2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年天津，文1，5分】已已知集合{}1,2,3A =，{}|21,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）（A ）{}1,3 （B ）{}1,2 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3 【答案】A【解析】{}{}1,3,5,1,3B AB ==，故选A ．【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．（2）【2016年天津，文2，5分】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（ ）（A ）56 （B ）25 （C ）16 （D ）13【答案】A【解析】甲不输概率为115236+=，故选A ．【点评】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法．对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．（3）【2016年天津，文3，5分】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B ． 【点评】1、解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2、三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（4）【2016年天津，文4，5分】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y += 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）2214x y -= （B ）2214y x -= （C ）22331205x y -=（D ）22331520x y -=【答案】A【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ． 【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②若已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为()22220m x n y λλ=≠－．（5）【2016年天津，文5，5分】设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】34,34>-<-，所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C ．【点评】充分、必要条件的三种判断方法．1、定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p q ⇒”为真，则p 是q 的充分条件．2、等价法：利用p q ⇒与非q ⇒非p ，q p ⇒与非p ⇒非q ，p q ⇔与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3、集合法：若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件．（6）【2016年天津，文6，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(|1|2a f f ->，则a 的取值范围是（ ） （A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （C ）13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意得()(1111132221222a a a f f a a ---->⇒-><-<⇒<<，故选C ． 【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．（7）【2016年天津，文7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）58- （B ）18 （C ）14 （D ）118【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B ．【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．（8）【2016年天津，文8，5分】已知函数()211()sin sin 0222x f x x ωωω=+->，x R ∈．若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ （C ）50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D【解析】()1cos sin 12224x x f x x ωωπω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，()0sin 04f x x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，所以()()4,2,k x k z ππππω+=∉∈，因此115599115,,,,,848484848ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉=+∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1150,,848ω⎛⎤⎡⎤⇒∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故选D ．【点评】对于三角函数来说，常常是先化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2016年天津，文9，5分】i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【答案】1【解析】()21i 21i 1iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ， 22()(),(,,.)+++-=∈++a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的 实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、共轭为.-a bi ．（10）【2016年天津，文10，5分】已知函数()()()2+1,x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则()0f '的值为 ． 【答案】3【解析】()()()2+3,03x f x x e f ''=∴=．【点评】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合 函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导． （11）【2016年天津，文11，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 ． 【答案】4【解析】第一次循环：8,2S n ==；第二次循环：2,3S n ==；第三次循环：4,4S n ==；结束循环，输出4S =．【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． （12）【2016年天津，文12】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点()0,5M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为 ． 【答案】22(2)9x y -+=【解析】设()(),0,0C a a >，则22452,2535aa r =⇒==+=，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=． 【点评】求圆的方程有两种方法：（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．（13）【2016年天津，文13，5分】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22BE AE ==，，则线段CE 的长为 ． 【答案】23【解析】设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为 AB 是直径，则BC =，AD =，在圆中BCE DAE ∆∆，则BC ECAD AE =，1x =，解得x =．【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． （14）【2016年天津，文14，5分】已知函数()2(43)3,0()01log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ．【答案】12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得4302a --≥，01a <<，133134a a ≥⇒≤≤，又方程()23xf x =-恰有两个不相等的实数解，所以32a <，1211637a a -≤⇒>≥，因此a 的取值范围是12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2016年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =． （1）求B ；（2）若1cosA 3=，求sin C 的值．解：（1）在ABC ∆中，由sin sin a bA B=，可得sin sin a B b A =，又由sin 2sin a B A得2sin cos sin sin a B B A B =，所以cos B =，得6B π=；（2）由1cos 3A =得sin A =sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin sin 6C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 2A A =+=． 【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．（16）【2016年天津，文16，13分】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数．（1）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：（1）由已知x ，y 满足的数学关系式为452008536031030000x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．