2016-2017学年安徽省铜陵市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

安徽省铜陵市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）一、选择题：共12题1．下列各命题中为真命题的是A. B.如果,则C. D.【答案】D【解析】本题主要考查命题真假的判断、全称命题与特称命题.显然A、B、C错误，D 正确.2．已知椭圆的两个焦点为,且,弦AB焦点过点F1,则三角形ABF2的周长为A.10B.20C.D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.由题意可知c=4，则a2=25+16=41，a=，则三角形ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=3．设a,b∈R,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、不等式的性质.显然，当时，成立，所以充分性成立；当时，(1)a、b均为正数时，显然；(2)a、b均为负数时，显然成立；(3)a、b有一个0时，显然成立，综上，必要性成立，故“”是“”的充要条件4．椭圆的两个焦点为,点P为椭圆上的一点,已知,则Δ的面积为A.10B.9C.8D.7【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.由椭圆的方程可知，a=5，b=3，则c=4，所以,,因为,所以，将两边平方可求得, 则Δ的面积为95．下列叙述中正确的是A.若a,b,c∈R,则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B.若a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β【答案】D【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、全称命题与特称命题的否定、不等式的性质、线面与面面平行与垂直.当a<0时，显然“b2－4ac≤0”不是“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件，故A错误；当b=0时，令a=1,c=2，“ab2≥cb2”成立，但“a>c”不成立，故B错误；根据全称命题与特称命题的否定的定义可知，C错误，故D正确.6．已知命题p:x∈R,x－2>lg x,命题q:x∈R,sin x<x,则A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题【答案】C【解析】本题主要考查逻辑联结词、命题直线的判断、全称命题与特称命题.令x=，则x－2>lg x成立，故命题p为真；令x=，则sin x<x不成立，故命题q为假，所以q 为真，故C正确.7．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、函数的零点.当时，显然函数有一个零点；要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点，故a≤0，即函数函数有且只有一个零点的充要条件是a≤0，所以函数有且只有一个零点的充分不必要条件是a<08．双曲线虚轴上的一个端点为,两个焦点为,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线方程，由题意可得,则,所以a=,则双曲线的离心率为e=9．已知命题p:“x∈[1,2],x2－a≥0”,命题q:“x0∈R,＋2ax0＋2－a＝0”.若命题“(p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是A.a≤－2或a＝1B.a≤2或1≤a≤2C.a>1D.－2≤a≤1【答案】C【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、全称命题与特称命题.因为x∈[1,2],x2－a≥0，所以p:，p：a>1;因为x0∈R,＋2ax0＋2－a＝0，所以,则q：或,因为命题“(p)∧q”是真命题,所以p与q或，所以a>1均为真命题，则10．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是【答案】A【解析】本题主要考查曲线与方程的概念的应用.由于方程与 前者表示的为抛物线，后者表示的为椭圆或双曲线，结合 ，以及，和.当m ,n 为同号时,表示椭圆和抛物线，抛物线开口向左，椭圆的焦点在y 轴上，C,D 排除；对于m ,n 异号，则两个方程一个表示抛物线开口向右，一个表示双曲线，满足题意的只有A.11．已知抛物线 ,定点 , 为焦点, 为抛物线上的动点,则 的最小值为A.5B.6C.7D.8 【答案】A【解析】本题主要考查抛物线的定义与性质.由抛物线的方程 可知准线方程为x =-2，过点P 作准线的垂线PQ ，垂足为Q ，因为点A 在抛物线的内部，所以当点A 、P 、Q 三点共线时， 取得最小值3+2=5，由抛物线的定义可知， ,所以 的最小值为512．下列命题:①Δ 的三边分别为 则该三角形是等边三角形的充要条件为 ;②数列 的前n 项和为 ,则 是数列 为等差数列的必要不充分条件; ③在Δ 中, 是 的充分必要条件;④已知 都是不等于零的实数,关于 的不等式 和的解集分别为 , ,则是 的充分必要条件.其中正确的命题是A.①④B.①②③C.②③④D.①③ 【答案】D【解析】本题主要考查简易逻辑、解三角形、数列、一元二次不等式. ①化简可得(a -b )2+(b-c )2+(c-a )2=0,则①正确；②设首项为a 1，公差为d ，则前n 项和为S n =na 1+= ,令 ,,则 ；当n>1时， ,所以a n =S n -S n-1= ,则数列 为等差数列，所以 是数列 为等差数列的充要条件，故②错误；③当 时， ；在Δ 中,当 时， ，02=+ny mx故③正确;④已知都是不等于零的实数,令，则，但，故④错误.二、填空题：共4题13．由命题“x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,＋∞),则实数a的值是________.【答案】1【解析】本题主要考查全称命题与特称命题.因为命题“x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,所以命题“x∈R,x2＋2x＋m>0”是真命题,所以,则m>1,则题意可知a=114．若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是. 【答案】x+2y-4=0【解析】设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-,∴所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.15．椭圆与直线交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为【答案】【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程与斜率.