2014-2015学年四川省成都市都江堰外国语实验学校高三(下)4月月考数学试卷(理科)

2014-2015学年四川省成都市都江堰外国语实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、204．函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．7 B．9 C．11 D．136．设点（a，b）是区域内的随机点，函数y=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．7．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．10．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B． 1 C．2 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．11．展开式中的常数项为．12．已知点A（2，0），B（﹣2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是．13．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．14．高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为．15．如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且AB＜AC，=，则以下结论正确的序号是．①△ABC是直角三角形；②+的最大值为；③（S四边形MBCN）min=（S△ABC）min+（S△AMB+S△ACN）min；④设△AMB的周长为y1，△ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•湖北二模）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•梧州一模）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M （文化）、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：表1：甲方案考核内容M（文化）N（面试）得分100 80 50 20概率表2：乙方案考核内容M（文化）N（面试）得分90 60 30 10概率已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分．（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；（2）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX．19．（12分）（2013•河南模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．20．（13分）（2015•济南一模）已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21．（14分）（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R 令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．2014-2015学年四川省成都市都江堰外国语实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若，则=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵，∴=1﹣i，则==+i+1=﹣i+1+i+1=2，故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：必须对选项一一加以判断：对A应用充分必要条件定义解决；对B应用命题的否定确定；对C应用奇函数的定义解决；对D应用真值表判断．解答：解：对A，因为x＞5可推出x＞3，所以“x＞5”是“x＞3”充分不必要条件，故A错；对B，由全称命题或存在性命题的否定得：B正确；对C，若函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数，则由定义知不存在m，故C错；对D，因为p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以p∧q可真可假，故D错．故选：B点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件、命题的否定、复合命题的真值表等，注意分析和逻辑推理，是一道基础题．3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、20考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题；图表型．分析：把两列数据按照从小到大排列，数据有11个．最中间一个数字就是中位数，把两列数据的中位数找出来．解答：解：由茎叶图知甲的分数是6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11个数据，中位数是最中间一个19，乙的数据是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40共有11和数据，中位数是最中间一个13，故选A．点评：本题考查茎叶图和中位数，解题的关键是把数据按照从小到大排列，最中间一个或最中间两个数据的平均数就是中位数．4．函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性，函数的单调性，即可得到选项．解答：解：函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]是奇函数，∴B、C的图象不满足奇函数的定义，函数y=x是增函数，y=sinx在x∈[﹣π，π]是增函数，∴函数y=x+sinx，x∈[﹣π，π]是增函数，∴D不正确，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．7 B．9 C．11 D．13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=﹣lg11时，满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg3，k=3不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg5，k=5不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg7，k=7不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg9，k=9不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg11，k=11满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．设点（a，b）是区域内的随机点，函数y=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解答：解：作出不等式组内对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=≤1，即，结合条件，可得对应的平面区域为△OBC，由，解得a=，b=，∴对应的面积为S1==，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：A．点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．7．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a考点：指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．解答：解：∵＜＜＜1且y=（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1∴指数函数y=a x在R上是减函数∴a b＜a a∴幂函数y=x a在R上是增函数∴a a＜b a∴a b＜a a＜b a故选C．点评：本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．9．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．解答：解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，1），可得，c2=a2+b2．c=1，解得a=因此，故双曲线的离心率是，故选A；点评：本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．10．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．解答：解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D点评：本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．11．展开式中的常数项为80．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：的展开式的通项公式为T r+1=令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．12．已知点A（2，0），B（﹣2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的中垂线，则点D的坐标是（﹣6，7）．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：设D（x，y），由题意可得CD的中点在AB的垂直平分线且CD∥AB，可得x和y 的方程组，解方程组可得．解答：解：设D（x，y），∵A（2，0），B（﹣2，4），∴AB点E（0，2），AB的斜率k==﹣1，∴AB的垂直平分线的斜率为1，∴AB的垂直平分线的方程为y=x+2，∴CD的中点F（，）在y=x+2上，∴﹣+2=0，①又CD的斜率=﹣1，②联立①②解得，即D（﹣6，7），故答案为：（﹣6，7）．点评：本题考查线段的中点公式、两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属基础题．