山东省菏泽市2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)

2021-2022学年山东省滨州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则（ ）52i z =+z =A ．B ．C ．D ．2i --2i -+2i -2i+D【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，再根据共轭复数的概念即可求得答案.【详解】由题意得，，故，55(2i)2i 2i 5z -===-+2i z =+故选：D2．已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是A ．8πB ．12πC ．16πD ．20πB由棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知球半径R 的表面积．【详解】因为棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以，球半径，R =得出，球的表面积．2412S ππ==故选：．B 本题考查球的表面积的求法，求出球的半径是关键，运用正方体外接球的直径等于正方体的体对角线求解．3．以下结论正确的是（ ）A ．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率AB A B ．对立事件一定互斥C ．事件与事件互斥，则有A B ()()1P A P B =-D ．事件，满足，则，是对立事件A B ()()1P A P B +=A B B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义、性质直接求解．【详解】对于，当事件与事件互斥时，事件与事件的和事件的概率才大于A A B A B 事件的概率，故A 错误；A 对于，对立事件一定是互斥事件，故B 正确；B对于，事件与事件对立，则有，事件与事件互斥，则有C A B ()()1P A P B =-A B ，故C 错误；()()1P A P B ≤-对于，事件，满足，则，不一定是对立事件，故D 错误．D A B ()()1P A P B +=A B 故选：B4．在中，若，则此三角形一定是（ ）ABC cos 2bC a =A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．既非等腰三角形也非直角三角形A【分析】根据余弦定理化简即可【详解】由余弦定理，，即，即，故此三222cos 22a b c bC ab a +-==2222a b c b +-=a c =角形一定是等腰三角形故选：A5．设，为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是αβ（ ）A ．若，，则B ．若，，，则m n ∥n ⊂αm α∥m α∥n β∥m n ∥αβ∥C ．若，，则D ．若，，，则m β⊥n β∥m n⊥αβ⊥m αβ= n m ⊥n α⊥C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；m n ∥n ⊂αm α∥m α⊂对于B ，若，，，则或相交，故B 错误；m α∥n β∥m n ∥αβ∥,αβ对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若，，，当，不一定垂直于，αβ⊥m αβ= n m ⊥n β⊄n α故D 错误.故选：C.6．在中，点P 满足，则（ ）OAB 3AB AP =A ．B ．2133OP OA OB=+ 1233OP OA OB=+C ．D ．2133OP OA OB=- 1233OP OA OB=-A【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】()11213333OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB=+=+=+-=+故选：A7的正方体中，直线BD 到平面的距离为1111ABCD A B C D -11AB D （ ）A B C D B【分析】根据线面平行可得点到面的距离即为线到面的距离，根据等体积法即可求解.【详解】因为,平面,平面,因此平面,故11//BD B D 11B D ⊂11AB D BD ⊄11AB D //BD 11AB D 直线BD 到平面的距离即为点到平面的距离；11AB D B 11AB D为边长为2的等边三角形，故,11AB D 111=222AB D S ⨯⨯ 11=12A B B S = 设点到平面的距离为，由等体积法可得,即B 11AB D h 1111D AB B B AB D V V --=11111AB AB D B S A D h S ⋅==故选:B8．如图，为了测量山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内.若已测得AB 之间的距离为a ，，BAM α∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新ABM β∠=观测的角的其中一组，可以求出M ，N 间距离的组数为（ ）①和；②和；③和BNM ∠MBN ∠AMN ∠BNM ∠NAB ∠BNA∠A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】利用已知条件结合正余弦定理，判断所选的条件是否可以求出即可MN 【详解】由，，，在中，利用正弦定理可以求出AB a =BAM α∠=ABM β∠=ABM 的长，,AM BM 对于①和，在中，利用正弦定理可得，BNM ∠MBN ∠BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠得，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于②和，先求得，所以，AMN ∠BNM ∠AMB παβ∠=--BMN AMN AMB ∠=∠-∠然后在中，利用正弦定理可得，得BMN △sin sin MN BMMBN BNM =∠∠，从而可求出，sin sin BM MBN MN BNM ∠=∠MN 对于③和，在中，由正弦定理得，可求得NAB ∠BNA ∠ABN sin BN ABNAB BNA =∠∠，再在中利用三角形的内角和定理可求出，sin AB NAB BN BNA ∠=∠ABN ABN ∠从而可求得，再在中，利用余弦定理得MBN ABN β∠=∠-BMN △，从而可求出，2222cos MN BN BM BM BN MBN =+-⋅∠MN 所以三组数据均能求出，MN 故选：D 二、多选题9．已知数据，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，123,,x x x n x 1a ，，，数据，，，…，的众数､平均数､方差､第80百分位数分别是，1b 1c 1d 1y 2y 3y n y 2a ，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）2b 2c 2d 21(1,2,3,,)i i y x i n =-= A ．B ．C ．D ．21a a =2121b b =-214c c =2121d d =-BCD【分析】由众数的计算方法可判断A;根据平均数的概念可判断B ；根据方差的性质判断C ；根据百分位数的计算可判断D.【详解】由题意可知，两组数据满足，则它们的众数也满足21(1,2,3,,)i i y x i n =-= 该关系，则有，故A 错误；2121a a =-由平均数计算公式得：1212(21)(21)(21)n n y y y x x x n n +++-+-++-=，即，故B 正确；1221nx x x n +++=⨯- 2121b b =-由方差的性质可得，故C 正确；214c c =对于数据，…，，假设其第80百分位数为，123,,x x x n x 1d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数部分为k,则0.8n k =112k k x x d ++=0.8n ，11k d x +=故对于数据，…，，假设其第80百分位数为，12321,21,21x x x ---21n x -2d 当是整数时，，当不是整数时，设其整数0.8n k =1212121212k k x x d d +-+-==-0.8n 部分为k,则，2112121k d x d +=-=-故，故D 正确，2121d d =-故选：BCD10．已知是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）,,a b cA ．B ．a b a b+≤+ a b a b ⋅≤⋅ C ．若，则D ．若，则a b= a b=+a b a b=- a b⊥ ABD【分析】对A ，平方根据可判断；对B ，根据数量积定义和cos ,1a b <>≤可判断；对C ，根据向量是由大小和方向决定可判断；对D ，两边平方cos ,1a b <>≤可得即可判断.0a b ⋅=【详解】对A ，2222222cos ,a b a b a b a b a b a b +=++⋅=++⋅⋅<>，当且仅当同向等号成立，所以，故()2222a b a b a b≤++⋅=+ ,a ba b a b+≤+ A 正确；对B ，因为，所以，当且仅当同向等号cos ,1a b <>≤ cos ,a b a b a b a b ⋅=<>⋅⋅≤⋅ ,a b 成立，故B 正确；对C ，若，因为方向不一定相同，所以不一定相等，故C 错误；a b= ,a b ,a b 对D ，若，两边平方可得，所以，故D 正确.