河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调考试(文)数学试题(解析版)

2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ，则(1+i)x+y 的值为( )A. 4B. 4+4iC. −4D. 2i2. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−5x +6≥0}，则下列结论中正确的是( )A. A ∩B =BB. A ∪B =AC. A ⊊BD. ∁R A =B3. 已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P 、Q ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△APQ 的面积为( ) A. 12B. 23C. 1D. 24. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A. 2√3B. 4√3C. 4D. 85. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A. 316B. 38 C. 516D. 7166. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣的图象向左平移m(m >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A. π3B. 2π3 C. 4π3 D. 7π37. 已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3lnπ2，则下列选项正确的是( )A. a >b >cB. c >a >bC. c >b >aD. b >c >a8. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. √2 B. 1+√2 C. 1+√3 D. 2+√39. 如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′，其中A′B′//y′轴，B′C′//x′轴．若A′B′=B′C′=3，设△ABC 的面积为S ，△A′B′C 的面积为S′，记S =kS′，执行如图②的框图，则输出T 的值( )A. 12B. 10C. 9D. 610. 如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ，则1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=( )A. 97300B. 97100C. 3100D. 110011. 过椭圆x 29+y 24=1上一点H 作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点，则△POQ 面积的最小值为( )A. 12B. 43C. 1D. 2312. 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：①f(x)=x +1x (x >0)； ②f(x)=lnx(0<x <e)； ③f(x)=cosx ； ④f(x)=x 2−1.其中为“柯西函数”的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }的第5项是二项式(√x −13x )6展开式的常数项，则a 3a 7=______． 14. 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,12)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x,y)满足不等式0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，则W =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______． 15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +1=2a n ，则使不等式a 12+a 22+⋯+a n 2<5×2n+1成立的n 的最大值为______．16. 若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB =CD ，AC =BD ，AD =BC ，则______.(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD 每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，．且sinAsinC=34(Ⅰ)求角B的大小；,1)，当m⃗⃗ ⋅n⃗取最小值时，判断△ABC的(Ⅱ)设向量m⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n⃗=(−125形状．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．(1)求证：BD⊥PC；(2)设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF//平面PAD，求AF的长；(3)求二面角A−PC−B的余弦值．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．(1)若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05269370602235851513920351597759567806835291057074079710882309984299646171629915065129169358 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43(2)若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和： (3)若采用分层轴样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，∠F 1MF 2=60°，P 为椭圆上任意一点，且△PF 1F 2的面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点A ，B 为椭圆C 上的两个不同的动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(O 为坐标原点)，则是否存在常数t ，使得O 点到直线AB 的距离为定值？若存在，求出常数t 和这个定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2．(1)当a =2时，求函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)令g(x)=f(x)+ax ，若y =g(x))在区间(0,3)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当a =2时，函数ℎ(x)=f(x)−mx 的图象与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，且0<x 1<x 2，又ℎ′(x)是ℎ(x)的导函数．若正常数α，β满足条件α+β=1，β≥α.试比较与0的关系，并给出理由．22. 