设A(x1,y1)，B(x2,y2),中点(x0,y0),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减，化简可得：,即，由题意可得，则16．称离心率为的双曲线为黄金双曲线.如图,双曲线的图象,给出以下几个说法:①双曲线是黄金双曲线;②若,则该双曲线是黄金双曲线;③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为【答案】①②③④【解析】本题主要考查自定义问题、双曲线的方程与性质.①双曲线,则a2=1,b2=,c2=,所以e=，故①正确；②若,则c2-a2=ac，求解可得e=，故②正确；③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则B1F12+A2B12=A2F12，即c2+b2+a2+b2=(a+c)2,所以e=，故③正确；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则根据双曲线的对称性可知OF2=NF2，将x=c代入双曲线方程可得点N的纵坐标y=,则,求解可得e=，故④正确.三、解答题：共6题17．已知,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】解不等式可得：p：或，q：或,因为是的充分不必要条件,所以（两个等号不同时成立）所以【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、一元二次不等式的解法.求出p：或，q：或，根据题意，求解可得结果.18．命题方程没有实数根,命题函数在上是增函数,“或”为真命题,“且”为假命题,求实数的取值范围.【答案】因为方程没有实数根,所以m=0或,求解可得命题p：，因为函数在上是增函数,所以，求解可得命题q：，因为“或”为真命题,“且”为假命题,所以p、q一真一假，或，所以或求解可得实数的取值范围【解析】本题主要考查简易逻辑、函数的性质与方程思想、分类讨论思想.由方程根的个数求出命题p中m的取值范围，再由函数的性质求出命题q中m的取值范围，由“或”为真命题,“且”为假命题,可知p、q一真一假，则求解易得结果.19．已知椭圆:的上顶点为A,左,右焦点分别为,且椭圆过点,以AP为直径的圆恰好过右焦点.(1)求椭圆的方程;(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)椭圆C的方程是+y2=1.(2)①当直线斜率存在时,设直线方程为,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0,即 1+2k2=p2.设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).由(*)恒成立,得解得,或,而(**)不恒成立.②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,定点(－1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1××d2=(－1)(+1)=1.综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线方程与点到直线的距离公式、方程思想，考查了计算能力与分类讨论思想.(1)根据题意，AF2与PF2垂直，再结合点在椭圆上求解即可；(2) ①当直线斜率存在时,设直线方程为,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0，因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以=0，设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),由点到直线的距离公式化简求解；②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,结果易求.20．如图所示,抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值及直线AB的斜率.【答案】(1)抛物线的方程是y2＝4x,准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,则k PA＝(x1≠1),k PB＝(x2≠1),∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA＝－k P B.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得＝4x1,①4x2,②∴＝－,∴y1＋2＝－(y2＋2).∴y1＋y2＝－4.由①－②得,＝4(x1－x2),∴k AB＝＝＝－1(x1≠x2).【解析】本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线的斜率公式，考查了计算能力.(1)设抛物线的方程y2＝2px,将点P的坐标代入即可求出结果；(2)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,A(x1,y1),B(x2,y2)，代入抛物线方程，两式相减，由PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，即k PA＝－k P B.求解可得结论.21．设A,B分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求的值及点D的坐标.【答案】(1)双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1＋x2＝tx0,y1＋y2＝ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0,则x1＋x2＝16,y1＋y2＝12,∴∴∴t＝4,点D的坐标为(4,3).【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与性质、点到直线的距离公式、平面向量的坐标运算与定理，考查了方程思想与计算能力.(1)根据题意，利用点到直线的距离公式，化简求解可得a、b、c的值，即可求出双曲线的方程；(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0,由韦达定理与求解可得结果.22．如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点.的最大值是,的最小值是,满足.(1)求该椭圆的离心率;(2)设线段的中点为,的垂直平分线与轴和轴分别交于两点,是坐标原点.记Δ的面积为,Δ的面积为,求的取值范围.【答案】(1)设,则根据椭圆性质得而,所以有,即,,因此椭圆的离心率为.(2)由(1)可知,,椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零,设直线的方程为,并设则由消去并整理得从而有,所以.因为,所以,.由RtΔ与RtΔ相似,所以令,则,从而,即的取值范围是.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线方程与斜率，考查了方程思想与计算能力.(1)设,则根据椭圆性质得，根据题意求解即可；(2) 由(1)可知,,椭圆的方程为，根据条件直线的斜率一定存在且不为零,设直线的方程为,联立椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设，由韦达定理得，根据题意易知RtΔ与RtΔ相似，则可得，化简求解即可.。

