矩阵分析期末考试2012
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错误!2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)一、(共30分,每小题6分)完成下列各题:(1)设4R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475αSpan V =1{}321,,ααα,Span V =2{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.解:=A {}54321,,,,ααααα⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000410003011020201 21V V +和21V V 的维数为3和1(2) 设()Ti i 11-=α,()Ti i 11-=β是酉空间中两向量,求内积()βα,及它们的长度(i =). (0, 2, 2);(3)求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解. 解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000747510737201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----747510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ith 标准形及其行列式因子.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2111λλλλ(5)设*A 是矩阵范数,给定一个非零向量α,定义 *Hx x α=,验证x 是向量范数.二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A , (1)(5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基; (2)(5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.解:(1)由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε 线性变换T的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2, 基为{}321312,εεεεε+++(2)矩阵A的核为AX=0的解空间。
1.方程组的增广矩阵是()A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:先将方程组化成,即可写出对应的增广矩阵.解:∵方程组,∴方程组可化为,∴其增广矩阵为.故选D.点评:本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式,以及方程组的增广矩阵,属于基础题.2.(2010•卢湾区二模)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】试题分析:将原方程组写成矩阵形式为Ax=b,其中A为2×2方阵,x为2个变量构成列向量,b为2个常数项构成列向量.而当它的系数矩阵可逆,或者说对应的行列式D 不等于0的时候,它有唯一解.并不是说有解.解:系数矩阵D非奇异时,或者说行列式D≠0时,方程组有唯一的解;系数矩阵D奇异时,或者说行列式D=0时,方程组有无数个解或无解.∴系数行列式D=0,方程可能有无数个解,也有可能无解,反之,若方程组有解,可能有唯一解,也可能有无数解,则行列式D可能不为0,也可能为0.总之,两者之间互相推出的问题.故选D.点评:本题主要考查克莱姆法则,克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立.3.(2012•闵行区一模)已知关于x,y的二元一次线性方程组的增广矩阵为,记,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是()A. B.两两平行C. D.方向都相同【答案】B【解析】试题分析:二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例,由此即可得到结论.解:由题意,二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵,∴两两平行故选B.点评:本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,考查向量知识,属于基础题.4.下列四个算式:①;②;③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1;④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C试题分析:根据余子式的定义可知,在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和,即知①正确;同理,在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和,即得②正确;对于③,按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1;对于④,按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同.解:根据余子式的定义可知,在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和,即为.故①正确;同理,在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和,即为.故②正确;对于③,按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1;故正确;对于④故选C.点评:本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义,属于基础题.5.若规定=ad﹣bc则不等式≤0的解集()A.{x|x≤﹣2或x≥1}B.{x|﹣2<x<1}C.{x|﹣2≤x≤1}D.∅【答案】C【解析】试题分析:按照新的运算=ad﹣bc,则不等式≤0,可化为:2x•x+2(x﹣2)≤0,解此二次不等式即可得出答案.解:由题意可知:不等式的解集≤0可化为2x•x+2(x﹣2)≤0即x2+x﹣2≤0,求得x的解集﹣2≤x≤1.点评:本题考查其他不等式的解法,解答关键是理解行列式的计算方法,是基础题.6.