选修4−4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√3ρsinθ=1． (Ⅰ)写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；(Ⅱ)若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：{x =3+2ty =−2+t (t 为参数)距离的最小值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −5|，x ∈R ．(Ⅰ)求不等式f(x)≤x +10的解集；(Ⅱ)如果关于x 的不等式f(x)≥a −(x −2)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x −2)i −y =−1+i ， ∴{x −2=1−y =−1，解得x =3，y =1， ∴(1+i)x+y =(1+i)4=(2i)2=−4． 故选：C ．利用复数相等的性质求出x ，y ，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果． 本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：由x 2−5x +6≥0，化为(x −2)(x −3)≥0，解得x ≥3，x ≤2，∴B ={x|x ≥3,x ≤2}， ∴A ⊊B ， 故选：C ．由x 2−5x +6≥0，解得x ≥3，x ≤2，本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知，P 为AC 的中点，QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图： 因为S △ABC =12AB ⋅ACsinA =2．所以S △APQ =12AP ⋅AQsinA =12×12AB ⋅23ACsinA =23．故选：B ．画出△ABC ，通过足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，标出满足题意的P 、Q 位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力． 4.【答案】C【解析】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为√32，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成， 底面边长为1，侧棱长为：√52，所以几何体的表面积为：8×12×1×1=4．故选：C ．由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键． 根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可． 【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成， 则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形， 则对应概率P =716， 故选D ．6.【答案】C【解析】解：定义运算：∣∣∣a 1a 2a3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣∣∣√3cos x21sin x 2∣∣∣∣∣化为： f(x)=√3sin x 2−cos x 2=2sin(x −π6)再向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；又因为新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x =0时函数值为最大或最小值，即：sin (m2−π6)=1；或sin (m2−π6)=−1； 所以：m2−π6=kπ+π2，k ∈Z ；即m =2kπ+4π3，k ∈Z ；又m >0，所以m 的最小值是：4π3 故选：C ．由题表达函数f(x)=√3sin x2−cos x2=2sin(x −π6)；向左平移m(m >0)个单位即为：g(x)=f(x +m)=2sin(x+m 2−π6)；利用新函数g(x)为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质． 7.【答案】D【解析】【分析】 由a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 【解答】 解：a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．设f(x)=lnxx，则，当x=e时，，当x>e时，，当0<x<e时，0'/> ∴f(x)在(e,+∞)上，f(x)单调递减，∵e<3<π<4，∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．8.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标(1,0)，所以双曲线中，c=1，又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=−1，根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，因此A点坐标为(1,2)，由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e=ca =2c2a=|F1F2||AF1−AF2|=2√2−2=√2+1．故选：B．求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′=B′C′=3，∴S′=12A′B′⋅B′C′⋅sin45°=9√24由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB=6.BC=3，且AB⊥BC∴S=12AB⋅BC=9则由S=kS′得k=2√2，则T=T=√22k(m−1)=2(m−1)故执行循环前，S=9，k=2√2，T=0，m=1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=0，m=2当T=0，m=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=2，m=3当T=2，m=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=6，m=4当T=6，m=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=12，m=5当T=12，m=5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T=12，故输出的结果为12故选：A．由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10.【答案】A【解析】解：a 3=12，a 4=20，a 5=30，猜想a n =n(n +1)(n ≥3,n ∈N +)， 所以1a n=1n(n+1)=1n −1n+1，所以1a 3+1a 4+1a 5+⋯+1a 99=(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(199−1100)=13−1100=97300，故选：A ．先观察图形再结合归纳推理可得解．本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题． 11.【答案】D【解析】解：∵点H 在椭圆x 29+y 24=1上，∴H(3cosθ,2sinθ)，∵过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，∴直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，∵过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分布交于点P ，Q 两点， ∴P(23cosθ,0)，Q(0,1sin θ)，∴△POQ 面积S =12×23cosθ×1sin θ=23×1sin2θ，∵−1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=1时，△POQ 面积取最小值23． 