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可交换矩阵的几个充要条件及其性质

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矩阵可交换性的应用讲解

矩阵可交换性的应用讲解

2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。

指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。

关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。

可交换矩阵的性质及应用

可交换矩阵的性质及应用

可交换矩阵的性质及应用
孟献青;张英;乔世东
【期刊名称】《山西大同大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(029)002
【摘要】如果矩阵的乘积满足交换律,则称矩阵是可交换的.文章研究了可交换矩阵的性质,并给出了可交换矩阵的一些应用.
【总页数】3页(P6-8)
【作者】孟献青;张英;乔世东
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009
【正文语种】中文
【中图分类】R742.1
【相关文献】
1.可交换矩阵空间上矩阵函数的一些性质 [J], 马翠云
2.线性变换及矩阵可交换的性质与应用 [J], 曾梅兰
3.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 [J], 戴立辉;颜七笙;刘龙章
4.与矩阵A可交换的全体矩阵的性质 [J], 丁晓业;李红菊;何健
5.可交换矩阵和反可交换矩阵的几个性质 [J], 贾经纬; 唐俊
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与矩阵A可交换的全体矩阵的性质

与矩阵A可交换的全体矩阵的性质
第 ３５ 卷 第 ７ 期
（自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．３５ Ｎｏ．７
２０１９年７月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｌ．２０１９
与矩阵犃 可交换的全体矩阵的性质
丁 晓 业１， 李 红 菊１， 何 健２
（１． 安徽新华学院通识教育部，安徽 合肥 ２３００８８；２． 吉首大学数学系，湖南 吉首 ４１６０００）
摘要：目的 针对一些满足特殊条件的可交换矩阵，研究与矩阵 犃 可交换的全体矩阵的性质。方法 从
可交换矩阵的概念出发，给出矩阵可交换的条件。再通过一些特殊的矩阵，利用可交换矩阵的定义和矩阵的乘
犫２１
犫２２
… 犫１狀燄
…
犫２狀
，则称矩阵 （犮犻犼）犿×狀
燀犪犿１ 犪犿２ … 犪犿狊燅
燀犫狊１ 犫狊２ … 犫狊狀燅
来稿日期：２０１８ ０７ １１ 基 金 项 目 ： 安 徽 新 华 学 院 校 级 重 点 教 研 项 目 （２０１６ｊｙ００８） 作 者 简 介 ： 丁 晓 业 （１９９０）， 男 ， 安 徽 省 合 肥 市 人 ， 硕 士 ， 助 教 ， 研 究 方 向 为 代 数 学 与 矩 阵 理 论 。
·１·
２０１９年７月 河北北方学院学报 （自然科学版） 第７期
为矩 阵 犃 与 矩 阵 犅 的 乘 积 矩 阵。记 作 犃犅，即 犃犅 ＝ （犮犻犼）犿×狀，其 中犮犻犼 ＝ 犪犻１犫１犼 ＋犪犻２犫２犼 ＋ … ＋犪犻狊犫狊犼 ＝
狊
∑犪犻犽犫犽犼（犻＝１，２，…，犿；犼＝１，２，…，狀）。乘积矩阵 犃犅 读作犃 左乘犅 或右乘犃。
般地，矩阵的乘法不满足交换律，即 犃犅 ≠ 犅犃 。但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，即

可逆矩阵的充要条件

可逆矩阵的充要条件

可逆矩阵的充要条件
1.可逆矩阵的充要条件：
a. 矩阵的行列式不等于0 ：可逆矩阵的行列式的值任何一个都不能为0，所以可以利用行列式来判断矩阵是否可逆，若行列式值不为0，即表示该矩阵可逆。

b. 零空间中只有0向量：只有矩阵的零空间中只有0向量，才能保证矩阵能准确的求逆，一旦矩阵空间中有非0向量，则表明该矩阵不能可逆。

c. 矩阵的列向量是线性无关的：任意的矩阵的列向量必须是线性无关的，这样列向量可以组成一个正交矩阵，即基底可逆，只有基底可逆时才能满足可逆矩阵的充要条件。

d. 可逆矩阵形式：一个可逆矩阵有一种特殊形式，它可以用有限多个特殊矩形，这些矩形是行列式值不为0、且零空间中只有0向量，且列向量基底可逆等条件组成的，这就是可逆矩阵的形式。

