2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷 （A ）
专业 _______________ 学号 _______________________ 姓名 ___________________
、（共30分，每小题6分）完成下列各题:
2
3
1 3 （1）设R 4空间中的向量
1
1 3
2
2 2
, 3
8 ， 4 2 3 ，
2
3
7
4
7
4
5
3
V 1
Span 1, 2, 3 ,
V 2
S
p
)an 4,
5
, 分别求 V V 禾口 V
V 2的
维数.
1 0
2 0 2
解：A
1
,
2
,
3
,
4
,
5
0 1 1 0 3
0 0 0 1 4
0 0
V 1 V 2和V 1 V 2的维数为
3 和 1
1
(3)求矩阵A 2
7
1
2的满秩分解.
1
(2)设 1 1 i i T ，
1 1 i i T 是酉空间中两向量，求
内积
及它们的长度（i 门）.（0，2, 2）；
1 1 1 1 1 0
2 :
7 :
解：A 2 5 3 2 0 1 5
7
7 7 3 1 0 0 0 0
1 0 —
1 1 1 1 1 1 7
A 2 5 3 2 2 5*01 5
7
7 7 3 1 7 7
(1) 0 0
(4 )设矩阵A( ) 0 0 ，求A（）的标准形及
其
0 0 ( 1)
2
行列式因子■
( 1) 0 0 1
解:A( ) 0 0 1
0 2
0 ( 1) 2 1
（5）设A*是矩阵范数，给定一个非零向量，定义x x H 验证x是向量范数.
二、（10分）设R3中的线性变换T在基1, 2, 3下的矩阵表示为
1 1 1
A 0 1 1 ，
1 2 0
（1）（5分）求T的值域R（T）的维数及一组基；
（2）（5分）求T的核N（T）的维数及一组基.
1 1 1
解：（1）由题意知T [ £ 1, £ 2, £ 3]= 1, 2, 3 0 1 1
1 2 0
线性变换T 的值域为T (V ) =span 1 3, 1 2 2 3
所以A (V )的维数为2,基为 1
3,
1 2
2 3
(2)矩阵A 的核为0的解空间。不难求得0的基础解系是［2, -1,
1
因此N(A )的维数为1，基为2 1
2 3
.
庇＜6
三、(8分)求矩阵A 6
0 . 6的正交三角分解A UR ，其中
0 6 、. 6
U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.
四、（8 分）设 A 1 i i
1 0，求矩阵范数 I A L , |A , IA 2,1 A F .
（这里i 2
1）.
解：A 1 max 2,3,1,1
3 , （2 分）
A max 3,4
4
, （2 分）
0 6 6
6 0 6
6 6 0
丄
V3
丄柘
丄V3
1 61 6
2 6
<
五、 （共24分，每小题8分）证明题：
（1） 设A 是正定矩阵，B 是反矩阵，证明A B 是可逆矩阵. （2） 设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是矩阵的充要条件是 A 的特征
值为实数.
（3）
若||A | 1，证明E A 为非奇异矩阵，且||（E A ）
，这
1
II A
里A 是诱导范数.
3 1
2 六、 （共20分，每小题5分）设A 1 1
1 ， 3 1
2
（1） 求E A 的标准形（写出具体步骤）； （2） 求A 的初等因子、最小多项式及标准形 J ； （3） 求相似变换矩阵P 及其逆矩阵阵P 1 ； （4） 求 sin （At ）.
4 2
2
2
i
1 1 4 1 1
1 2
1 1 H
2i i A
0 1
，
1
H
E AA
H
6AA
1 3
6 1
2
9
1
3
（ 2
分）
（2分）
1,2
9
、81 4 17
UAL
（2 分）
A F
j 1i 1
9 13 2
解
1
2 ； 标准 1 1
1
1 1 1 1 0 1 P
1 0 1 ， P 11 1
2 1 1
1 1
1
2sint tcost
tcost sint tcost sin( At)
sint sint sint
2sint tcost
tcost
sint tcost
EA
初等因子 ， 1 2 ；最小多项式
1
