαβαβα+=+=+=⑶、性质：在Hilbert 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑷、证明：)*()(y A x y Ax ，，=)()())(()*)((y Bx y Ax y x B A y B A x ，，，，βαβαβα+=+=+⇒ )*)*(()**()*()*(y B A x y B y A x y B x y A x βαβαβα+=+=+=，，，，4、 性质：假设：=K H ，Hilbert 空间，=G 内积空间 )()(H K B C G H B B A →∈→∈，， ⑴、性质：A A =*)*(⑵、证明：A A Ax y x y A y A x y Ax **)()()*()*()(⇒=⇒=，，，，⑶、性质：||||*||||||||B A AB ≤⑷、证明：||||*||||*||||||||*||||||||x B A Bx A ABx ≤≤||||*||||||||||||sup ||||||||*||||||||||||0B A x ABx AB B A x ABx x ≤=⇒≤⇒≠⑸、性质：)*()(y A Cx y ACx ，，=⑹、证明：)*()()*()(y A Cx y ACx Cx z y A z y Az ，，，，，=⇒==⑺、性质：||*||||||||*||22A A A A ==⑻、证明：①：根据共轭定理：||||||*||||||||||A A A B ≤⇒≤||*||||||||*|||*)*(||||||A A A A A =⇒≤=⇒②：2||||||*||*||||||*||A A A AA =≤对于)*()(||||1||||2x Ax A Ax Ax Ax x H x ，，，==⇒=∈∀ ||*||||||*||*||||*||||||*||*||||||2A A x A A Ax A x Ax A Ax =≤=≤⇒||*||||||sup ||||21||||2A A Ax A x ≤=⇒=复习和重点归纳第一章 预备知识第一节 极限点和闭集1、 极限点⑴、定义：A x =0的极限点∅≠-⇔A x x O }){)((00ε， ⑵、定理：A x =0的极限点00x x x x A x n n n →≠∈∃⇔，，2、 闭集⑴、定义：导集'A 、闭包A 、=A 闭集⑵、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00， ⑶、性质：①：=A A ，'闭集 ②：=A 包含A 的最小闭集 ③：=A 闭集A A =⇔3、 定义：)()(A span A L =，)()(A span A L =第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 Holder 不等式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤2、 Minkowski 不等式：pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+第三节 ][b a L p，和pl1、 =ppl b a L ，，][赋范线性空间⑴、定义范数：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、定义范数：pn pnn xx 11)||(||||∑∞+==2、 =22][l b a L ，，Hilbert 空间 ⑴、定义内积：⎰>=<badx x g x f x g x f )()()()(，⑵、定义内积：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，第二章 Hilbert 空间一、投影定理1、 归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间2、 正交：⑴：定义：①y x ⊥②M x ⊥③N M ⊥④⊥M⑵：性质：①M x Mx ⊥⇔∈⊥②⊥⊥⊂⇒⊂M N N M③勾股定理④0=⊥MM⑶：正交补定理①=⊥M 闭线性子空间②⊥⊥=M M span )(3、投影：⑴：投影的定义和性质⑵：最佳逼近：如果：=M 线性子空间，H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈⑶：变分引理：如果：=M 完备凸集，H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷：投影引理：如果：=M 线性子空间，M x H x ∈∈0， 那么：M x x d x x ⊥-⇒=-00|||| ⑸：投影定理：如果：=M 完备线性子空间，H x ∈∀那么：⊥∈∃∈∃M x M x 10，，使得10x x x +=，分解式唯一 ⑹：推论：⊥⇒≠M H M 含有非零元素二、就范正交系1、 基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系2、 有限正交系：定理：假设：=}{21n e e e ，，， 内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，， = 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=3、 无限正交系：⑴：Bessel 不等式：∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵：等价定理：①E x ∈②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，③∑∞==1)(i iie e x x ，三、Banach 空间的共轭算子1、 )(Y X →和)(Y X B →⑴、性质：如果：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中=Y X 、线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑵、性质：如果：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中=Y X 、赋范线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、性质：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间2、 二次共轭空间⑴、概念：共轭空间⇒二次共轭空间⇒⇒**x 保范算子⑵、性质：***X x =上的连续有界泛函***||||||**||X x x x =⇒≤⇒上保范线性算子3、 共轭算子⑴、概念：共轭算子⑵、定理：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一。

数学中的微积分与泛函分析1.极限：函数在某一点的极限值，极限的性质与运算法则，无穷小与无穷大，极限存在与不存在的判定方法。

2.导数：导数的定义，导数的性质与运算法则，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导，导数在实际问题中的应用。

3.积分：积分的定义，积分的基本性质与运算法则，不定积分与定积分的计算，换元积分，分部积分，定积分的应用。

4.微分方程：微分方程的定义，微分方程的解法，常微分方程与偏微分方程，微分方程在实际问题中的应用。

二、泛函分析1.赋范线性空间：赋范线性空间的定义，基本性质与运算法则，范数的等价条件，赋范线性空间的对偶空间。

2.内积空间：内积空间的定义，内积的性质与运算法则，正交基，正交分解，内积空间的对偶空间。

3.希尔伯特空间：希尔伯特空间的定义，希尔伯特空间的基本性质，正交补，格伦平均定理，希尔伯特空间的对偶空间。

4.巴拿赫空间：巴拿赫空间的定义，巴拿赫空间的基本性质，巴拿赫空间的对偶空间，巴拿赫空间的应用。

5.泛函极限与连续性：泛函极限的定义，泛函极限的性质与运算法则，泛函的连续性，连续泛函的性质与运算法则。

6.赋范线性空间中的算子：算子的定义，算子的性质与运算法则，算子的谱，算子的本征值与本征向量，算子的扩张与降维。

7.泛函方程：泛函方程的定义，泛函方程的解法，抽象泛函方程，变分法，泛函方程在实际问题中的应用。

8.泛函分析在其他学科中的应用：泛函分析在数学物理中的作用，泛函分析在计算机科学中的应用，泛函分析在经济学、生物学等其他学科中的应用。

习题及方法：一、微积分习题1.极限习题：求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x趋近于1时的极限值。

答案：当x趋近于1时，分子x^2 - 1趋近于0，分母x - 1趋近于0，所以f(x)的极限值为1。

2.导数习题：求函数f(x) = x^3的导数。

答案：f’(x) = 3x^2。

3.积分习题：计算不定积分I = ∫(1/x)dx。