若,都是非零向量,且与垂直,则下列行列式的值为零的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析:利用向量数量积的运算,可得x1x2+y1y2=0.根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式.解:∵,都是非零向量,且与垂直∴x1x2+y1y2=0根据二阶行列式的定义可知,∴故选D.点评:本题的考点是二阶行列式的定义,考查向量垂直的充要条件,考查行列式的定义,属于基础题.7.将函数的图象向右平移a(a>0)个单位,所得图象的函数为偶函数,则a的最小值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:先利用行列式的定义,化简函数,再利用两角和公式对函数解析式化简整理然后根据图象平移法则,得到平移后函数的解析式,利用诱导公式把正弦函数转化成余弦函数,然后根据偶函数关于y轴对称的性质求得a的最小值.解:由题意,函数==2( cosx﹣sinx)=2sin(﹣x)=﹣2sin(x﹣)图象向左平移a个单位,所得函数图象是y1=﹣2sin(x+a﹣)=﹣2cos[﹣(x+a﹣)]=﹣2cos(﹣x﹣a+)=2cos(x+a﹣)是偶函数则关于y轴对称,则a的最小值为a=故选D点评:本题以行列式为载体,考查行列式的定义,考查了函数奇偶性的性质.解题的关键是利用偶函数关于y轴对称的性质.8.定义运算,则满足的复数z为()A.1﹣2iB.﹣1﹣iC.﹣1+iD.1﹣i【答案】D【解析】试题分析:直接利用新定义,求出z的表达式,通过复数的基本运算,求出复数z即可.解:因为,所以=zi+z=2.所以z===1﹣i.故选D.点评:本题考查复数的基本运算,行列式的应用,考查计算能力.9.若规定则不等式log的解集是()A.(1,2)B.(2,+∞)C.(﹣∞,2)D.(﹣∞,3)【答案】A【解析】试题分析:由二阶行列式的定义知log等价于lg(x﹣1)<0,所以0<x﹣1<1,由此能求出不等式log的解集.解:∵,∴log等价于lg(x﹣1)<0,∴0<x﹣1<1,解得1<x<2,故选A.点评:本题考查二阶行列式的定义,是基础题.解题时要认真审题,注意对数函数的性质的灵活运用.10.(2005•朝阳区一模)定义运算,则符合条件的复数z为()A.3﹣iB.1+3iC.3+iD.1﹣3i【答案】A【解析】试题分析:根据定义,将已知转化,可以得出z(1+i)=4+2i,再利用复数的除法运算法则求出复数z即可.解:根据定义,可知1×zi﹣(﹣1)×z=4+2i,即z(1+i)=4+2i,∴z===3﹣i.故选A.点评:本题考查了复数的代数运算,利用所给的定义将已知转化为z(1+i)=4+2i是关键.11.(2008•静安区一模)下列以行列式表达的结果中,与sin(α﹣β)相等的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析:根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果.解:∵sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ,对于A:=sinαcosβ+cosαsinβ;故错;对于B:=cosαcosβ﹣sinαsinβ,故错;对于C:=sinαcosβ﹣cosαsinβ,正确;对于D:=cosαcosβ﹣sinαsinβ,故错.故选C.点评:本题考查行列式的运算,三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.12.(2010•宜春模拟)定义行列式运算:,将函数的图象向左平移m个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:先用行列式展开法则求出f(x),再由函数的平移公式能够得到f(x+m),然后由偶函数的性质求出m的最小值.解:f(x)==sinx﹣cosx=2sin(x﹣),图象向左平移m(m>0)个单位,得f(x+m)=2sin(x+m﹣),由m﹣=+kπ,k∈Z,则当m取得最小值时,函数为偶函数.故选A.点评:本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化,解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用.13.(2012•广州一模)∀a,b,c,d∈R,定义行列式运算.将函数的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则ϕ的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:先利用新定义,将函数化简,再得到图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位的函数的解析式,结合函数的对称轴,我们可求ϕ的最小值解:,图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位可得对称轴为:∵所得图象对应的函数为偶函数∴x=0是函数的对称轴∴∴∴ϕ的最小值为故选B.点评:新定义问题,解题的关键是对新定义的理解,图象变换要把握变换的规律,属于基础题.14.(2012•闸北区一模)设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0,则“”是“l1∥l2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析:若,则a1b2﹣a2b1=0,若a1c2﹣a2c1=0,则l1不平行于l2;若“l1∥l2”,则a1b2﹣a2b1=0,所以,故可得结论解:若,则a1b2﹣a2b1=0,若a1c2﹣a2c1=0,则l1不平行于l2,故“”是“l1∥l2”的不充分条件;若“l1∥l2”,则a1b2﹣a2b1=0,∴,故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选B.点评:本题重点考查四种条件的判定,解题的关键是理解行列式的定义,掌握两条直线平行的条件.15.(2013•上海)展开式为ad﹣bc的行列式是()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,再根据所给的式子即可得出答案.解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad﹣bc,由题意得,=ad﹣bc.故选B.点评:本题考查的是二阶行列式与逆矩阵,根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键.16.矩阵可逆的一个充分不必要条件是()A.ad﹣bc≠0B.ab﹣cd≠0C.D.