由点H 在椭圆x 29+y 24=1上，知H(3cosθ,2sinθ)，由过椭圆x 29+y 24=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x 2+y 2=2的两条切线，点A ，B 为切点，知直线AB 的方程为：(3cosθ)x +(2sinθ)y =2，由此能求出△POQ 面积最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 12.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x 1，y 1，x 2，y 2：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≤0恒成立(当且仅当存在实数k ，使得x 1=kx 2，y 1=ky 2取等号)，又函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0， 则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线；设AB 的方程为y =kx ，对于①，由于y =kx(x >0)与f(x)=x +1x 只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y =kx 与f(x)=lnx(0<x <e)最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A(0,0)，点B 任意，均满足定义，所以③是柯西函数； 对于④，取A(−1,0)，B(1,0)，均满足定义，所以④是柯西函数． 故选：B ．由“柯西函数”得函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2由)，使得OA⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即存在点A 、B 与点O 共线，判断满足条件即可． 本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．13.【答案】259【解析】解：二项式(√x −13x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−13)r ⋅x 3−3r2，令3−3r 2=0，求得r =2，故展开式的常数项为C 62⋅19=53．等比数列{a n }的第5项a 5=53，可得a 3a 7=(a 5)2=259，故答案为：259．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n }的第5项，再利用等比数列的性质求得a 3a 7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题． 14.【答案】4【解析】解：由题得：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)． ∵0≤OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1，0≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1． ∴{0≤ x +12y ≤ 10≤y ≤1⇒{0≤2x +y ≤20≤y ≤1 ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3y =(2x +y)+2y ； ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,4]． ∴所求最大值为4． 故答案为：4．利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P 的坐标满足的不等式，将 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质． 15.【答案】4【解析】解：当n =1时，a 1+1=2a 1，解得a 1=1．当n ≥2时，∵S n +1=2a n ，S n−1+1=2a n−1，∴a n =2(a n −a n−1)，∴ana n−1=2．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴a n =2n−1，∴a n 2=4n−1．∴a 12+a 22+⋯+a n 2=1+4+42+⋯+4n−1=4n −14−1=13(4n −1).∴13(4n −1)<5×2n+1．∴2n (2n −30)<1，可知使得此不等式成立的n 的最大值为4．利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式即可得出a n ，利用等比数列的前n 项和公式即可得出a 12+a 22+⋯+a n2，再化简即可得出答案． 熟练掌握a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16.【答案】①③④【解析】解：由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成 的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确； 当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直， 则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线 必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确； 由AC =BD ，AB =CD ，AD =BC ，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD 的三边长，则④正确． 故答案为：①③④．由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为a 、b 、c 成等比数列，则b 2=ac.由正弦定理得sin 2B =sinAsinC ． 又sinAsinC =34， 所以sin 2B =34． 因为sinB >0， 则sinB =√32．因为B ∈(0,π)， 所以B =π3或2π3．又b 2=ac ，则b ≤a 或b ≤c ，即b 不是△ABC 的最大边， 故B =π3．(Ⅱ)因为向量m ⃗⃗ =(cosA,cos2A)，n ⃗ =(−125,1)，所以m⃗⃗ ⋅n ⃗ =−125cosA +cos2A =−125cosA +2cos 2A −1=2(cosA −35)2−4325，所以当cosA=35时，m⃗⃗ ⋅n⃗取的最小值−4325．因为12<cosA=35<√32，所以π6<A<π3．因为B=π3，所以A+B>π2．从而△ABC为锐角三角形．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；(Ⅱ)根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.【答案】(1)证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．