2019届【北师大版】必修一数学：1.3.2《全集与补集问题》导学案(含答案)
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2019届北师大版数学精品资料
1.3.2 全集与补集
问题导学
一、求补集的简单运算
活动与探究1
设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为______．迁移与应用
1．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝______.
2．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}，∁U A＝{5}．求实数a和b的值．
1．求补集的两个步骤
(1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U.
(2)借助补集定义：利用∁U A＝{x|x∈U，且x A}求A的补集．
2．求集合的补集时，如果集合中元素个数较少，用列举法给出，则可直接利用补集的定义，分析元素的构成，求得补集；如果集合是无限集，特别是用不等式表示的集合，则通常要借助数轴分析元素的构成，求出补集．
二、交、并、补的综合运算
活动与探究2
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.
迁移与应用
1．设全集为R，A＝{x|4≤x＜5}，B＝{x|3＜x＜9}，则∁R(A∪B)＝__________，(∁R A)∩B ＝__________.
2．集合S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(∁S B)∩A＝{1,2,3}，(∁S A)∩(∁S B)＝{6,7,8}，求集合A和B.
集合交、并、补运算的方法
三、已知集合的交集、并集、补集求参数问题
活动与探究3
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )．
A．a≤2 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
迁移与应用
1．已知全集U＝R，A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x＜m}，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m 的取值范围．
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|－m＜x＜－m＋2}，若B⊆∁U A，则实数m的取值范围是__________．
已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时，可借助数轴，根据集合间的关系求解，具体操作时，要注意端点值的“取”与“不取”．
另外，还要注意分类讨论思想的应用．
当堂检测
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝( )．
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．∅
2．已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，则∁U A＝( )．
A．{x|x是钝角三角形}
B．{x|x是直角三角形}
C．{x|x是钝角三角形或锐角三角形}
D．{x|x是钝角三角形或直角三角形}
3．集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁U T)等于( )．A．{1,4,5,6} B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
4．已知A＝{x|x≤1，或x＞3}，B＝{x|x＞2}，则(∁R A)∪B＝__________.
5．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a的值．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．给定集合给定的集合U
预习交流1 提示：不一定，全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定．例如，我们要分别统计A班男同学和女同学的数学成绩，A班的全体同学的数学成绩便是一个全集．同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集．
2．(1)U中所有不属于A的元素∁U A∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} (2)①U②∅
预习交流2 提示：正确．由补集的定义知，A与∁U A没有公共元素，且A的元素与∁U A 的元素组成了全集U.
预习交流3 提示：由补集的定义可知：∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：本题中集合用列举法给出，元素个数较少，可利用补集的定
义求解．
2或8 解析：∵∁U A ＝{5,7}，∴5∉A,7∉A .
又∵A ＝{1，|a －5|,9}，
∴|a －5|＝3，
解得a ＝2或8.
迁移与应用 1.{x |0＜x ＜1} 解析：全集U ＝R ，画出数轴由补集的定义可知∁U A ＝{x |0＜x ＜1}．
2．解：∵∁U A ＝{5}，∴5∈U,5∉A ，且A ⊆U .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a 2＋2a －3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3，a ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3.
活动与探究2 思路分析：由于U ，A ，B 均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．
解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如下：
由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，
A ∩
B ＝{x |－2＜x ＜3}，
∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，
(∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2，或x ＝3}．
迁移与应用 1．{x |x ≤3或x ≥9} {x |3＜x ＜4或5≤x ＜9} 解析：把全集R 和集合A ，B 在数轴上表示如下：
由图知，A ∪B ＝{x |3＜x ＜9}，所以∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥9}，∁R A ＝{x |x ＜4或x ≥5}， (∁R A )∩B ＝{x |3＜x ＜4或5≤x ＜9}．
2．解：S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
∵A ∩B ＝{4,5}，
∴将4,5写在A ∩B 中．
∵(∁S B )∩A ＝{1,2,3}，
∴将1,2,3写在A 中A ∩B 之外．
∵(∁S B )∩(∁S A )＝{6,7,8}，
∴将6,7,8写在S 中A ∪B 之外．
∵(∁S B )∩A 与(∁S B )∩(∁S A )中均无9,10，
∴9,10在B 中A ∩B 之外．
如图所示．
故A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,9,10}．
活动与探究3 思路分析：首先求出∁R B ，再结合A ∪(∁R B )＝R ，借助数轴列出关于a 的不等式(组)从而求出a 的取值范围．
C 解析：∵B ＝{x |1＜x ＜2}，
∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}．
由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示．
由图可知a ≥2.
迁移与应用 1．解：∁U A ＝{x |1≤x ≤3}，用数轴表示∁U A ，B ，如图，
由数轴得，要使(∁U A )∩B ＝∅成立，需有m ≤1.
2．m ≤1 解析：由已知得∁U A ＝{x |x ≥－1}，而B 一定不是∅，因此，要使B ⊆∁U A ，应有－m ≥－1，解得m ≤1.
【当堂检测】
1．C 2．D
3．B 解析：∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，T ＝{2,3,4}． ∴∁U T ＝{1,5,6}．
∴S ∩(∁U T )＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．
4．{x |x ＞1} 解析：∵∁R A ＝{x |1＜x ≤3}， ∴(∁R A )∪B ＝{x |x ＞1}．
5．解：∵∁U P ＝{－1}，
∴－1∈U ，且－1∉P .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2. 经检验，a ＝2符合题意，故实数a 的值为2.。