+a b a b =- 0a b ⋅= a b ⊥ 故选：ABD.11．在某次数学中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC ，且某同学不会做该题，下列结论正确的是（ ）A ．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是12B ．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是411C ．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是14D ．该同学随机选择选项，能得分的概率是415BC【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；A B C D 随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，；AB AC AD BC BD CD 随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，；ABC ABD ACD BCD 随机选四个选项，共有1个基本事件，即；ABCD 仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A 错误；34随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故B 正确；31464111+=++仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C 正确；14随机选择选项，能得分的概率是，故D 错误；3317464115++=+++故选：BC.12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ）S AEF -A ．平面平面SAF AEF ⊥B ．四面体的体积为S AEF -13C ．二面角A EF S --D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为的垂心AEF BD【分析】（１）作辅助线，证为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．SNO ∠（２）先证平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．SO ⊥（３）证为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算的正切值．SMA ∠SMA ∠（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM ，只需证，EF ⊥OE AF ⊥即可．OF AE ⊥【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF AM ，SE =SF =1，所以，EF ⊥SM EF ⊥为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角SMA ∴∠又 平面ASM ，平面ASM ，SO ，SM AM M ⋂=EF ∴⊥SO ⊂EF ∴⊥作法知， ，平面AEF ，SO AM ^AM EF M = SO ∴⊥所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.平面AEF ，所以 ，由作法知，AF ⊂SO AF ⊥ON AF ⊥SO NO O⋂=平面SON ，平面SON ，AF ∴⊥SN ⊂SN AF∴⊥为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然为锐角，故A 错．SNO ∴∠SNO ∠由题知 ， ，AS SEAS SFAS SEFSE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面SM SEF ⊂平面AS SM ∴⊥又AS ＝２，，SE＝１，12EM EF ==SM AM ∴=== ，四面体S −AEF 的体积为23AS SM SO AM ⨯===1132133233AEF V S SO =⨯=⨯⨯=，故B 正确．在直角三角形ASM中：tan AS SMA SM ∠=== 故C 不正确．因为，，OM ==AO AM OM =-=OE==所以，2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅222cos 2OE OA AE EOA OE OA +-∠==⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OFEOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠45⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝44099=-+= ，由对称性知 ，又AM OE AF ∴⊥OF AE ⊥EF ⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．某校举行演讲比赛，10位评委给甲选手的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.1，8.3，8.3，8.7，则这组数据的75%分位数为___________.8.3【分析】根据百分位数的定义和运算规则即可求解.【详解】该数据已经从小到大排列， ，∴第75%位数是8.3；1075%7.5⨯=故8.3.14．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的表面积为___________.12π【分析】首先根据题意得到，解得，再分别计算侧面积和底面积12242r ππ=⨯⨯2r =即可.【详解】解：设圆锥的半径为，由题知：，解得.r 12242r ππ=⨯⨯2r =所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为.2124S ππ=⨯=221482S ππ=⨯⨯=所以表面积.4812S πππ=+=故答案为.12π15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小km/h 货船准备从河南岸的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距250的码头C 处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速m 度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________km/h .km/h【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，AC 设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度v1v为，作出示意图如下：2v因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，2km/h，在中，有,250AB BC m ==Rt ABC △tan AB BCA BC ∠==所以，12ππππ2π,,,+=36263BCA BAC v v ∠=∠=〈〉= 所以，21v v v =-所以||v ===所以小货船航行速度的大小为．故四、双空题16．已知为虚数单位，则___________，i (cos isin )(cos isin )ααββ++=___________.()cos15isin15⎫︒+︒=⎪⎪⎭cos()isin()αβαβ+++12【分析】根据复数的乘法运算结合三角函数的恒等变换公式，即可求得答案.【详解】由题意得，(cos isin )(cos isin )cos cos sin sin i(cos sin sin cos )ααββαβαβαβαβ++=-++ ；cos()isin()αβαβ=+++())cos15isin15cos15sin15i ⎫⎫︒+︒=︒-︒+︒+︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭，()()cos 4515isin 4515=+++12=故；cos()isin()αβαβ+++12五、解答题17．已知向量，.(,1)a m =- (1,2)b =(1)若，求；()+2a b b⊥ 2a b+ (2)若向量，，求与夹角的余弦值.(2,1)c =- a c ∥a 2ab -【分析】（1）根据求得，从而可得，于是()+2a b b⊥ 3m =-2(1,3)ab +=- a + （2）由，可得，再由夹角公式计算即可.ac ∥(2,1)a =- 【详解】(1)因为，，(,1)a m =- (1,2)b = 所以，.