（2）设利润为z 万元，则目标函数23z x y =+，这是斜率为23-，随z 变化的一族平行直线．3z为直线在y 轴 上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线23z x y =+ 经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大．解方程组45200310300x y x y +=⎧⎨+=⎩得点M 的坐标为()20,24M ，所以max 220324112z =⨯+⨯=．答生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封 闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点 间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法．（17）【2016年天津，文17，13分】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，1BC EF ==，6AE =，3DE =，60?BAD ∠=，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值． 解：（1）取BD 的中点为O ，连接,OE OG ，在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以//OG DC且112OG DC ==，又因为//,//EF AB AB DC ，所以//EF OG 且EF OG =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以//FG OE ，又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以//FG 平面BED ． （2）在ABD ∆中，01,2,60AD AB BAD ==∠=，由余弦定理可3BD =，进而可得090ADB ∠=，即BD AD ⊥，又因为平面AED ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ；平面AED 平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面AED ．又因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ． （3）因为//EF AB ，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角．过点A 作AH D E ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面BED 平面AED ED =，由（2）知AH ⊥平面BED ，所以直线AB 与平面(1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxOM2x+3y=z 2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxOBED 所成角即为ABH ∠．在ADE ∆中，1,3,AD DE AE ===2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠=sin AH AD ADE =⋅∠=，在Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==，所以直线AB与平面BED【点评】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．（18）【2016年天津，文18，13分】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由已知有2111112a a q a q -=，解之可得2,1q q ==-，又由61(1)631n a q S q-==-知1q ≠-，所以61(12)6312a -=-，解之得11a =，所以12n n a -=． （2）由题意得()()122122111log log log 2log 2222n n n n n b a a n -+=+=+=-，即数列{}n b 是首项为12，公差为1的等差数列．设数列(){}21nn b -的前n 项和为n T ，则222222212212342121222()()()()22n n n n n n b b T b b b b b b b b b n -+=-++-++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+==． 【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若n n n a b c ±＝，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和．（2）通项公式为n a =⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．（19）【2016年天津，文19，14分】设椭圆22213x y a +=(a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠=∠，求直线的l 斜率．解：（1）设(,0)F c ，由113e OF OA FA +=，即()113c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(),B B B x y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ， 整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，21243B k y k -=+，由（1）知(1,0)F ，设()0,H H y ，有()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=， 所以222124904343H ky k k k -+=++，解得21243H ky k =+，因此直线M H 的方程为219412k y x k k-=-+，设(),M M M x y ，由方程组()2194122k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，得()22209121M k x k +=+，在MAO 中，MOA MAO MA MO ∠=∠⇔=， 即()22222M MMMx y x y -+=+，化简得1M x =，即22209112(1)k k +=+，解得k =或k =， 所以直线l的斜率为k =或k =． 【点评】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．（20）【2016年天津，文20，14分】设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中,a b R ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于．．．14．解：（1）由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a '=-，下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(),-∞∞． ②当0a >时，令()0f x '=，解得x =或x =．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意得：()20030f x x a '=-=，即203ax =． ()3000023a f x x ax b x b =--=--，又()()3000000082282233a a f x x axb x axb x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x=-，所以1020x x +=．（3）设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当3a ≥时，11≤-<≤由（1）知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1- 上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦，因此，()(){}{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-⎡⎤⎣⎦{}max 1,1a b a b =-+--1,01,0a b b a b b --≥⎧=⎨--<⎩，所以1||2M a b =-+≥．②当334a ≤<时，11≤-<<<≤，由（1）和（2） 知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f f ⎡⎤⎛⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以max ,max f f b b ⎧⎫⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭231max 944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭．③当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知，()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>=⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦，因此 ()(){}{}{}1max 1,1max 1,1max 1,114M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>⎡⎤⎣⎦， 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14．【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数()f x 的定义域（定义域优先）；（2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．（4）由()()()00f x f x >'<'的解集确定函数()f x 的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数()f x 在(),a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。