(2)解：取DC中点G，连接FG，则EG//平面PAD，∵直线EF//平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG//平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG//平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60°，DG=2√33，∴AF=1(3)解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4,0，0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0,0，4)． DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，则 ∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,−4)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−4)， ∴{2x +2√3y −4z =04x −4z =0， 令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,3)， 设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√77． ∴二面角A −PC −B 余弦值为√77．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PAC ，可得BD ⊥PC ；(2)设取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG//平面PAD ，可得FG//平面PAD ，求出AD =CD ，即可求AF 的长；(3)建立空间直角坐标系，求出平面PAC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A −PC −B 的余弦值．本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是： 512，916(超界)，935(超界)，805，770，951(超界)， 512(重复)，687，858，554，876，647，547，332． 将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876， 所以中位数为12×(647+687)=667；(2)由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和， 即S 10=10×8+10×9×902=4130；(3)记样本中8个A 题目成绩分别为x 1，x 2，…x 8，2个B 题目成绩分别为y 1，y 2，由题意可知∑x i 8i=1=8×7=56，∑(8i=1x i −7)2=8×4=32，∑y i 2i=1=16，∑(2i=1y i −8)2=2×1=2，故样本平均数为x −=18+2×(∑x i 8i=1+∑y i 2i=1)=110×(56+16)=7.2；样本方差为s 2=18+2×[∑(8i=1x i −7.2)2+∑(2i=1y i −7.2)2]=110×{∑[8i=1(x i −7)−0.2]2+∑[2i=1(y i −8)+0.8]2} =110×[∑(8i=1x i −7)2−0.4∑(8i=1x i −7)+8×0.22+∑(2i=1y i −8)2+1.6∑(2i=1y i −8)+2×0.82]=110×(32−0+0.32+2+0+1.28) =3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】(1)由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数(2)按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．(3)分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题． 20.【答案】解：(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时， 设其直线方程为：y =kx +n ， 则原点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +n， 化简得，(4k 2+3)x 2+8knx +4n 2−12=0， 由△>0得4k 2−n 2+3>0， 则x 1+x 2=−8kn4k 2+3，x 1x 2=4n 2−124k 2+3，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+n)(kx 2+n)=(k 2+1)x 1x 2+kn(x 1+x 2)+n 2=t即(7d 2−12−4t)k2+7d 2−12−3t =0对任意的k ∈R 恒成立，则{7d 2−12−4t =07d 2−12−3t =0，解得t =0，d =2√217，当直线AB 斜率不存在时，也成立．故当t =0时，O 点到直线AB 的距离为定值d =2√217．【解析】(Ⅰ)由题得，{ca=1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，即可求出椭圆方程， (Ⅱ)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，当直线AB 的斜率存在时，设其直线方程为：y =kx +n ，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=2lnx −x 2， 可得f′(x)=2x−2x =2−2x 2x，函数f(x)在[12,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以f(1)取得最大值，且为−1； (2)因为g(x)=alnx −x 2+ax ， 所以g′(x)=ax −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增， 所以在(0,3)上恒成立， 即有a ≥2x 2x+1在(0,3)的最大值，由y =2x 2x+1的导数为y′=2x 2+4x (x+1)2>0，则函数y =2x 2x+1在(0,3)递增，可得y <92，则a ≥92；(3)由题意可得，ℎ′(x)=2x −2x −m ，又f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，∴2lnx 1−x 12−mx 1=0，2lnx 2−x 22−mx 2=0，两式相减，得2(lnx 1−lnx 2)−(x 12−x 22)=m(x 1−x 2)， ∴m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，于是=2αx 1+βx 2−2(αx 1+βx 2)−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(x 1+x 2)=2αx1+βx 2--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，∵β≥α，∴2α≤1，∴(2α−1)(x 2−x 1)≤0．可得ℎ′(αx 1+βx 2)<0． 要证：ℎ′(αx 1+βx 2)<0， 只需证：2αx1+βx 2−2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2<0，只需证：x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x 1x 2>0.