总之，要满足可逆矩阵的充要条件，需要矩阵行列式不等于0、零空间中只有0向量和列向量是线性无关的，此外，还要满足可逆矩阵的特殊形式，由以上条件共同构成可逆矩阵的充要条件。

线性代数第二章矩阵及其运算2-3

线性代数第二章矩阵及其运算2-3

二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
阵Ｂ，使得 AB＝BA＝E （３） 则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
A A 2E O,
2
4 移项 得 A 1 1 分解因式 得
2 1 2
3 2 A 2E, A AB A 2 B, 求 B. 0 , AB A 2 B, 求 B. 3
A( 得 解 已知方程变形A E) 2E,
例 3 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明
练习： 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得： A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
伴随矩阵法.
练习： A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 ）
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习： A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( A) 若AB=0，则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )

矩阵等价的充要条件是什么 有哪些性质

矩阵等价的充要条件是什么 有哪些性质

矩阵等价的充要条件是什么有哪些性质
矩阵等价的充要条件是同型矩阵且秩相等。

相像必定等价，等价不肯定相像。

两矩阵等价，秩相等，列向量，行向量极大线性无关组数相等。

等价矩阵的性质
1.矩阵A和A等价(反身性）；
2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。

(K为非零常数)
5.具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
6.对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

两个矩阵等价可以推出什么
依据矩阵等价的充要条件，两个矩阵有相同的秩，可知n阶方阵A与单位方阵E等价的充要条件是：A秩=E秩=n。

也就是说A可以通过有限次初等变换得到E，而|E|=1. 由行列式初等变换的原理，可以知道，必存在一个非零的数k，使得|A|=k|E|不等于0，因此|A|不等于0是A和E等价的充要条件。

我们可以由两个矩阵等价推出：
1、它们有相同的行数和列数；
2、它们的秩相同；
3、它们与同一标准型矩阵等价；
4、假如它们是同阶方阵，则它们所对应的行列式同时等于0或同时不等于0；
5、可以通过有限次初等变换，由其中一个矩阵得到另外一个矩阵。

线代学习指导 第二章 矩阵

线代学习指导 第二章 矩阵

（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换 矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）； （3） 某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩 阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则

可交换的矩阵

可交换的矩阵
非零特征根，相当于没有 A1 那
块． 此时，A = PJ（ 0，k0） P －1，由上面的过程易知 A* = An－1．
矩阵是研究有限维代数的一个有力工具． 本文研究矩阵代数中一个小知识点—可交换的矩阵． 但 是对矩阵 A 与 B 来说若有 AB = BA，则称 A 与 B 可交换．可交换的阵必为同阶方阵． 关于可交换阵，最常 见的结论是数量阵与同阶方阵都可交换，还有就是任一方阵都与其多项式可交换． 由于 AA* = A* A = | A | I，故 A* 与 A 可交换． 另外，当矩阵 A 可逆时，A －1 与 A 可交换． 本文证明方阵的伴随阵也是其多项 式． 一般地，与 A 可交换的阵并不一定是 A 的多项式． 本文还刻画了与其可交换的阵一定是其多项式的 矩阵．
=
（ － λ1） k1… （ － λs） ks
＊
＊
＊
（
－
λ1）
k1… （
－
λs）
ks
，
于
是，
（
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（
J（
0，k0 ）
）
J
（ 0，k0 ） k0－1 = B4 ．
因此令 g（ λ）
= （
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（ λ） λk0－1 ，则 A*
f（ A） = An + a1An－1 + … + an－1A + anI = 0， 故 A（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） = － an I，于是 A －1 = － an－1（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） ．

正交矩阵交换律

正交矩阵交换律

正交矩阵交换律正交矩阵交换律是线性代数中一个重要的性质，它在许多领域中都有广泛的应用。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的转置矩阵等于它的逆矩阵。

交换律是指两个矩阵相乘的顺序可以交换，即 AB = BA。

在正交矩阵中，交换律具有特殊的性质，本文将从几个方面来介绍正交矩阵交换律的应用。

正交矩阵交换律在几何变换中有重要的应用。

正交矩阵可以表示旋转、镜像和反射等几何变换。

当两个正交矩阵相乘时，它们表示的几何变换可以按照不同的顺序进行。

例如，设矩阵 A 表示绕某一轴的旋转变换，矩阵 B 表示绕另一轴的旋转变换，则 AB 表示先进行A 变换，再进行 B 变换，而 BA 则表示先进行 B 变换，再进行 A 变换。