+(1,1)a b m =+2(2,4)b = 由，可得，即，()+2a b b⊥ ()+20a b b ⋅= 2(1)40m ++=解得，所以，故3m =-2(1,3)a b +=-a + (2)因为向量，，所以，所以.(2,1)c =- a c ∥ 20m -=2m =则，，(2,1)a =- 2(0,5)a b -=-所以()2cos ,22a a b a a b a a b ⋅--=-==所以与a2a b -18．如图，在圆内接四边形ABCD 中，，，的面积120B ∠=︒2AB =AD =ABC (1)求AC ；(2)求.ACD ∠(1)(2)45︒【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得2BC =AC =（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可60D ∠=︒【详解】(1)因为.ABC 1sin 2AB BC B ⋅∠又因为，，所以.120B ∠=︒2AB =2BC =由余弦定理得，，222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，所以22222222cos120AC =+-⨯⨯︒12=AC =(2)因为ABCD 为圆内接四边形，且，所以.又120B ∠=︒60D ∠=︒AD =可得，，故因为sin sin AD AC ACD D =∠∠sin sin AD D ACD AC ∠∠===，所以，所以.AC AD >060ACD ︒<∠<︒45ACD ∠=︒19．如图，在直三棱柱中，，，E 为线段111ABC A B C -AB BC ⊥12AA AB BC ===的中点.1AB(1)求证：平面平面；1BEC ⊥11AB C (2)求直线与平面所成角的正切值.1EC 11BB C C (1)证明见解析【分析】（1）先证明平面,再根据面面垂直的判定定理证明结论即可；BE ⊥11AB C （2）作辅助线，找出直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案 .1EC 11BB C C 【详解】(1)证明：在直三棱柱中，111ABC A B C -平面ABC ，所以.1BB ⊥1BB BC ⊥又因为，，平面，平面，AB BC ⊥1AB BB B Ç=AB Ì11ABB A 1BB ⊂11ABB A所以平面.因为平面，所以.BC ⊥11ABB A BE ⊂11ABB A BC BE ⊥又因为，所以.11BC B C ∥11B C BE ⊥因为，E 为线段的中点，11AB AA BB ==1AB 所以.因为，平面，平面，1BE AB ⊥1111B C AB B = 1AB ⊂11AB C 11B C ⊂11AB C 所以平面,BE ⊥11AB C 又平面，所以平面平面.BE ⊂1BEC 1BEC ⊥11AB C (2)取的中点F ，连接EF ，，1BB 1FC 则，所以.,EF AB AB BC ⊥∥EF BC ⊥因为在直三棱柱中，所以，111ABC A B C -1BB AB ⊥1EF BB ⊥又因为，平面，平面，1BC BB B = BC ⊂11BB C C 1BB ⊂11BB C C 所以平面.所以为直线与平面所成的角.EF ⊥11BB C C 1EC F ∠1EC 11BB C C 因为，所以，，，12AA AB BC ===1EF =112B C =11B F =所以1FC ==因为平面，平面，所以，EF ⊥11BB C C 1FC ⊂11BB C C 1EF FC ⊥所以11tan EF EC F FC ∠==所以直线与平面1EC 11BB C C 20．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，[50,60)[60,70)[80,90)求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.[80,90)(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；（2）根据频率可判断中位数位于区间，设为，列出方程即可求出；[70,80)x （3）求出5人中任取3人的所有情况，再求出满足条件的情况即可求出.【详解】(1)因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，解得.(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=0.020a =(2)因为，.(0.0100.020)100.30.5+⨯=<(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>则中位数位于区间内，设中位数为x ，[70,80)则，解得，0.3(70)0.0450.5x +-⨯=74.4x ≈所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.(3)由题意，阅读时间位于的人数为，[50,60)1000.110⨯=阅读时间位于的人数为，[60,70)1000.220⨯=阅读时间位于的人数为，[80,90)1000.220⨯=所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，515010=则抽取的5人中位于区间有1人，设为a ，位于区间有2人，设为，[50,60)[60,70)1b ，位于区间有2人，设为，.2b [80,90)1c 2c 则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =.()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c 含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅读时间在”，[80,90)，含有3个样本点.()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =所以，3()10P A =所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.[80,90)31021．当今社会，学生的安全问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，滨州市组织了一次中学生安全知识竞赛，规定每队2人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队2人答对的概率均为，乙队2人23答对的概率分别为，，且各人回答正确与否互不影响，各队得分互不影响.1234(1)求甲队总得分为1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.(1)49(2)29【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；【详解】(1)解：令“甲队第个人回答问题正确"，，=i A i 1,2i =令“乙队第个人回答问题正确”，，i B =i 1,2i =则，，.()23i P A =()112P B =()234P B =令“甲队总得分为1分”，则.C =1212C A A A A =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，()1212()P C P A A A A =⋃()()1212P A A P A A =+.()()()()1212P A P A P A P A =+21123333=⨯+⨯49=所以甲队总得分为1分的概率为.49(2)解：令“甲队总得分为2分”，令“乙队总得分为1分”，D =E =则，，12D A A =1212E B B B B =⋃由概率加法公式和事件的独立性定义得，，()12()P D P A A =()()12P A P A =224339=⨯=()1212()P E P B B B B =⋃()()1212P B B P B B =+，()()()()1212P B P B P B P B =+1113124242=⨯+⨯=，()()()P DE P D P E =412929=⨯=所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为.2922．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，点E 是PB P ABCD -PA AB ⊥的中点.(1)求证：平面EAC ；PD ∥(2)若，，，求点P 到平面AEC 的距离.2PC AD ==1==PA AB 3APC π∠=(1)证明见解析【分析】（1）连结BD 交AC 于点O ，连接EO ，证明即可；EO PD ∥（2）利用等体积关系即可求解.12P ACE P ABCV V --=【详解】(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .显然，O 为BD 的中点，又因为E 为PB 的中点，所以.EO PD ∥又因为面EAC ，面EAC ，所以平面EAC ；PD ⊂/EO ⊂PD ∥(2)在中，，，，PAC △1PA =2PC =3APC π∠=由余弦定理得，22212cos 1421232AC PA PC PA PC APC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以，所以，AC =222PA AC PC +=PA AC ⊥又因为，，平面ABCD ，平面ABCD ，PA AB ⊥AB AC A ⋂=AB ÌAC ⊂所以平面ABCD .PA ⊥在中，，，，所以，ABC 1AB =2BC =AC =222AB AC BC +=AB AC ⊥所以12ABCS AB AC =⋅=△11133P ABC ABC V S PA -=⋅==△因为点E 是PB 的中点，所以12P ACE P ABC V V --==因为，且E 是PB 的中点，，所以PA AB ⊥1==PA AB 12AE PB ==因为，，，AC AB ⊥PA AC ⊥PA AB A = 又因为平面ABP ，平面ABP ，所以平面ABP ，AB ÌPA ⊂AC ⊥因为平面ABP ，所以，所以，AE ⊂AC AE ⊥12ABC S AC AE =⋅=△令点P 到平面ACE 的距离为h ，则，13AEC P ACE S h V -⋅=△即，即.13h =h =。