(∗)令x 1x 2=t ∈(0,1)， ∴(∗)化为1−tαt+β+lnt <0， 只证u(t)=1−t αt+β+lnt 即可． ∵u′(t)=1t +−(αt+β)−(1−t)α(αt+β)2=1t−1(αt+β)2=α2(t−1)(t−β2α2)t(αt+β)2，又∵β2α2≥1，0<t <1，∴t −1<0，∴u′(t)>0，∴u(t)在(0,1)上单调递增，故有u(t)<u(1)=0，∴1−tαt+β+lnt <0，即x 1−x 2αx 1+βx 2−ln x1x 2>0．∴ℎ′(αx 1+βx 2)<0．【解析】(1)当a =2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y =f(x)在[12,2]上的最大值；(2)先求得g′(x)=a x −2x +a ，因为g(x)在区间(0,3)上单调递增，所以在(0,3)上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a 的范围； (3)ℎ′(αx 1+βx 2)<0.理由：由题意可得，f(x)−mx =0有两个实根x 1，x 2，化简可得m =2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2−(x 1+x 2)，可得--2(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2+(2α−1)(x 2−x 1)，由条件知(2α−1)(x 2−x 1)≤0，再用分析法证明ℎ′(αx 1+βx 2)<0．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．22.【答案】解 (1)∵P 点的极坐标为(2√3,π6)，∴x P =2√3cos π6=2√3×√32=3，y P =2√3sin π6=2√3×12=√3．∴点P 的直角坐标(3,√3)把ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入ρ2+2√3ρsinθ=1可得x 2+y 2+2√3y =1，即x 2+(y +√3)2=4∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y +√3)2=4．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =−√3+2sinθ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x −2y −7=设Q(2cosθ,−√3+2sinθ)，则线段PQ 的中点M(32+cosθ,sinθ)． 那么点M 到直线l 的距离d =|32+cosθ−2sinθ−7|√12+22=|cosθ−2sinθ−112|√5=√5sin (θ−φ)+112√5．≥−√5+112√5=11√510−1，∴点M 到直线l 的最小距离为11√510−1．【解析】(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ即可得出；(2)利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)={−2x +4(x ≤−1)6(−1<x ≤5)2x −4(x >5)，当x ≤−1时，应有−2x +4≤x +10，解不等式得−2≤x ≤−1， 当−1<x ≤5时，应有6≤x +10，解不等式得−1<x ≤5， 当x >5时，应有2x −4≤x +10，解不等式得5<x ≤14， 综上可得，不等式f(x)≤x +10的解集为[−2,14]．(Ⅱ)设g(x)=a −(x −2)2，由函数f(x)与g(x)的解析式，可得f(x)在x ∈[−1,5]上取最小值为6，g(x)在x =2时取最大值为a ， 若f(x)≥g(x)恒成立，则a ≤6．【解析】本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题． (Ⅰ)化简f(x)的解析式，分类讨论求得不等式f(x)≤x +10的解集． (Ⅱ)由题意可得f(x)在x ∈[−1,5]上的最小值大于或等于g(x)的最大值．。

2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。

3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。

【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。

5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。

【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。

2019届河北省衡水中学高三下学期六调数学（理）试题一、单选题1．已知x ，y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ）A ．4B ．44i +C ．-4D ．2i【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，21{1x y -=-=-，∴31x y =⎧⎨=⎩，∴42(1)(2)4i i +==-，故选C 【考点】本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{}2|560B x x x =-+≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．AB B =B ．A B A ⋃=C ．A B ⊂D ．RA B =【答案】C【解析】【详解】试题分析：由2{|560}B x x x =-+≥得，故A B ⊂，选项为C.【考点】集合间的关系.3．已知ABC ∆的面积为2,在ABC ∆所在的平面内有两点P 、Q ,满足0PA PC +=,2QA BQ =,则APQ ∆的面积为（ ）A ．12 B ．23C ．1D ．2【答案】B【解析】画出ABC ∆,通过0PA PC +=,2QA BQ =标出满足题意的,P Q 位置,利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解:由题意0PA PC +=可知,P 为AC 的中点,2QA BQ =,可知Q 为AB 的一个三等分点,如图：所以11122sin sin22233 APQS AP AQ A AB AC A∆=⋅=⨯⋅=.故选:B.【点睛】本题考查向量在几何中的应用,三角形的面积的求法,考查转化思想与计算能力.4．如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为3,且一个内角为60︒的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为（）A．3B．3C．4 D．8【答案】C【解析】由题意求出菱形的边长,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成,求出正四棱锥侧面积,即可求解.【详解】解:一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32,且一个内角为60︒的菱形,所以菱形的边长为：1,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成, 底面边长为1,5,所以几何体的表面积为：181142⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题是基础题,考查三视图推出几何体的判断,几何体的表面积的求法,注意视图的应用.三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．3 16B．38C．516D．