正交矩阵交换律保证了这两种顺序的变换结果是相同的，即旋转的顺序可以交换而不改变最终的变换结果。

正交矩阵交换律在物理学中也有广泛的应用。

正交矩阵可以表示坐标系的变换，而坐标系的变换在物理学中是非常常见的。

例如，我们可以用正交矩阵将一个物体的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系中。

当两个正交矩阵相乘时，它们表示的坐标系变换可以按照不同的顺序进行。

正交矩阵交换律保证了不同顺序的坐标系变换结果是相同的，即坐标系的变换顺序可以交换而不改变最终的结果。

正交矩阵交换律还在信号处理中有重要的应用。

信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）都可以通过正交矩阵来表示。

当多个信号进行混合时，可以使用正交矩阵将它们分离开来。

正交矩阵交换律保证了信号混合的顺序可以交换而不改变最终的分离结果。

这在语音识别、图像处理和通信系统等领域中都有重要的应用。

正交矩阵交换律还在密码学中有一些应用。

密码学中的置换和代换都可以用正交矩阵来表示。

当多个加密操作进行组合时，正交矩阵交换律保证了不同顺序的加密操作结果是相同的，即加密操作的顺序可以交换而不改变最终的加密结果。

这在对称密码算法中起到了一定的作用。

正交矩阵交换律在几何变换、物理学、信号处理和密码学等领域中都有广泛的应用。

可交换矩阵的一个性质

可交换矩阵的一个性质

时， 才有 这 样 的 多项 式 ｇ ｘ ， 得 Ｂ＝ （ ） （ ）使 ｇＡ 。 关 键 词 ：可 交换 矩 阵 ； 础 解 系 ； 小 多项 式 基 最
中图 分 类号 ： １ Ｏ５ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ ２ １ １ ２ １ ） ３— １ ７一 １ １ ７ —９ ６ （ ０ ０ ０ ０ ４ Ｏ
Ａ， Ｂ是 ｎ阶方 阵， Ａ 若 Ｂ＝Ｂ ， Ａ 则称 Ａ Ｂ是 可交 ，
换 的 。若 可交换 矩 阵 Ａ Ｂ＝Ｂ Ａ：０ ，是 否存 在一个 多
因为 Ａ Ｂ＝Ｂ ０ 且 秩 （ ＝ｎ一１ 所 以由预备 Ａ： ， Ａ） ，
知 识 （ ） 知道秩 （ ＝ ２可 Ｂ） ０或 １ 。
项 式 ｇ ｘ ， 得 Ｂ＝ｇＡ） （ ）使 （ Ｏ显 然某些 Ｂ是可 以 的 ， 例 如 Ｂ是 ０矩阵 ， （） Ａ的最小 多项 式 。但 Ａ满 足 ｇｘ 是 什么条 件 时一定存 在 这样 的多项 式 ｇ ｘ ，以下我 们 （）
０＝（ ０ ， ， ） ｐ＝（ ｐ，・ ｐ ） 【 仪 ， ２… ， １ ｐ， ２‘ ， ‘
定理
若Ａ ，Ｂ是 ｎ阶方 阵，秩 （ ，…，Ａ３ ＝ ０ 即 ＡＢ Ａ ２ １ Ｉ仅 ） Ａ
（ １ Ｂ ， ｐ ） Ａ ｔ ９仪 ， ２ …， ＝ ｃ ｐ＝Ａ Ｂ＝０
Ｊｎ ２ １ ｕ ．０ ０
可交换矩 阵的一个 性质
王 新 玉
（ 南石 油大学 理学 院 ， 西 四川 成 都 ６ ０ ０ ） １５ ０
摘 要 ：本 文 讨 论 可 交 换矩 阵 Ａ， Ｂ在 Ａ Ｂ＝Ｂ Ａ＝０的 情 况 下， 否 存 在 一 个 多项 式 ｇ ｘ ， 得 Ｂ＝ （ ） 以及 Ａ 满足 什 么条 件 是 （）使 ｇＡ ，