青海省西宁市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b ，c 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．22a b >B ．11a b< C ．ac bc > D ．22a b >〖解 析〗a ，b ，c 是任意实数，且a b >， ∴选项A ，如01>-，则选项A 不成立，选项B ，如31>-，则选项B 不成立， 选项C ，如0c =，则选项C 不成立，选项D ，根据2x y =增函数，则22a b >，选项D 正确． 〖答 案〗D2．在ABC ∆中，若45,60,A B BC =︒=︒=(AC = )A ．B ．CD ．〖解 析〗在ABC ∆中，45,60,A B BC =︒=︒=由正弦定理得，sin sin BC ACA B=sin 60AC =︒，解得：AC = 〖答 案〗A3．某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是( ) A ．恰有1次投中 B ．至多有1次投中C ．2次都投中D ．2次都未投中〖解 析〗某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是2次都未投中． 〖答 案〗D4．已知等比数列{}n a 的前3项和为78，第1项与第3项的和为60，则数列{}n a 的公比 为( ) A ．3B ．2C ．13D ．3或13〖解 析〗设数列{}n a 的公比为q ，等比数列{}n a 的前3项和为78，第1项与第3项的和为60， 2786018a ∴=-=，1360a a +=，∴181860q q +=，解得3q =或13． 〖答 案〗D5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2220a c b +-<，则ABC ∆必为( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形〖解 析〗因为2220a c b +-<，所以由余弦定理得，222cos 02a c b B ac +-=<，又因为(0,)B π∈，所以(,)2B ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形．〖答 案〗A6．执行如图的程序框图，输出的S 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2〖解 析〗当1n =时，cos02S π==，当2n =时，0cos 1S π=+=-， 当3n =时，31cos12S π=-+=-， 当4n =时，1cos20S π=-+=， 当5n =时，50cos02S π=+=， 当6n =时，0cos31S π=+=-，........．所以S 是以4为周期的函数，所以当202345053n ==⨯+时，1S =-．〖答 案〗A7．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为( ) A ．74B ．92C ．134D ．1〖解 析〗已知x ，y 都是正数，且2x y +=，则141141419()()(5)(522222y x x y x y x y x y +=++=+++=， 当且仅当23x =，43y =时等号成立， 所以14x y +的最小值为：92．〖答 案〗B8．某大学女生的体重y （单位：)kg 与身高x （单位：)cm 之间的线性回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，则下列说法错误的是( ) A ．y 与x 正相关B ．回归直线过样本的中心点(x ，)yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则其体重必为58.79kg 〖解 析〗对于A ，由于线性回归方程中x 的系数为0.85， 因此y 与x 呈正相关，故A 正确，对于B ，回归直线必过样本的中心点(x ，)y ，故B 正确，对于C ，由线性回归方程中系数的意义可知，该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，故C 正确，对于D ，当该大学某女生身高为170cm ，则其体重估计值为58.79kg ，故D 错误． 〖答 案〗D9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30a =，25b =，42A =︒，则此三角形解的情况为( ) A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解〖解 析〗在ABC ∆中，由正弦定理有sin sin a b A B =，sin sin b A B a =，5sin sin 6B A =，sin30sin sin45A ︒<<︒，1sin 2A <<55sin 126A <<，∴5sin 12B <<a b >，A B ∴>， B 只能为锐角的一个值，所以ABC ∆只有一个解．〖答 案〗C10．2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年(2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙” )情况的判断，正确的是( )A ．过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差B ．过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值C ．过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数D ．过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率 〖解 析〗对于A ，甲的极差为42366-=，乙的极差为41347-=， 所以“甲”的极差小于“乙”的极差，故选项A 错误； 对于B ，甲的平均数是1230(363737384042)66⨯+++++=，乙的平均数为1228(343638394041)66⨯+++++=，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，故选项B 正确； 对于C ，甲的中位数是1(3738)37.52⨯+=，乙的中位数是1(3839)38.52⨯+=，所以“甲”的中位数小于“乙”的中位数，故选项C 错误；对于D ，过去61，1，因为42413634<， 所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，故选项D 错误． 〖答 案〗B11．已知数列{}n a 满足2(1)n n a n =-，则12321(n a a a a ++++⋯+= )A ．(1)(21)n n -++B ．(1)(21)n n ++C ．(1)n n -+D ．(1)n n +〖解 析〗22222221232112345(2)(21)n a a a a n n +++++=-+-+-++-+2222221(23)(45)[(2)(21)]n n =-+-+-++-+(21)(22)1(23)(45)(221)[12345(21)](1)(21)2n n n n n n n ++=--+-+--++=-+++++++=-=-++． 〖答 案〗A 12．设区间[3D π=，]a ，若[2a π∈-，]π，则“函数cos(2)3y x π=-在D 上为减函数”的概率为( ) A ．19B ．23C ．29D ．12〖解 析〗由2223k x k ππππ-+，k Z ∈，可得263k x k ππππ++，k Z ∈，函数cos(2)3y x π=-在[3π，]a 上为减函数， 只需考虑0k =，即区间[6π，2][33ππ，]a ，则233aππ<， 所以“函数cos(2)3y x π=-在D 上为减函数”的概率为22339()2ππππ-=--． 