716【答案】D【解析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为1则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：1111224⨯⨯=直角梯形面积为：12223242416⎛⨯+⨯=⎝⎭∴黑色部分面积为：13741616+=则所求概率为：77161116=⨯本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6．定义运算：12142334a aa a a aa a=-，将函数3cos2()xf xx=的图像向左平移m(0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】试题分析：12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=-⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-=⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.【考点】对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质. 7．已知，，，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由，，，则a ，b ，c 的大小比较可以转化为的大小比较．设f （x ），则f ′（x ），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较． 【详解】，，，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为的大小比较．设f （x ）， 则f ′（x ），当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∴，∴b ＞c ＞a ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题． 8．双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．9．如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC 的直观图A B C '''，其中//y A B '''轴，B C //x '''轴.若B C 3A B ''''==，设ABC 的面积为S ，A B C '''的面积为S '，记S kS '=，执行如图②的框图，则输出T 的值A ．12B ．10C ．9D ．6【答案】A【解析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S 及k 值，模拟程序的运行过程，【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′12=A′B′•B′C′•sin45°924=由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S12=AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝22，则T＝T2k+（m﹣1）＝T+2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝22，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n a，则345991111a a a a+++⋯+=（）A．97；B．97；C．3；D．1【解析】34512,20,30a a a ===，猜想(1)(3,)n a n n n n N *=+≥∈,1111(1)1n a n n n n ∴==-++, 345991*********111197()()()()344556991003100300a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-=,故选A.11．过椭圆22194x y +=上一点H 作圆222x y +=的两条切线,点A ,B 为切点,过A ,B的直线l 与x 轴,y 轴分布交于点P ,Q 两点,则POQ ∆面积的最小值为（ ） A ．12B ．43C ．1D ．23【答案】D【解析】由点H 在椭園22194x y +=上,知(3cos ,2sin )H θθ,由点(3cos ,2sin )H θθ作圆222x y +=的两条切点,点A ,B 为切点,知直线AB 的方程为：3cos 2sin2x y ,由此能求出POQ ∆面积最小值.【详解】解:∵点H 在椭圆22194x y +=上,∴(3cos ,2sin )H θθ,∵过椭圆22194x y +=上一点(3cos ,2sin )H θθ作圆222x y +=的两条切线,点A ,B 为切点,∴直线AB 的方程为：(3cos )(2sin )2x y θθ+=, ∵过A ,B 的直线l 与x 轴,y 轴分布交于点P ,Q 两点, ∴2,03cos P θ⎛⎫⎪⎝⎭,10,sin Q θ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴POQ ∆面积1212123cos sin 3sin 2S =⨯⨯=⨯θθθ, ∵1sin 21θ-≤≤,∴当sin 21θ=时,POQ ∆面积取最小值23.本题考查三角形面积的最小值的求法,具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.12．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数：①1()f x x x=+（0x >）;②()ln f x x =（0x e <<）;③()cos f x x =;④2()1f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1122,,,x y x y ,12120x x y y +≤恒成立（当且仅当存在实数k ,使得1212,x kx y ky 取等号）,若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,其坐标满足条件：1212x x y y +0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y 使得,OA OB 共线,即存在点A 、B 与点O 共线逐一判定即可. 【详解】解:由柯西不等式得：对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ：12120x x y y +恒成立（当且仅当存在实数k ,使得12x kx =,12y ky =取等号）,又函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,满足条件：1212x x y y +0, 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA 、OB 共线, 即存在点A 、B 与点O 共线;设AB 的方程为y kx =,对于①,由于y kx =（0x >）与1()f x x x=+只有一个交点,所 以①不是柯西函数;对于②,由于y kx =与()ln f x x =（0x e <<）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数; 对于③,取(0,0)A ,点B 任意,均满足定义,所以③是柯西函数; 对于④,取(1,0)A -,(1,0)B ,均满足定义,所以④是柯西函数.【点睛】本题考查了柯西不等式的新定义,关键是弄清楚新定义的含义,属于中档题.二、填空题 13．若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】 【解析】，则其常数项为，所以，则14．