2002年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（天津）卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 互相独立，那么 P （AB ）=P （A ）P （B ）如果事件A 在试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式 cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径。

第Ⅰ卷(选择题共60分)选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若直线（a +1）x+y+1=0与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 （ ） A. 1, -1 B. 2, -2 C. 1 D. -12. 已知m,n 为异面直线,⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =⋂βα，则l （ ）A. 与m,n 都相交B. 与m,n 中至少一条相交C. 与m,n 都不相交D. 至多与m,n 中的一条相交3. 不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 （ ）A. }10|{<≤x xB. }10|{-≠<x x x 且C. }11|{<<-x x D . }11|{-≠<x x x 且4. 函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 （ ） A.21 B.2 C. 4 D.41 5. 在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ）A. )45,()2,4(ππππ⋃ B. ),4(ππC. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ⋃6. 设集合}M x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩214，，N x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩⎫⎬⎭|412，，则 （ ） A. M=NB. M N ⊂≠C. M N ⊃≠D. M N =∅7. 椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k= ( ) A. -1 B. 1 C.5 D. 5-8. 正六棱柱ABCDEF 111111F E D C B A -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 （ ） A. 90 B. 60 C. 45 D.309. 函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是 （ ） A. 0≥b B. 0≤b C.b>0 D. 0<b 10. 已知10<<<<a y x ，则有（ ）。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科综合历史部分试题1．右图为《岛夷志略》片段。

从其内容判断，该著作的出现应不晚于A．秦汉时期B．隋唐时期C．宋元时期D．明清时期【答案】C【KS5U解析】本题以中国古代中央对地方的行政管辖为切入点，旨在考查考生获取图片信息和运用历史知识说明现实问题的能力。

本题一定要抓住图片中“万里石塘”这一关键信息，联系教材中元朝行省图中的信息进行对比，就可以得出结论：“万里石塘”即元朝所管辖的南海地区。

故选C项。

2．“从宋代起，棉花开始成为一种重要纺织原料……到了元代，丝、麻、棉鼎足而三，明代以后，棉花的重要性超过麻。

”出现这些变化的前提条件是A．政府的大力推广B．棉纺织技术的改进C．商品经济的发展D．棉花成为经济作物【答案】B【KS5U解析】本题以中国古代纺织原料的变化为切入点，旨在考查考生对古代手工业技术进步的理解能力。

解答本题的关键是要区别棉花种植的不断扩大与棉花能够成为主要的“纺织原料”在原因上的不同。

A项政府的大力推广、C项商品经济的发展、D项棉花成为经济作物，这些条件都不同程度地推动了棉花种植的扩大。

但是，棉花能够逐渐成为主要的“纺织原料”，其前提条件还是棉纺织技术的改进，故选B项。

3．孟德斯鸠认为，共和政体是全体人民或仅仅一部分人民握有最高权力的政体；君主政体是由单独一个人遵照固定的和确立了的法律执政；专制政体是按一个人的意志行使权力。

他主张实行的政体是A．民主共和B．贵族共和C．君主立宪D．君主专制【答案】C【KS5U解析】本题以孟德斯鸠的政治主张为切入点，旨在考查考生解读材料信息和运用知识的能力。

根据题干信息“共和政体……仅仅一部分人民握有最高权力的政体”和“专制政体是按一个人的意志行使权力”的语义色彩，结合所学知识，我们不难判断孟德斯鸠是反对这两种政体形式的，故排除A、D两项。

贵族共和政体是少数贵族的“集体”统治，材料中没有体现，故排除B项。

.本题选择 C 选项.
联立直线方程：
，可得点 A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
.
本题选择 C 选项.
3. 【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式 可得 ，
求解绝对值不等式
可得 或
，
据此可知：“ ”是“ ” 的充分而不必要条件.
详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则
，
5 / 12
由
可得：
，
不妨设：
，双曲线的一条渐近线方程为
，
据此可得：
，
，
则
，则
，
双曲线的离心率：
，
据此可得： ，则双曲线的方程为
.
本题选择 A 选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形 式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标
函数的单调递减区间满足：
，
即
，
令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项 C，D 错误；
本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 【答案】A 【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即可确定双 曲线方程.
13.【答案】
【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立
的条件.