13．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的表面积S=×π×22+×π×4×2+×4×4=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．14．高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为472．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：由分类计数原理，故分为2类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，根据分类计数原理，即可得到答案．解答：解：根据题意，分两种情况讨论：1、不选三班的同学，从12个人中选出3人，有C123种选取方法，其中来自同一个班级的情况有3C43种，则此时有C123﹣3C43=208种选取方法，2、选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C122种选取方法，则此时有4×C122=264种选取方法，根据分类计数原理，共有208+364=472种选取方法，故答案为：472．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意理解“这三人不能是同一个班级的学生”的限制条件．15．如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且AB＜AC，=，则以下结论正确的序号是①②④．①△ABC是直角三角形；②+的最大值为；③（S四边形MBCN）min=（S△ABC）min+（S△AMB+S△ACN）min；④设△AMB的周长为y1，△ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：①由正弦定理得：==，则可求得sin2C=sin2B，进而根据∵AB≠AC，进而求得A+B的值，则A的值可求得．②设，则可分别表示出∠CNA，AB，AC，MB，CN，则+可表示出来，利用两角和公式整理后利用三角函数性质求得其最大值；③分别运用θ表示出四边形MBCN，和三角形ABC的面积利用基本不等式求得其最小值；用θ表示出y1+y2，令，进而利用二次函数的性质求得其最小值．解答：解：①由正弦定理得：==，则sin2C=sin2B，又∵AB≠AC，∴，所以①正确；②设，则，，MB=tanθ，CN=2cotθ，则，，所以②正确；③，，所以③错误；④，令，（当时取等），所以④正确．故答案为：①②④点评：本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的应用，函数思想以及转化与化归思想的运用．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•湖北二模）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2）．则n为奇数，c n==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），则n为奇数，c n==，n为偶数，c n=2n﹣1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）===．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•梧州一模）随着教育制度和高考考试制度的改革，高校选拔人才的方式越来越多，某高校向一基地学校投放了一个保送生名额，先由该基地学校初选出10名优秀学生，然后参与高校设置的考核，考核设置了难度不同的甲、乙两个方案，每个方案都有M （文化）、N（面试）两个考核内容，最终选择考核成绩总分第一名的同学定为该高校在基地学校的保送生，假设每位同学完成每个方案中的M、N两个考核内容的得分是相互独立的，根据考核前的估计，某同学完成甲方案和乙方案的M、N两个考核内容的情况如表：表1：甲方案考核内容M（文化）N（面试）得分100 80 50 20概率表2：乙方案考核内容M（文化）N（面试）得分90 60 30 10概率已知该同学最后一个参与考核，之前的9位同学的最高得分为125分．（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择哪个方案？请说明理由，并求其在该方案下获得保送资格的概率；（2）若该同学选用乙方案，求其所得成绩X的分布列及其数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．这是因为选择甲方程最高得分为150分＞125分，可能获得第一名即保送资格．而选择乙方案，最高得分为120分＜125分，不可能获得第一名即保送资格．记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，则P（A）=，P（B）=，由此能求出在该方案下获得保送资格的概率．（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．解答：解：（1）若该同学希望获得保送资格，应该选择甲方案．理由如下：选择甲方程最高得分为：100+50=150分＞125分，可能获得第一名即保送资格．而选择乙方案，最高得分为：90+30=120分＜125分，不可能获得第一名即保送资格．记“该同学完成考核M得100分”为事件A，“该同学完成考核N得50分”为事件B，则P（A）=，P（B）=，记“该同学获得保送资格”为事件C，则P（C）=P（AB）+P（）==，∴在该方案下获得保送资格的概率为．（2）若该同学选择乙方案，则X的可能取值为120，100，90，70，则P（X=120）==，P（X=100）==，P（X=90）==，P（X=70）==，∴X的分布列为：X 120 100 90 70PEX==115．点评：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19．（12分）（2013•河南模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）根据线面垂直的性质先证明AC⊥平面ABB1A1，即可证明AC⊥BB1；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论．解答：解：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC，因为平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥BB1．（2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），则=（2，﹣2，0），设，λ∈[0，1]，则P（2λ，4﹣2λ，2），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），因为，，，即，所以，令x=1得=（1，0，﹣λ），而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则|cos＜，＞|=，解得，即P为棱B1C1的中点．点评：本题主要考查线面垂直的判断和性质，以及二面角的应用，建立空间直角坐标系利用向量法是解决本题的关键．20．（13分）（2015•济南一模）已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．可得S△MON=×2p==，解得p即可．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y2﹣6my﹣6a=0，得到根与系数的关系．由对称性，不妨设m＞0，（i）a＜0时，可知y1，y2同号．又t=+，得到t2==，可得不论a取何值，t值与M点位置有关．（ii）a＞0时，由于y1，y2异号．又t=+，可得t2==，可得仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”．解答：解：（I）∵当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．∴S△MON=×2p==，解得p=3．∴抛物线C的标准方程为y2=6x．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立．化为y2﹣6my﹣6a=0，△＞0，y1+y2=6m，y1y2=﹣6a．由对称性，不妨设m＞0．（i）a＜0时，∵y1y2=﹣6a＞0，∴y1，y2同号．又t==+，∴t2===，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”．（ii）a＞0时，∵y1y2=﹣6a＜0，∴y1，y2异号．又t==+，∴t2===•=，∴仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”．点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=+x，m∈R 令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=﹣2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；（3）联系函数的F（x）的单调性，然后证明即可．注意对函数的构造．解答：解：（1）．由f′（x）＞0得1﹣x2＞0又x＞0，所以0＜x＜1．所以f（x）的单增区间为（0，1）．（2）令x+1．所以=．当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为G（1）=﹣．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．当m＞0时，．令G′（x）=0得x=，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令h（m）=，因为h（1）=，h（2）=．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（3）当m=﹣2时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0．由F（x1）+F（x2）+x1x2=0，即．化简得．令t=x1x2，则由φ（t）=t﹣lnt得φ′（t）=．可知φ′（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1．所以，即成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题，难度不大．。