已知在平面直角坐标系中，(0,0)O ，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)N ，(2,3)Q ，动点(,)P x y 满足不等式01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤，则w OQ OP =⋅的最大值为________. 【答案】4【解析】试题分析：∵(0,0)O ，1(1,)2M ，(0,1)N ，(2,3)Q ，01OP OM ≤⋅≤，01OP ON ≤⋅≤∴1012x y ≤+≤，01y ≤≤ 又∵(2,3)Q ∴23w OQ OP x y =⋅=+故本例转化为在线性约束条件1021{1201x y x y y +≥+≤≤≤下，求线性目标函数23w OQ OP x y =⋅=+的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点T 时为最优解.∵11{2x y +=即1(,1)T ∴max 12314w =⨯+⨯=【考点】线性规划.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式22211252n n a a a ++++<⨯成立的n 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，1121a S =+，得11a =， 当2n ≥时，112()n n n n n a a S S a ---=-=，所以12nn a a -=，所以12n n a -=， 又因为11a =适合上式，所以12n n a -=，所以214n n a -=， 所以数列{}2n a 是以211a =为首项，以4为公比的等比数列，所以222121(14)1(41)143n nn a a a ⨯-+++==--，所以11(41)523nn +-<⨯，即，易知n 的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD =，AC BD =，AD BC =，则________.（写出所有正确结论的编号） ①四面体ABCD 每个面的面积相等 ②四面体ABCD 每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长 【答案】①③④【解析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可． 【详解】由题意可知四面体ABCD 为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等， 它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直， 则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线 必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确； 由AC BD =，AB CD =，AD BC =，可得过四面体任意一点的三条棱的长为ABD 的三边长，则④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题17．设ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3sin sin 4A C =. （I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos ,cos 2)m A A =，12,15n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当m n ⋅取最小值时，判断ABC ∆的形状.【答案】（I ）3B π=；（Ⅱ）ABC ∆为锐角三角形.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B 的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状． 【详解】（I ）因为a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =.由正弦定理得2sin sin sin B A C =. 又3sin sin 4A C =，所以23sin 4B =·因为sin 0B >，则3sin B =. 因为()0,B π∈，所以3B π=或23π. 又2b ac =，则221cos 222a c ac ac B ac ac +-=≥=，当且仅当a=c 等号成立，即03B π<≤故3B π=.（Ⅱ）因为12cos cos25m n A A ⋅=-+， 所以2212343cos 2cos 12cos 5525m n A A A ⎛⎫⋅=-+-=--⎪⎝⎭.所以当3cos 5A =时，m n ⋅取得最小值.此时133cos (0)25A A π<=<<<，于是63A ππ<<.又32B A B ππ=⇒+>，从而ABC ∆为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．在四棱锥AB 中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，CDA 120︒∠=.（1）求证：BD PC ⊥；（2）设E 为PC 的中点，点F 在线段AB 上，若直线EF //平面PAD ，求AF 的长；（3）求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）7. 【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面P AC ，可得BD ⊥PC ；（2）取DC 中点G ，连接FG ，证明平面EFG ∥平面P AD ，可得FG ∥平面P AD ，证明三角形AMF 为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面P AC 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值． 【详解】（1）∵ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， ∴BM AC ⊥，即BD AC ⊥.又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥. 又PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC . ∴BD PC ⊥.（2）取DC 中点G ，连接FG ，则EG //平面PAD ，又直线EF //平面PAD ，EG∩EF=E,所以平面EFG //平面PAD ，所以FG //AD∵M 为AC 中点，DM AC ⊥，∴AD CD =.∵ADC 120︒∠=，AB 4=，∴BAD BAC CAD 90︒∠=∠+∠=，则三角形AMF 为直角三角形，又60AMF ︒∠=，故AF 1=（3）分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，∴()B 4,0,0，()C 2,23,0，43D 0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()P 0,0,4. 434,DB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的法向量. ()2,23,4PC =-，()4,0,4PB =-.设平面PBC 的一个法向量为()n x,y,z =，则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22340440x yz x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3z =，得x 3=，3y =，则平面PBC 的一个法向量为()3,3,3n =，设二面角A PC B --的大小为θ，则7cos ||n PB n PB θ⋅==⋅.