2016-2017学年安徽省池州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 （ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．【考点】1、复数的概念；2、集合的运算．2．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A. ()sin f x x = B. ()1f x x =-+ C. ()()12x x f x a a -=+ D. ()2lg 2xf x x-=+ 【答案】D【解析】.A y sinx =是奇函数，但在区间[]11-， 上单调递增，故A 错误； .B a b ＜ 不是函数的解析式，故B 错误； ()1.2x x C y a a -+＝为偶函数，故C 错误； 2.2xD y ln x-+＝ 既是奇函数又在区间[-1，1]上单调递减，故D 正确；故选D3．设()0sin f x x =， ()()10'f x f x =， ()()21'f x f x =，…， ()()1'n n f x f x -=，n N ∈，则()2017f x =（ ）A. sin xB. sin x -C. cos xD.cos x -【答案】C 【解析】s i n ==-''='（），（），（），（）， 420171n n f x f x f x f xcosx +∴=∴==（）（），（）（）．故答案是C ． 4．对命题“正三角形的内切圆内切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的（ ）A. 一条中线上的点，但不是重心B. 一条垂线上的点，但不是垂心C. 一条角平分线上的点，但不是内心D. 中心 【答案】D【解析】由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质， 可以类比在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心” 故选A ．5．设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（a ， b ， c 均为正数），由综合法得M 的取值范围是（ ）A. 10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. []1,8 D. [)8,+∞【答案】D【解析】根据题意， 1a b c ++= ，则111a b c b c a a a +++-=-=≥ ，同理得到111a b c a c b b b +++-=-=≥111a b c b a c c c +++-=-=≥1111118M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当13a b c ===时等号成立，故M 的取值范围是[8+∞，）．选D 点睛：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y 关于x的线性回归方程为0.70.5ˆ3yx =+，则下列结论错误的是（ ）A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t 的取值必定是3.15C. 回归直线一定过()4.5,3.5D. A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意， 34564.50.70.354x y x +++===+，，0.7 4.50.35 3.54 3.5 2.54 4.53y t ∴=⨯+=∴=⨯---=，，故选：B ．7．将正奇数1,3,5,7，…，排成五列（如表），按此表的排列规律，89所在的位置是（ ）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列 【答案】D【解析】依题意，第三列中的数是以3为首项，8为公差的等差数列，∴第n 列31885n a n n =+-⨯=-（）， 当12n = 时， 12812591a =⨯-=， 即第十二行第三列的数为91；又奇数行自左向右是依次递增2的，偶数行自左向右是依次递减2的，∴89所在的位置是第十二行第四列故选：D ．点睛：本题考查数列的函数特性，考查观察与分析、运算能力，属于中档题． 8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点()02,M y ，若点M 到抛物线焦点的距离为3，则OM 等于（ ）A.B. C. 4 D. 【答案】B【解析】∵抛物线经过点02M y （，）， ∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为220y px p =（＞）， ∵点02M y （，） 到抛物线焦点的F 距离为3，∴根据抛物线的定义，得22p MF =+解得2p =，由此可得抛物线的方程为24y x =． 将点M 坐标代入抛物线方程，得2428y =⨯=， 解得y =± ，M 坐标为2±（，OM ∴== 故答案为B点睛：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题． 9．执行如图所示的程序框图，若输入的a ， b ， k 分别为1，2,3，则输出的M =（ ）A.203 B. 165 C. 72 D. 158【答案】D【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1331,2,,2222M a b n =+====；第二次循环28382,,,33323M a b n =+====；第三次循环3315815,,,428838M a b n =+====，不满足3n ≤，跳出循环，输出158M =，故选D.【考点】1、程序框图；2、循环结构.10．经过椭圆2212x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于A ， B 两点，设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于（ ）A. 3-B. 13-C. 13-或3-D. 13± 【答案】B【解析】由2212x y += ，得22222211a b c a b ===-=，， ，焦点为10±（，）． 设直线l 过右焦点，倾斜角为45︒ ，直线l 的方程为1y x =-．代入2212x y +=得222120x x +--=（）， 即2340x x -=． 设1122A x y B x y （，），（，）， 则1212403x x x x ⋅=+=，， 1212121241111133y y x x x x x x =-⋅-=-++=-=-（）（）（），121211033OA OB x x y y ⋅=+=-=-． 