〖答 案〗C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．不等式2680x x ++>的解集为 ．〖解 析〗不等式2680x x ++>化为(2)(4)0x x ++>，2x ∴>-或4x <-， 〖答 案〗(-∞，4)(2--⋃，)+∞14．已知公差为整数的等差数列{}n a 满足145a a +=，122a a =，则11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 ．〖解 析〗设公差为整数的等差数列{}n a 的公差为d ，则由141252a a a a +=⎧⎨=⎩，整理得：111235()2a d a a d +=⎧⎨+=⎩．解得111a d =⎧⎨=⎩或16173a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）． 所以1(1)1n a n n =+-⨯=， 所以11111(1)1n n a a n n n n +==-++， 所以12231112111111111111122311121212a a a a a a +++=-+-++-=-=． 〖答 案〗111215．某校高二（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，⋯，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，27，43的同学在样本中，那么还有一名同学的学号为 ． 〖解 析〗抽样间距为4886=，以还有一名同学的学号为27835+=． 〖答 案〗3516．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22()sin()sin b c A C bc A -+=，且3B π=，则C 的大小为 ．〖解 析〗由22()sin()sin b c A C b A -+=，得22()sin sin b c B bc A -=， 结合正弦定理可得22()b c b bca -=即22ac b c =-①，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c bac +-=②，联立①②可得2,a c b ==，则222222cos 2a b c C ab +-===，故6C π=．〖答 案〗6π 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国棉花产量居世界首位，产棉省市区有22个新疆是长绒棉的主产区，新疆棉区日照充足，气候干旱，雨量稀少，属灌溉棉区，所产的新疆长绒棉因质地光亮、有弹性，绒长质优，原棉色泽好，备受消费者的青睐．某科技公司欲进一步改良优质棉品质，对甲乙两块试验田种植的两种棉花新品种的棉绒长度进行测量，分别记录抽查数据如下（单位：):mm甲：102 101 99 98 103 98 99； 乙：110 115 90 85 75 115 110．试从统计的角度分析说明哪个棉花新品种比较稳定． 解：品种甲的平均数1102101999810398991007x ++++++==，甲的方差为2222222211[(102100)(101100)(99100)(98100)(103100)(98100)(99100)]7s =-+-+-+-+-+-+-247=， 乙的平均数21101159085751151101007x ++++++==，乙的方差为2222222221[(110100)(115100)(90100)(85100)(75100)(115100)(110100)]7s =-+-+-+-+-+-+-16007=，12x x =，2212s s <， ∴甲块试验田种植的棉花新品种的棉绒长度比较稳定．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，c =． （1）若1b =，求B ； （2）若6A π=，求b ．解：（1）1a =，c ，1b =，．由余弦定理可得：222cos2a c b B ac +-===，又(0,)B π∈，∴6B π=．（2）1a =，c由正弦定理可得：sin 1sin 2c A C a ===(0,)C π∈，∴3C π=或23C π=．当3C π=时，由内角和定理可得2B π=，ABC ∴∆为直角三角形，∴2b ==；当23C π=时，由内角和定理可得6A B π==，b a ∴=，1b ∴=． 综上，2b =或1b =．19．（12分）已知n S 是公差不等于0的等差数列{}n a 的前n 项和，77S =，5a 是4a 与7a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和．解：（1）{}n a 是等差数列，17263542a a a a a a a ∴+=+=+=， 由77S =，得1747()72722a a a +⨯==，则477a =，41a ∴=， 设数列{}n a 的公差为d ，则由2547a a a =，得2(1)1(13)d d +=⋅+， 解得0d =（舍去）或1d =．4(?4)?3n a a n d n ∴=+=； （2）由（1）知1()(5)513,,2(1)2222n n n n n a a S n n n a n S n n +--=-====-+-， 令n n S b n =，则12(1)2n b n =-+-，∴111122(1)222n n b b n n +-=-++--=， {}n b ∴是首项为2-，公差为12的等差数列， ∴12202019120(2)5522b b b ⨯+++=⨯-+⨯=． 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为55．20．（12分）某企业投资两个新型项目，投资新型项目A 的投资额m （单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为 1.70.5n m =-，投资新型项目B 的投资额x （单位：十万元）与纯利润y （单:万元）的散点图如图所示．（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该企业有一笔50万元的资金用于投资A ，B 两个项目中的一个，为了收益最大化，应投资哪个项目？附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x ynxy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-．解：（1）由散点图可知，x 取1，2，3，4，5时，y 的值分别为2，3，5，7，8．所以3,5x y ==． 2222221223354758535ˆ 1.61234553b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯，则ˆ5 1.630.2a =-⨯=． 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.60.2yx =+． （2）若投资A 项目，则该企业所得纯利润为501.70.5810⨯-=万元； 若投资B 项目，则该企业所得纯利润为501.60.28.210⨯+=万元； 因为88.2<，所以投资B 项目收益最大．21．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足11310b a =，*12()n n n b a n N =+∈，且2a ，7a ，21b -成等比数列，其中{}n a 为正项等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：（1）设{}n a 的公差为(0)d d >， 11310b a =，113(12)10a a ∴+=，∴134a =， 2134a a d d =+=+，713664a a d d =+=+，223?144()4b a d ==+， 由2a ，7a ，21b -成等比数列，得2233(6)4()44d d +=+，0d >，则316d =，∴333(?1)(3)41616n a n n =+=+；（2）因为3(3)16n a n =+，所以31(3)216n n b n =++， 令(3)2n n +的前n 项和为n T ， 124252(3)2n n T n =⨯+⨯+++⨯，①则23124252(3)2n n T n +=⨯+⨯+++⨯，②①-②得，123142222(3)2n n n T n +-=⨯++++-+⨯，∴1(2)24n n T n +=+⋅-，故33(2)284n n S n n =+⋅+⋅-．22．（12分）饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的**来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分x （同一组数据用该组区间的中点值代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，(0.0050.02520.01)101a +⨯++⨯=，解得0.035a =； 这组数据的平均数为500.05600.25700.35800.25900.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计该校此次参赛学生成绩的平均分71x =；（2）根据频率分布直方图可知，成绩在[45，55)，[55，65)内的频率分别为0.05，0.25， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取6人，则成绩在[45，55)内的有1人，在[55，65)内的有5人，所以从这6人中随机抽取3人进行深入调研，这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为32653612C C C -=．。