所以二面角A PC B --余弦值为77.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19．在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A ,B 两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001—900.（1）若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以加粗的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样,且样本中最小编号为08,求样本中所有编号之和： （3）若采用分层轴样,按照学生选择A 题目或B 题目,将成绩分为两层,且样本中A 题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4：样本中B 题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667； （2）4130； （3）平均数为7.2，方差为3.56.【解析】（1）根据题意读出的编号,将有效编号从小到大排列,由此能求出中位数。

河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调考试（文）数学试题一、单选题(★) 1 . 设全集U＝{ |﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4(★) 2 . 设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（）A．B．C．D．(★) 3 . 命题“ ，且”的否定形式是（）A．，且B．，或C．，或D．，且(★★) 4 . 直线 l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ()A．B．C．D．(★★) 5 . 等比数列中，，，函数，则（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知、满足约束条件，则的最小值为（）A．5B．12C．6D．4(★★★★) 7 . 把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（）A．B．C．10D．30(★) 8 . 法国机械学家莱洛（1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．(★★) 9 . 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 在，角，，的边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（）A．B．1C．3D．(★) 11 . 如图，汉诺塔问题是指有3根杆子，，. 杆子有若干碟子，把所有碟子从杆移到杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面.把杆上的4个碟子全部移到杆上，最少需要移动（）次.A．12B．15C．17D．19(★★★★) 12 . 已如函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则的值为（）A．2B．-1C．1D．2二、填空题(★) 13 . 已知，，若任意非零向量与共线，则________. (★★) 14 . 已知，，满足，则的最大值为________.(★★) 15 . 已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.(★★) 16 . 已知函数，则函数的最小值是________.三、解答题(★★) 17 . 已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.（1）求；（2）.设，仅当时，最大，求.(★★) 18 . 在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.（1）现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的成绩为85分钟.若甲被选取,求被选取的其余4名选手的成绩的平均数；（2）若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性.试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差.(★★) 19 . 如图，在三棱柱，中，四边形是矩形，平面平面.（1）证明：；（2）若. . . 是线段上的一点，且三棱锥的体积为，求的值(★★★★) 20 . 已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为. （1）若，过点，的直线与抛物线相交于另一点，求的值：（2）若直线与抛物线相交于，两点，与圆相交于，两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(★★★★) 21 . 已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.(★★) 22 . 已知直线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别求直线和曲线的极坐标方程；（2）若射线：分别交直线和曲线于，两点（点不同于坐标原点），求的最大值.(★★) 23 . 已知函数.（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；（2）若，方程有两个不同的实数解，求的取值范围.。

(完整word版)河北衡水中学2019年高三第六次重点考试数学(理)试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)河北衡水中学2019年高三第六次重点考试数学(理)试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)河北衡水中学2019年高三第六次重点考试数学(理)试题的全部内容。

河北衡水中学2019年高三第六次重点考试数学（理)试题(理科试卷)【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，那么A B =（ )A 、()0,2B 、[]0,2C 、{}0,2D 、{}0,1,22、假如复数miim -+12是实数，那么实数=m （ )A 。

1- B. 1 C. 2- D 。

23、焦点为〔0，6〕且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是〔 〕 A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D 。

1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，假设2a =,2b =，sin cos 2B B +=，那么角A的大小为( ）A 、 060B 、 030C 、 0150D 、0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域,E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域。

在D 中随机取一点，那么该点在E 中的概率为〔 〕A 、15B 、14C 、 13D 、126. 利用如下图的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，那么打印的点落在坐标轴上的个数是〔 〕A 。