证明秦九韶算法

秦九韶算法介绍和实例分析具体而言，秦九韶算法通过构建一个累加器，用来存储每一次迭代计算的结果。

首先，将多项式的最高次项系数存入累加器中。

然后，通过迭代计算，将每一个次高次项的系数与上一次迭代的结果相乘，并加上该项的常数部分。

依次迭代计算，直到将所有的项都计算完毕。

最终，累加器中的值即为多项式的求值结果。

下面以一个实例来说明秦九韶算法的应用。

假设我们要求解如下多项式的值：P(x)=2x^4+3x^3-5x^2+6x-4首先，我们可以将多项式表示为累加的形式：P(x)=(((2x+3)x-5)x+6)x-4然后，我们可以使用秦九韶算法进行计算。

首先，将最高次项系数2存入累加器中。

累加器=2接下来，进行迭代计算。

首先，将累加器乘以x，并加上次高次项的常数部分3，得到结果5x+3累加器=(5x+3)然后，将累加器再次乘以x，并加上次高次项的常数部分-5，得到结果-5x^2+(5x+3)。

累加器=(-5x^2+5x+3)依次类推，进行下一次迭代计算。

最终，得到累加器的值为-4累加器=(-4)因此，多项式P(x)在x=1处的值为-4通过以上实例分析，我们可以看到，秦九韶算法通过使用累加的方式进行计算，大大减少了乘法和加法运算的次数，提高了算法的效率。

在实际应用中，秦九韶算法常用于求解多项式的值，例如在计算机图形学中，可用于求解曲线上的点的坐标。

同时，该算法还可以用于多项式的除法和求导等运算中。

总结起来，秦九韶算法是一种用于求解多项式的高效算法，通过使用累加的方式进行计算，减少了乘法和加法运算的次数。

该算法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高计算效率，同时也为其他相关运算提供了基础。

大家应该都知道著名的海伦-秦九韶公式吧,那就是根号下P(P-A)(P-B)(P-C) 注: P=(A+B+C)/2可是数学书上并没有这个公式的推导过程,本来我也不想去费脑细胞去推导这个这个公式,可是有一天我同桌和我比谁先推导出这个公式.所以我就推了一下,没想到古人的公式竟然被我在十几分钟内推导完成.以下就是我的推导过程:首先随意画一个三角形设三边分别是A,B,C做B边的高,设被高分成两条线段的B边的其中一段为X,另一段为B-X则根据勾股定理可得方程A^2-X^2=C^2-(B-X)^2A^2-X^2=C^2-B^2+2BX-X^2A^2=C^2-B^2+2BX2BX=A^2+B^2-C^2X=(A^2+B^2-C^2)/2B所以高=根号下A^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4B^2=根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2所以S三角形=高*B*0.5=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2*B^2=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4=0.5*根号下A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4=根号下1/4【A^2*B^2-(「A^2+B^2-C^2」/2)^2】=根号下(AB/2)^2-(「A^2+B^2-C^2」/4)^2=根号下(AB/2+「A^2+B^2-C^2」/4)(AB/2-「A^2+B^2-C^2」/4)=根号下(「2AB+A^2+B^2-C^2」/4)(「2AB-A^2-B^2+C^2」/4)=根号下(「A+B」^2-C^2)/4*(C^2-「A-B」^2)/4=根号下(A+B+C)/2*(A+B-C)/2*(B+C-A)/2*(A+C-B)/2=根号下P(P-2C/2)(P-2A/2)(P-2B/2) 注:P=(A+B+C)/2=根号下P(P-C)(P-A)(P-B)有了这个公式只要把三角形的三边长带入就可以求出三角形的面积。

§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。

思考1 已f(知 x)5x54x43x32x2 x1 ,求 f(5). 算法1： 需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
秦九韶算法
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知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1 已f(知 x)5x54x43x32x2
x1 ,求 f(5).
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算法1：
需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
算法2： 秦九韶算法 需要5次乘法，5次加法
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知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1 已f(知 x)5x54x43x32x2
x1 ,求 f(5).
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算法1：
需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
算法2： 秦九韶算法 需要5次乘法，5次加法
思考2 已f(知 x)7x76x65x54x4 3x32x2x1,求 f(3).
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一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
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点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法.