山东省青岛市莱西市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数13z i =-+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A ．13i + B ．13i - C ．13i -- D ．3i -〖解 析〗13z i =-+，∴13z i =--．〖答 案〗C2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A ．男队员应抽取12人B ．男队员应抽取16人C ．女队员应抽取6人D ．女队员应抽取14人〖解 析〗由分层抽样的定义可知，男队员应抽取5628165642⨯=+人，女队员应抽取281612-=人．〖答 案〗B3．若||2a =，(1,1)b =-，a 与b 共线，则向量a 的坐标可能为( )A ．(1,1)a =-B ．(1,1)a =C ．2(,2a = D ．2(,2a =-〖解 析〗设(,)a x y =，||2a =，(1,1)b =-，且a 与b 共线，则2220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(1,1)a =-或(1,1)a =-（舍去）． 〖答 案〗A4．下列命题正确的为( ) A ．两条直线确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点D ．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线〖解 析〗在A 中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故A 错误；在B 中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故B 错误；在C 中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故C 错误；在D 中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故D 正确． 〖答 案〗D5．下列说法正确的为( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大C ．事件A 与事件B 中同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小D ．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -〖解 析〗对A ，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A 错误； 对B ，当事件A 与事件B 为对立事件时，事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率和A 与B 中恰有一个发生的概率相等，故B 错误；对C ，当A B =时，事件A 与事件B 中同时发生的概率等于A 与B 中恰有一个发生的概率，故C 错误；对D ，设A ，B 是一个随机试验中的两个事件， 则()P AB P =（A ）P +（B ）()P AB -正确，故D 正确．〖答 案〗D6．要得到()sin(4)3g x x π=+的图象，只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 〖解 析〗22()cos 2sin 2cos4sin(4)sin 4()sin 4[()]282412f x x x x x x x ππππ=-==+=+=++，又()sin(4)sin 4()312g x x x ππ=+=+，故要得到函数()sin(4)3g x x π=+的图象，只需将函数()sin 4[()]2412f x x ππ=++的图象向右平移24π个单位长度即可． 〖答 案〗B7．为了普及环保知识，某学校随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分（十分制，单位：分）的统计数据如表：设这30名学生得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则下列选项正确的为( ) A ．m n x ==B ．m n x =<C ．m n x <<D ．n m x <<〖解 析〗这30名学生得分的中位数为565.52m +==，众数为5n =， 平均数1(324351066738292102) 5.9630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故n m x <<． 〖答 案〗D8．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π〖解 析〗如图，1O 是A 在底面的射影，由正弦定理得，BCD ∆的外接圆半径131sin602r =⨯=︒；由勾股定理得棱锥的高13AO ==；设球O 的半径为R ，则22(3)R R =-，解得2R =，所以11OO =；在△1BO E 中，由余弦定理得2113211O E =+-⨯=，所以11O E =；所以在1OEO ∆中，OE ；当截面垂直于OE =2π． 〖答 案〗A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，下面说法正确的为( ) A ．两次均正面朝上的概率为12 B ．两次均反面朝上的概率为14C ．两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为14D ．两次中，至少一次正面朝上的概率为34〖解答〗对A ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故A 错误；对B ，两次均反面朝上的概率为111224⨯=，故B 正确；对C ，两次中，一次正面朝上，另一次反面朝上的概率为1111122222⨯+⨯=，故C 错误；对D ，两次均正面朝上的概率为111224⨯=，故两次中，至少一次正面朝上的概率为13144-=，故D 正确． 〖答 案〗BD10．已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线m ，n ，l ，下列命题中为真命题的是( )A ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥B ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若m αβ=，n α⊂，l β⊂，//n l ，则////m n lD ．若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥〖解 析〗选项A ，由线面垂直的性质定理知，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，即A 正确； 选项B ，若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，即B 错误； 选项C ，因为l β⊂，//n l ，n β⊂/，所以//n β，又m αβ=，n α⊂，所以//n m ，由平行线的传递性知，////m n l ，即C 正确；选项D ，由面面垂直的性质定理知，若αγ⊥，//αβ，则βγ⊥，即D 正确． 〖答 案〗ACD11．给出以下24个数据：148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0 158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0 对于以上给出的数据，下列选项正确的为( ) A ．极差为24.0B ．第75百分位数为164.0C ．第25百分位数为155.2D ．80%分位数为164.1〖解 析〗对于A ，由题意可得，极差为17214824-=，故A 正确， 对BCD ，25%246⨯=，75%2418⨯=，80%2419.2⨯=，∴样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7为的平均数，第18，19的平均数，第20项数据，即分别为155155.2155.12+=，163164163.52+=，164.1，故BC 错误，D 正确． 〖答 案〗AD12．在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =D 为BC 边上的一点，且D 到A ，B 距离相等，则下列结论正确的为( )A．sin ABC ∠=B．