故选B点睛：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．11．设a ， b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >．其中能推出：“a ， b 中至少有一个大于1”的条件是（ ）A. ②③B. ①②③C. ③D. ③④⑤【答案】C 【解析】①中若a ＝34，b ＝12，则a ＋b>1，故①不能；②中若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中若a ＝b ＝－2，则a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中若a ＝b ＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C. 12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：考虑取特殊函数，是奇函数，且，，当时，>0，满足题设条件.直接研究函数，图象如下图，可知选B 答案.【考点】1、函数的奇偶性；2、导数在研究函数的单调性中的应用；3、导数在研究函数的极值中的应用.【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的方法运用的是特值法，将抽象问题具体化，找出与已知条件符合的特殊函数，分析其函数的图像及其性质，进而得出所求的结果，其解题的关键是特值函数的正确选取.二、填空题 13．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =__________． 【答案】1i + 【解析】(),111zi z i i i i=∴=-⋅=+- 14．若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 ．【答案】18【解析】试题分析：由基本不等式知266xy x y=++≥，设2xy t=，则26t≥，解得t≥xy的最小值为18，当且仅当2x y=时等式成立．【考点】1、基本不等式；2、二次不等式的解法．15．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有22cos cos1αβ+=.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A BC D-中，对角线1AC与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则__________．【答案】222cos cos cos2αβγ++=【解析】将平面中的二维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是αβ，，则有221cos cosαβ+=，则由此可以类比推断出空间性质，∵长方体1111ABCD A BC D-中，如图对角线1AC与过点A的三个面1111A B C D A A B B A A D D，、所成的角分别为αβγ，，，11111AB ADACcos cos cosAC AC ACαβγ∴===，，，2222221121AC AB ADcos cos cosACαβγ++∴++=，令同一顶点出发的三个棱的长分别为a b c，，，则有222222222 22211222212AC AB AD a b a c b ccos cos cosAC a b cαβγ+++++++++===++故答案为：2222cos cos cosαβγ++=．点睛：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．16．一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 【考点】椭圆的几何性质；圆的标准方程三、解答题17．已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是21sin z i θ=+，22cos cos2z i θθ=-+，其中()0,2θπ∈，设AB 对应的复数为z . （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若复数z 对应的点P 在直线12y x =上，求θ的值. 【答案】（1）()212sin i θ--（2）6πθ=， 56π， 76π， 116π.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 21z z z =-从而求得z 的值． （Ⅱ）由于复数z 对应的点P 在直线12y x =上，求得21sin 4θ=的值，从而求得的θ值． 试题解析：（Ⅰ） ()()22221cos sin cos2112sin z z z i i θθθθ=-=--+-=--． （Ⅱ）点P 的坐标为()21,2sin θ--，由点P 在直线12y x =，得212sin 2θ-=-， ∴21sin 4θ=，∴1sin 2θ=±， 又∵()0,2θπ∈，∴6πθ=，56π， 76π， 116π. 点睛：本题主要考查两个复数代数形式的加减法，根据三角函数的值求角，属于基础题18．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）22sin 13cos 17sin13cos17+- ； （2）22sin 15cos 15sin15cos15+-； （3）22sin 18cos 12sin18cos12+-； （4）22sin (18)cos 48sin(18)cos48-+--； （5）22sin (25)cos 55sin(25)cos55-+--．（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【答案】 （Ⅰ）34（Ⅱ）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=【解析】试题分析：（I ）选择（2）求常数相对容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合特殊角三角函数值求得答案．（II ）根据（I ）的计算结果，可得三角恒等式为：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=，进而根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案试题解析：（Ⅰ）由（2）得22sin 15cos 15sin15cos15+-131sin 3024=-= （2）三角恒为等式：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=； 证明：22sin cos (30)sin cos(30)αααα+---22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=++-+2211sin sin )sin sin )22αααααα=++-+2225313sin cos cos cos sin 4424ααααααα=+-=. 【考点】归纳推理；类比推理；三角函数恒等式的证明19．已知,,a b c R +∈，求证：3a b c++≥。