矩阵的运算及其运用

矩阵的运算及其运用

矩阵的运算及其运用一、 矩阵的线性运算 矩阵的线性运算满足以下规律:1. 矩阵的加法① 交换律——A B B A +=+； ② 结合律——)()(C B A C B A ++=++； ③ O A A =-+)(； ④ A +O = A .注:❶ 同型阵之间才能进行加法运算。

❷ 称矩阵-A =)(ij a -为矩阵A 的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：)(B A B A -+=-.❸ 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。

2. 数与矩阵相乘① 结合律——)()()(A A A μλμλλμ==；② 矩阵关于数加法的分配律——A A A μλμλ+=+)( ③ 数关于矩阵加法的分配律——B A B A λλλ+=+)(.注 : 利用数乘也可以定义负阵和减法。

3. 矩阵与矩阵相乘① 结合律 ——)()(BC A C AB =；② 数乘结合律 ——)()()(B A B A AB λλλ==； ③ 分配律 ——左分配律：AC AB C B A +=+)(；右分配律：CA BA A C B +=+)(.④ 乘单位阵不变 ——n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯==,. ⑤ 乘方的性质 ——l k lk A A A +=；l k l k A A =)(注 : 有了以上定义的所有运算性质，在运算可运行的条件下，矩阵就可以类似代数运算进行了，如 22223108?32128)4()32(B AB A B AB BA A B A B A -+=--+=-+，但要注意矩阵间的乘法无交换律,无消去律。

4. 矩阵的转置① (转置再转置)——A A T T =)(； ② (和的转置) ——T T TB A B A +=+)(；③ (数乘的转置) ——T T A A λλ=)(； ④ (乘积的转置) ——T T TA B AB =)(.定义 若n 阶方阵A 满足A A T =，即),,2,1,(n j i a a ji j i ==，则称A 为对称阵。

可交换矩阵的一些性质

可交换矩阵的一些性质

可交换矩阵的一些性质
李美喜;刘军
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2009(28)3
【摘要】从可交换矩阵的定义出发,给出了可交换矩阵的一些性质和充要条件.【总页数】3页(P52-54)
【作者】李美喜;刘军
【作者单位】甘肃省天水市第五中学,741000;兰州高等工科专业学校基础
部,730000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.可交换矩阵空间上矩阵函数的一些性质 [J], 马翠云
2.论可交换矩阵的一些性质 [J], 布合力且木·阿不都热合木
3.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 [J], 戴立辉;颜七笙;刘龙章
4.与矩阵A可交换的全体矩阵的性质 [J], 丁晓业;李红菊;何健
5.可交换矩阵和反可交换矩阵的几个性质 [J], 贾经纬; 唐俊
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可交换矩阵的几个充要条件及其性质 在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB有意义时,矩阵BA未必有意义,即使AB,BA都有意义时它们也不一定相等.但是当A,B满足一定条件是,就有BAAB,此时也称A与B是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.

§1 矩阵可交换成立的几个充分条件 定理1.1(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换; (2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换; (3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换; (4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换; (5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换; (6)设*A是A的伴随矩阵,则A与*A可交换; (7)设A可逆,则A与1A可交换; (8)设EAB,则A,B可交换. 证 (1)对任意矩阵A,均有OAAO,O表示零距阵,所以A,B至少有一个为零矩阵时,A,B可交换; (2)对任意矩阵A,均有EAAE,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵时,A,B可交换; (3)对任意矩阵A,均有AkEkEA)()(,k为任意实数,则)(kE为数量矩阵,所以A,B

至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换; (4),(5)显然成立; (6)AAEAAA**,所以矩阵A与其伴随矩阵可交换;

(7)AAEAA11,所以矩阵A与其逆矩阵可交换; (8)当EAB时,A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A,B可交换.

定理1.2(1)设BAAB,其中,为非零实数, 则A,B可交换, (2)设EABAm,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换. 证 (1)由BAAB可得EEBEA))((,即EEBEA))((

1

,故

依定理1.1(8)得EEAEB))((1

,于是EEBABA,所以

ABBABA;

(2)由EABAm得EBAAm)(1,故依定理1.1(8)得EABAm)(1,于是EBAAm,所以可得BAAB.

定理1.3(1)设A可逆,若OAB或ABA或BAA,则A,B可交换; (2)设A,B均可逆,若对任意实数k,均有BkEAA)(,则A,B可交换. 证 (1)若OAB,由A可逆得OABABAAB

)()(11

,从而OBA,故BAAB;

若ABA,同理可得EABABAAB

)()(11

,故BAAB;

若BAA,则EABAAABB

11

)()(,故BAAB.

