指数函数
1 •指数函数①定义:
函数y a x(a 0且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
2. 指数函数①图象和性质:
x x
1 , y=10x, y=丄①图象.
在同一坐标系中分别作出函数y=2x，y=
2 10
x x
我们观察y= 2x, y= 1, y=10x, y=丄图象特征，就可以得到
2 10
y a x(a 0且a 1)①图象和性质。
指数函数是高中数学中①一个基本初等函数，有关指数函数①图象与性质① 题目类型较多，同时也是学习后续数学内容①基础和高考考查①重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨.
1 .比较大小
例 1 已知函数 f (x) x2bx c 满足 f (1 x) f (1 x)，且f(0) 3，则f(b x)与
f(cX)①大小关系是 _____ .
分析：先求b, c①值再比较大小，要注意b x, c x①取值是否在同一单调区间
内.
解：••• f(1 x) f(1 x),
•••函数f(x)①对称轴是x 1 .
故 b 2，又f(0) 3，二 c 3 .
•••函数f(x)在^,1上递减，在1, 上递增.
若x > 0，则3x> 2x> 1 ,••• f (3x) > f (2x);
若x 0 ,则3x2x1 ,二f(3x) f(2x).
综上可得f(3x) > f (2x)，即f(c x) > f (b x).
评注：①比较大小①常用方法有：作差法、作商法、利用函数①单调性或中间量等.②对于含有参数①大小比较问题，有时需要对参数进行讨论.
2. 求解有关指数不等式
例2已知(a22a 5)3x(a22a 5)1 x，则x①取值范围是_____________________ .
分析：利用指数函数①单调性求解，注意底数①取值范围.
解：••• a22a 5 (a 1)2 4 > 4 1，
•••函数y (a22a 5)x在(^，^)上是增函数，
••• 3x 1 x，解得x 1. • x①取值范围是-，R .
4 4
评注：利用指数函数①单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同① 指数式，并判断底数与1①大小，对于含有参数①要注意对参数进行讨论.
3. 求定义域及值域问题
例3求函数y .1 6x 2①定义域和值域.
解：由题意可得1 6x 2> 0，即6x 2< 1，
•x 2 < 0，故x < 2 . •函数f (x)①定义域是s,2 .
令t 6x 2，则y ..Fl，
又I x < 2，• x 2 < 0 . • 0 6x 2< 1，即0 t < 1 .
•0 < 1 t 1，即0 < y 1 .
•函数①值域是0，.
评注：利用指数函数①单调性求值域时，要注意定义域对它①影响.
4. 最值问题
例4函数y a2x2a x1(a 0且a 1)在区间［1,1］上有最大值14，则a①值是 .
分析：令t a x可将问题转化成二次函数①最值问题，需注意换元后t①取值
范围.
解：令t a x，则t 0，函数y a2x2a x1可化为y （t 1）22，其对称轴为
t 1.
•••
当a
1时，x1,，
丄 < a x< a，即1 一一
< t < a .
a a
.•.当t a时，y max
2
(a 1) 2
14 .
解得a3或a5（舍去）；
当0 a1
时，•.・x11 ，
1 1
a < a x< ，即 a < t <
a a
1 i 2
…t —时，y max 1 2 14，
a a
解得a -或a -（舍去），.a①值是3或-.
3 5 3
评注：利用指数函数①单调性求最值时注意一些方法①运用，比如：换元法,
整体代入等.
5. 解指数方程例5解方程3x 232 x80 .
解：原方程可化为9 （3丫80 3x9 0，令t 3x（t 0），上述方程可化为
1
9t280t 9 0，解得t 9或t -（舍去），二3x9，二x 2，经检验原方程①
9
解是x 2 .
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根.
6. 图象变换及应用问题
例6为了得到函数y 9 3x5①图象，可以把函数y 3x①图象（）.
A. 向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B. 向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C•向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D.向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
分析：注意先将函数y 9 3x5转化为t 3x25，再利用图象①平移规律进行判断.
解：I y 9 3x5 3x 25，.把函数y 3x①图象向左平移2个单位长度，
再向上平移5个单位长度，可得到函数y 9 3x5①图象，故选（C）.
评注：用函数图象解决问题是中学数学①重要方法，利用其直观性实现数形
结合解题，所以要熟悉基本函数①图象，并掌握图象①变化规律，比如：平移、伸缩、对称等.
习题
1、比较下列各组数①大小：
(1) 若，比较与；
(2) 若，比较与；
(3) 若，比较与；
(4) 若，且，比较a与b；
(5) 若，且，比较a与b.
解: :(1) 由，故，此时函数为减函数.由，故.
(2) 由，故. 又，故.从而.
(3) 由，因，故.又，故.从而.
(4) 应有 .因若，则.又，故，这样.又因，故.从而,这与已
知矛盾.
(5) 应有 .因若，贝U .又，故，这样有.又因，且，故.从而，
这与已知矛盾.
小结：比较通常借助相应函数①单调性、奇偶性、图象来求解.
2,曲线分别是指数函数，和①图象,则与1①大小关系是().
(
分析：首先可以根据指数函数单调性，确定，在轴右侧令，对应①函数值由小到大依次为，故应选.
小结:这种类型题目是比较典型①数形结合①题目,第(1)题是由数到形①转化,第⑵ 题则是由图到数①翻译,它①主要目①是提高学生识图,用图①意识. 求最值
3, 求下列函数①定义域与值域.
1
(1) y = 2门；(2)y = 4x+2x+1+1.
丄1解：(1) T x-3工0,二y = 2x 3①定义域为{ x | x€ R且x工3}.又；工x 3
1
0,A 2门丰1,
1
y = 2x 3①值域为{ y | y>0且y工1}.
(2) y = 4x+2x+1+1 ①定义域为R. T 2x>0, . y = 4x+2x+1+1 = (2x) 2+2 • 2x+1 = (2 x+1)2>1.
y = 4x+2x+1+1 ①值域为{ y | y>1}.
4, 已知-1 < x< 2,求函数f(x)=3+2 • 3x+1-9x①最大值和最小值
解：设t=3x,因为-1 < x< 2,所以1 t 9，且f(x)=g(t)=-(t-3) 2+12,故当t=3