第Ⅰ卷（共60分）
1.曲线在点处的切线方程是（）
A. B. C. D.
2.已知函数，令，，，…，，
则（）
A. B. C. D.
3.函数（）的最大值是（）
A. B. C. D.
4.设，则复数在复平面上的对应点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.棱柱有个对角面，则棱柱的对角面个数为（）
A. B. C. D.
6.函数在处有极值，则的值为（）
A. B. C. D.
7.下列求导运算正确的是（）
A. B. C. D.
8.在等比数列中，若前项之积为，则有，那么在等差数列中，若前项之和为，用类比的方法得到的结论是__________．
9.已知不等式的解集为，则__________．
10.设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
11.先观察不等式（、、、）的证明过程：
设平面向量，，则，，.
∵，
∴，
∴，
再类比证明：.
12.已知函数，其中、，为自然对数的底数，是函数的导函数，求函数在区间上的最小值.
13.已知点列，，其中，（），是线段的中点，是线段
的中点，…是线段的中点，…
（Ⅰ）写出与、之间的关系式（）；
（Ⅱ）设，计算、、，由此推测数列的通项公式，并加以证明．。

铜陵市一中2018—2019学年度第二学期高二年级学段（期中）考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知抛物线,则焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标．【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，因此焦点坐标为．故选D．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．2.已知复数，满足（为虚数单位），在复平面内复数所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数的代数形式后得到其对应点的坐标，进而可得结论．【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，考查数形结合的应用，属于基础题．3.已知命题，则是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定求解即可得到答案． 【详解】∵命题，∴是：．故选D ．【点睛】(1)全称命题“”的否定为“”；特称命题“”的否定为“”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定时需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．4.下列命题不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归方程必过样本点中心B. 相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好C. 归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论D. 演绎推理是由一般到特殊的推理 【答案】C 【解析】 【分析】根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．【详解】对于A ，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A 正确．对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．故选C．【点睛】本题考查对基本知识的理解和掌握程度，解答类似问题的关键是熟知相关知识，然后再对每个命题的真假作出判断，属于基础题．5.已知，则下列选项中正确的是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，判断出函数的单调性，然后对函数值的大小作出判断即可得到答案．【详解】∵，∴，∴当时，单调递减．又，∴，即．故选A．【点睛】本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解题时关键是判断出函数在给定区间上的单调性，体现了导数在研究函数中的作用，属于基础题．6.已知双曲线过点，渐近线方程为，则曲线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2=λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有3﹣22=λ，解可得λ=﹣1，则其方程为：﹣x2=﹣1．即x2﹣=1，故选：C．点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再代入一个已知点即可求得方程.7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，利用“点差法”求出直线的斜率，进而可得直线的方程．【详解】设两点的坐标分别为，则有，两式相减得，∴．又，∴，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即．故选B ．【点睛】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解． 8.若函数在处取得极小值，则的值为（ ）A.B.C.D. 或【答案】B 【解析】 【分析】 先求出，然后根据可求得的值．【详解】由，得． ∵函数在处取得极小值，∴，解得或．①当时，， 则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极小值． 所以符合题意． ②当时，， 则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，所以当时函数取得极大值，不合题意．综上可得选B．【点睛】由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，所以在根据求得参数的值后需要进行验证，排除掉不和题意的参数，这点在解题中容易忽视．9.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值．【详解】由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为．过点作于，根据抛物线的定义可得．又的周长为，且，结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为，所以的最小值为，即的周长最小值为．故选D．【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，然后得到在上恒成立，分离参数后求出函数的最值可得所求范围．【详解】∵，∴．∵函数在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．11.已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．【详解】由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取，∵渐近线与圆有公共点，∴，整理得，∴，又，∴，∴双曲线的离心率范围为．故选C．【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12.若在区间内任取实数，均使得不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意不妨设，则由得，于是可得函数在区间上为增函数，然后求出函数的单调增区间，再根据是增区间的子集可得的取值范围，进而得到的最大值．