BD =C ．ABC ∆外接圆的面积为45πD ．18ABC S ∆=〖解 析〗在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，6AB =，AC =由余弦定理可得2222cos 90BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，BC ∴=由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，sin ACin BAC ABC BC ∠∴∠===，由角B为锐角知cos B A 错误； 过点D 作AB 的垂线DE ， 如图，由AD BD =得cos cos DAE B ∠=，132AE AB ==， Rt ADE ∆，3cos cos AE AD DAE B ====∠BD AD ∴==B 正确；由正弦定理可知，ABC ∆外接圆的直径2sin BC R A ==，R = ABC ∴∆外接圆的面积为245S R ππ==，故C 正确；由三角形面积公式可得11sin 6922ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故D 错误． 〖答 案〗BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足46z i zi +=+，其中i 为虚数单位，则复数z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，a ，b R ∈，46z i zi +=+，46()6a bi i a bi i b ai ∴++=++=-+，即64a bb a =-⎧⎨+=⎩，解得5a =，1b =， 故5z i =+． 〖答 案〗5i +14．已知1sin cos 5αα+=，0απ，则cos 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 5αα+=，两边平方得：112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 25αα=-，0απ，∴2παπ<，则sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα∴-． 解得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴cos2α．〖答 15．已知(12,1)a k =-，(3,)b k =-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为 ． 〖解 析〗由已知条件可得，0a b ⋅<且,a b 不共线， 则3(12)0(12)3a b k k k k ⎧⋅=--<⎪⎨-≠-⎪⎩，解得37k <且1k ≠-，故实数k 的取值范围为(-∞，31)(1,)7--．〖答 案〗(-∞，31)(1,)7--16．（3分）某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为910，89，34，13，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ． 〖解 析〗该参赛者能进入第二轮答题的概率为98311109435⨯⨯⨯=； 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：198311831913198119832257()510943109431094310943109431800⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=． 〖答 案〗15，2571800四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知复数22(710)(56)z m m m m i =-++-+，i 为虚数单位，m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，求m 的取值范围； （Ⅲ）若在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，求m 的值． 解：(I)z 为纯虚数，∴225607100m m m m ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得5m =． (II)在复平面上表示复数z 的点位于第二象限，则225607100m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得35m <<，故m 的取值范围为(3,5)．(III)在复平面上表示复数z 的点位于直线2140x y --=上，则222(710)(56)140m m m m -+--+-=，解得0m =或9． 18．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）已知||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=，求向量a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α是第三象限角，求3tan(2)4πα+的值． 解：（Ⅰ）由已知，||6a =，||4b =，(2)(3)480a b a b +⋅-+=， 所以22648a b a b --⋅=-，将||6a =，||4b =，代入上式得12a b ⋅=-， 故1cos 2||||a b a b θ⋅==-，[0θ∈，]π，故23πθ=；（Ⅱ）由3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=， 得3sin[()]sin()5βαβα--=-=，故3sin 5α=-，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-，所以3tan 4α=，所以22tan 24tan 217tan ααα==-， 所以2413177tan(2)244311(1)7πα-+==-⨯-． 19．（12分）试分别解答下列两个小题：（Ⅰ）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其它差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．设事件A = “第一次摸出球的标号小于3”，事件B = “第二次摸出球的标号小于3”，试判断事件A 与事件B 是否相互独立？请写出判断过程；（Ⅱ）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点，求证：平1//NBD 平面MAC ．(I)解：因为样本空间{(,)|m n m Ω=，{1n ∈，2，3，4}，且}m n ≠， {(1,2)A =，(1.3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}， {(1,2)B =，(2.1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，由题意可知，P （A ）P =（B ）61122==，21()126P AB ==， 此时()P AB P ≠（A ）P （B ），因此事件A 与事件B 不相互独立； (II)证明：连接BD 交AC 于O ，连接OM ，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可知ABCD 是平行四边形， 所以O 是BD 的中点，因为M 为1DD 的中点，所以1//MO D B ， 又MO ⊂平面MAC ，1BD ⊂/平面MAC ，所以1//BD 平面MAC ， 又因为M 为1DD 的中点，N 为1CC 的中点， 所以四边形1MCND 为平行四边形，所以1//ND CM ，又CM ⊂平面MAC ，1ND ⊂/平面MAC ，所以1//ND 平面MAC ， 又111BD ND D =，1BD ，1ND ⊂平面1BND所以平面1//NBD 平面MAC ．20．（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A 指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A 指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间[1，15]内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，⋯，第7组对应的区间分别为[1，3)，[3，5)，[5，7)，⋯，[13，15]，绘成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A 指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；（Ⅲ）现从第2组A 指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为1R ，2R ，3R ，4R ，从第5组A 指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为1E ，2E ，3E ，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本Ω，从Ω中任取2只家禽进行δ指标值的检测，求从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率．