(2)因A,B均可逆,故由BkEAA)(得kEA可逆,且AkEAB1)(,则

,))(())((])[()(])[(])[(''1''''1'''''1'''''1'''ABkEAkEAABkEAkAAABkEAAkEABAkEABkEABA

两边取转置可得BAAB.或由 ,)(])[()()()()(])[(])[(111112111111111ABkEAAkEABkEAkAABkEAAkEABAkEABkEABA

两边取逆可得BAAB. §2 矩阵可交换成立的几个充要条件 定理2.1下列均是A,B可交换的充要条件: (1)***)(BAAB; (2)''')(BAAB; (3)))(())((22BABABABABA; (4)2222)(BABABA. 证 (1))因为***

)(BAAB,两边同时取伴随矩阵可得BAAB;

)因为BAAB,两边同时取伴随矩阵可得***)(BAAB; (2))因为''')(BAAB,两边取转置可得BAAB; )因为BAAB,两边取转置可得''')(BAAB; (3))因为22))((BBAABABABA,))((22BABABA, 所以BAAB; 同理由22

))((BBAABABABA,可证BAAB,

)因为BAAB,且22))((BBAABABABA, 所以))((

22

BABABA;

同理由22))((BBAABABABA,可证))((22

BABABA;

(4))因为222)(BBAABABA,又由条件知2222)(BABABA,所以BAAB; )因为BAAB,222)(BBAABABA,所以2222)(BABABA;

定理2.2可逆矩阵A,B可交换的充要条件是111)(BAAB. 证 )因为111)(

BAAB,两边取逆可得BAAB;

)因为BAAB,两边取逆可得111)(BAAB;

定理2.3(1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵; (2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵. 证 (1)设A,B均为对称矩阵,由定理2.1(2)ABBAAB

'''

)(,因此AB为对称矩

阵; 若A,B均为反对称矩阵,则ABBABAAB))(()(

'''

,因此AB也为对称矩阵.

(2)若A,B中有一个为对称矩阵,不妨设A为对称矩阵,则B为反对称矩阵,则,)()('''ABBABAAB 因此AB为反对称矩阵.

定理2.4设A,B均为对称正定矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵. 证 充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性. 因A,B为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P,Q,使'

PPA,'QQB,于是

''QQPPAB,'''1))((QPQPABPP

所以ABPP1为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB与ABPP1相似,从而AB的特征值也全为正数,因此AB为对称正定矩阵.

§3 可交换矩阵的一些性质 定义3.1 (1)幂等矩阵:若A为矩阵,且AA2,则A幂等矩阵.

(2)幂零矩阵:若A为矩阵,且)(*ZkOAk,则A为幂零距阵. (3)幂幺矩阵:若A为矩阵,且EAk,E为单位矩阵,则A为幂幺矩阵.

性质3.1设A,B可交换,则有: (1)))(B()B)((1-m211-m21BABAABAABABAmmmmmm; (2)nkkknknnBACBA0)((矩阵二项式定理). (3)ABABmm,kkkBAAB)(,llBABA,其中lkm,,都是正整数; (4)ABfBAf)()(,其中)(Bf是B的多项式,即A与B的多项式可交换; 证 (1)对m用数学归纳法可证得. 当1m时,明显成立. 假设当km时,有 ),)((121kkkkkBBAABABA 下证当1km时结论也成立.

),)(())()(())()(())((1121121111BABBAABABBAABABBAABABABBAABABAkkkkkkkkkkkkkk



故对一切正整数m,结论成立. (2)用数学归纳法 当1n时,BABABA

111

)(,结论成立.

假设当kn时,有 ,C)(11-kk11kkkkkkBABBACABA 下面证当1kn时结论也成立.由BAAB得ijji

ABBA,于是

,)(C)1())(C()()()(111ik1111-kk111kiikikkkkkkkkkkkBBACBACABABABBACABABABA

而ikikikCikikikiikikkikikikikCC11)!1(!)!1()!1(!!)1(!)!1()!1(!)!(!!

.

所以11k1111C)(kkkkkkk

BABBACABA.

故对一切正整数n,二项式定理成立. （3）由BAAB可得