【详解】由题意不妨设，∵，∴，∴，设，则可得函数在区间上为增函数．又，∴函数的单调增区间为，∴，∴，∴实数的最大值是．故选A．【点睛】若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围，本题考查转化能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．【详解】由题意得，所以．故答案为：．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，属于基础题．14.已知曲线在点处的切线平行于直线,则此切线方程为____________. 【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出的值，进而得到切点的坐标，然后可求出切线的方程．【详解】∵，∴．∵曲线在点处的切线平行于直线，∴，∴，∴，∴点A的坐标为，∴切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，解题的关键是明确时曲线在点的切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．15.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由题意得方程在上有两个实数根，令，然后利用导数判断出函数的单调性，进而得到函数的大体图象，结合图象可得所求范围．【详解】由题意得方程在上有两个实数根，∴方程上有两个实数根．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，又当时，；，画出函数的大体图象如图所示．结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．∴实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的整体展现，考查数形结合及转化思想方法的运用．16.已知抛物线的焦点为,点是直线与轴的交点，若直线与抛物线在第四象限的交点为，与抛物线的准线交于点,若，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】过点作于点，则，由可得，于是得到，所以可得，求出参数后可得抛物线的方程，然后由直线的方程和抛物线方程可得点的坐标．【详解】由题意得，点．过点作于点，则．∵，∴，∴，∴，解得，∴抛物线的方程为，直线的方程为，由，解得或，∴点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的应用，根据定义可将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为题目的解决创造了条件，考查转化能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设命题：对恒成立，命题：，.(1)若为真，求实数的取值范围；(2)若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．【详解】若命题为真命题，则有，解得．若命题为真命题，则，解得或．（1）∵为真命题，∴命题均为真命题．由，解得，∴实数的取值范围为．（2）∵为真，为假，∴命题一真一假，①当命题为真命题、命题为假命题时，则有，解得；②当命题为假命题、命题为真命题时，则有，解得．综上可得或．∴实数的取值范围为．【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．18.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆上一点，且,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）在中，由余弦定理得，又由椭圆的定义得，∴，∴，∴．【点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．19.已知函数.(1)若函数在和处取得极值，求的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得所求范围．【详解】（1）∵，∴．又函数在和处取得极值，∴和是方程的两根，∴，解得．经检验得符合题意，∴．（2）由（1）得， ∴当或时，单调递增；当时，单调递减．又， ∴ ．∵当时，恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围为． 【点睛】求函数在区间上的最值的方法：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．20.某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式．根据他们完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的人数填入下面的列联表：超过不超过(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.【解析】【分析】（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．【详解】（1）由茎叶图知，即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．由题意可得列联表如下：不超过（2）由列联表中的数据可得，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．21.已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线的方程； (2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值. 【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，∴过焦点与对称轴垂直的直线为，∴直线与抛物线的两个交点为，由题意得，∴抛物线的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，由消去y 整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或．设，则．∴．∴为定值，且定值为．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数.(1)设函数,讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设，结合导数可得，然后再证明即可得到结论成立．【详解】（1）由题意得，所以，令，得或．①当时，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．②当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．③当时，恒成立，函数在上单调递增．④当时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得即证不等式成立．设，则，又，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴．又，∴在上单调递减，∴，∴，即．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．（2）利用导数证明不等式时，可根据题意构造函数，然后根据函数的单调性求出函数的最值，然后借助最值证明不等式成立．。