解：（Ⅰ）由题意可得：2(0.020.060.180.050.030.02)1a ⨯++++++=，则0.14a =； （Ⅱ）由题意，每组的频率依次为：0.04，0.12，0.28，0.36，0.10，0.06，0.04， 0.040.120.280.440.50++=<，0.040.120.280.360.700.50+++=>，∴中位数位于[7，9)内，设为m ，则0.440.18(7)0.50m +⨯-=，7.33m ∴≈，0.040.120.280.360.800.85+++=<，0.040.120280.360.100.900.85++++=>， 85%∴分位数为[9，11)的中点10.00；（Ⅲ）从Ω中任取2只，共2721C =个基本事件，记“从Ω中取到的两只家禽的a 指标值的差的绝对值小于2”为事件B ，则事件B 共9个基本事件，∴从Ω中取到的两只家禽的A 指标值的差的绝对值小于2的概率P （B ）93217==． 21．（12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起如图②所示．在图②中，连接1AB ，11A B ，若1AB =（Ⅰ）求证：平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小． （1）证明：取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，在平行四边形11ABB A 中，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，1ACC ∴∆，△11B CC 为正三角形，则1AO CC ⊥，160ABB ∠=︒，4AB =，12AA =，C 、1C 分别为AB 、11A B 的中点，2AC ∴=，1OA OB ==1AB =22211OA OB AB +=，则三角形1AOB 为直角三角形，则1AO OB ⊥， 又1OB ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，11OB CC O =，AO ∴⊥平面11BB C C ，又AO ⊂平面11AA C C ，∴平面11AAC C ⊥平面11BB C C ；(II)解：以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1C ，0，0)，1(0B0)，1(1C -，0，0)，(0A ，0， 则1(2CC =-，0，0)，则11(2AA CC ==-，0，0)，1(0AB =，(1AC =，0，， 设平面11AB A 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则113020n AB y n AA x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则1y =，0x =，∴平面11AB A 的一个法向量为(0n =，1，1)，(0OA ∴=，0为平面11BB C C的一个法向量，则cos OA <，3||||3OA n n OA n ⋅>===⋅⨯OA <，45n >=︒，∴平面11AA B 与平面11BB C C 所成的锐二面角的大小45︒．22．（12分）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3OA km =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点M ，N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN ∆的面积最小，并求出最小面积．解：（Ⅰ）在ABO ∆中，因为3,90OA OB AOB ==∠=︒，所以60OAB ∠=︒，在OAM ∆中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-⋅=，所以OM所以222cos 2OA OM AM AOM AO AM +-∠==⋅， 在OAN ∆中，sin sin()sin(90)cos ONA A AON AOM AOM ∠=∠+∠=∠+︒=∠= 在OMN ∆中，由sin30sin MN OMONA =︒∠，得1724MN ==； （Ⅱ）解法1：设AOM θ∠=，060θ︒<<︒， 在OAM ∆中，由sin sin OM OAOAB OMA=∠∠，得OM =， 在OAN ∆中，由sin sin ON OAOAB ONA=∠∠，得ON =，所以111sin 222OMN S OM ON MON ∆=⋅∠=2716sin(60)cos θθ==+︒=60θ=<<︒．当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMNS∆所以应设计15AOM∠=︒，可使OMN∆2.解法2：设AM x=，03x<<．在OAM∆中，由余弦定理得22222cos39OM AO AM AO AM A x x=+-⋅⋅=-+，所以OM222cos2OA OM AMAOMOA OM+-∠==⋅，在OAN∆中，sin sin()ONA A AON∠=∠+∠sin(90)cosAOM AOM=∠+︒=∠=由sin sinON OAOAB ONA=∠∠，得36ONx==-，所以1sin2OMNS OM ON MON∆=⋅⋅∠1122==03x<<，令6x t-=，则6x t=-，36t<<，则：27339)9)4OMNS tt∆=-+⋅=当且仅当27tt=，即t=，6x=-OMNS∆所以M的位置为距离A点6-处，可使OMN∆的面积最小，最小面积是2．。

高一数学试题（A ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}1,0,1,2,3,4M =-，{}1,2,3,5N =-，P MN =，则P 的子集共有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）A ．2πB ．πC ．2D ．13．如图所示三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线 DE ，则DE 与AB 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．平行C ．相交D ．以上均有可能4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个 几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥D ．四棱柱5．设232()3a =，231()3b =，131()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC ，若P A =PB =PC ，则点O 是△ABC 的（ ） A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心7．已知函数133,1()log ,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()4y f x x =+-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥B ．α∥β，,m n αβ⊂⊂⇒ m ∥nC ．,m n αβ⊂⊂,m ∥n ⇒α∥βD ．,m n αα⊂⊂，m ∥β，n ∥β⇒α∥β9．已知函数||()5x f x =，2()(R)g x ax x a =-∈，若((1))1f g =，则a =（ ） A ．－1B ．2C ．3D ．110．如图所示，E 是正方形ABCD 所在平面外一点，E在面ABCD 上的正投影F 恰在AC 上，FG ∥BC ，AB =AE =2，∠EAB =60°．有以下四个命题： （1）CD ⊥面GEF ；（2）AG =1；（3）以AC ，AE 作为邻边的平行四边形面积是8； （4）∠EAD =60°．其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，则二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围是 ．12．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．13．已知函数()f x 是R 上的增函数，(0,1), (3,1)A B -是其图象上的两点，那么(1)1f x +<的解集是 ． 14．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：①BD ∥平面CB 1D 1 ； ②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1 ；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°。