【答案】C【解析】试题分析:根据矩阵可逆的充要条件是所对应的行列式|A|≠0即ab﹣cd≠0,再根据充分不必要条件的性质可得结论.解:∵∴ab﹣cd≠0即|A|≠0,则矩阵可逆当矩阵可逆,则|A|≠0即ab﹣cd≠0,但不一定成立所以是矩阵可逆的一个充分不必要条件故选C.点评:本题主要考查了矩阵存在逆矩阵的充要条件,同时考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.17.矩阵的逆矩阵是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵.解:设矩阵的逆矩阵为,则,∴,∴,∴矩阵的逆矩阵为.故选A.点评:本题考查的是逆矩阵的定义,还可用逆矩阵的公式求解,本题属于基础题.18.已知A=,B=,则(AB)﹣1=()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:直接根据二阶矩阵与平面向量的乘法的定义求出AB,进而利用逆矩阵公式即可求出其逆矩阵.解:∵A=,B=,∴AB==∴矩阵AB的行列式为:0﹣1=﹣1≠0∴(AB)﹣1=故选:A.点评:本题以矩阵为载体,考查矩阵的逆矩阵,矩阵的乘法,难度不大,属于基础题.19.已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=,则矩阵A的特征值为()A.﹣1B.4C.﹣1,4D.﹣1,3【答案】C【解析】试题分析:利用AA﹣1=E,建立方程组,即可求矩阵A;先根据特征值的定义列出特征多项式,令f(λ)=0解方程可得特征值.解:设A=,则由AA﹣1=E得•=,即有解得,即A=,则矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣6=λ2﹣3λ﹣4,令f(λ)=0,则λ=﹣1或4.故矩阵A的特征值为﹣1,4.故选C.点评:本题考查矩阵的逆矩阵,考查矩阵特征值的计算等基础知识,属于基础题.20.矩阵的逆矩阵是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:先求ad﹣bc=1,再利用逆矩阵公式求解即可.解:由题意,ad﹣bc=1∴矩阵的逆矩阵是故选A.点评:本题以矩阵为依托,考查矩阵的逆矩阵,关键是利用公式正确求解.21.矩阵A=的逆矩阵为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵,可以首先求出ad﹣bc的值,再代入逆矩阵的公式,求出结果.解:∵矩阵A=∴A﹣1==故选A.点评:本题考查逆变换与逆矩阵,本题是一个基础题,解题的关键是记住求你矩阵的公式,代入数据时,不要出错.22.若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵,A中元素a ij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5,6)的含义如下:i=1表示语文成绩,i=2表示数学成绩,i=3表示英语成绩,i=4表示语数外三门总分成绩j=k,k∈N*表示第50k名分数.若经过一定量的努力,各科能前进的名次是一样的.现小明的各科排名均在250左右,他想尽量提高三门总分分数,那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上()A.语文B.数学C.外语D.都一样【答案】B【解析】试题分析:先根据题意找出小明的大致成绩,然后根据经过一定量的努力,各科能前进的名次是一样的,就需要看哪课发展的空间大,从而得到所求.解:∵j=k,k∈N*表示第50k名分数,小明的各科排名均在250左右∴小明的各科的分数为语文62,数学59,外69,三门总分约为195数学成绩59在三门中最低,而第50名的成绩为81分,分差较大,有很大的空间提升而经过一定量的努力,各科能前进的名次是一样的,则他应把努力方向主要放在数学学科上.故选B.点评:本题主要考查了矩阵的表示,解题的关键就是弄清题意,属于基础题.23.定义运算.=,如.=.已知α+β=π,,则.=()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:根据题中的定义可把二阶矩阵的解析式化简,再利用和角或差角的三角函数公式化简后,即可得到正确答案.解:由题中的定义可知,则•===,故选A点评:考查学生利用和与差的正弦、余弦函数公式化简求值的能力,以及掌握题中的矩阵乘方法则来求值的能力.24.点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:由矩阵的乘法运算法则,计算M1•M2即可得到.解:由于M1•M2=•=.则点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是.故选D.点评:本题考查矩阵的乘法运算,考查运算能力,属于基础题.25.若一个变换所对应的矩阵是,则抛物线y2=﹣4x在这个变换下所得到的曲线的方程是()A.y2=4xB.y2=xC.y2=﹣16xD.y2=16x【答案】D【解析】试题分析:确定变换前后点的坐标之间的关系,利用变换前的点在抛物线上,即可得到变换后曲线的方程.解:设抛物线y2=﹣4x上的点(a,b)在变换下变为(x,y),则∴,∴∵(a,b)满足抛物线y2=﹣4x∴b2=﹣4a∴∴y2=16x故选D.点评:本题考查矩阵变换,考查求曲线方程,解题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系.26.在直角坐标系下,若矩阵对应的变换将点P(2,﹣1)变到点p′(1,﹣2),则()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:根据矩阵对应的变换将点P(2,﹣1)变到点p′(1,﹣2),建立关系式,解之即可.解:=则解得故选C.点评:本题主要考查了矩阵的乘法,以及二元一次方程组的求解,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.27.把矩阵变为后,与对应的值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到,再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到,最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵.解:把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→,对照得故选C.点评:本题主要考查了矩阵变换的性质,属于基础题.28.函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为.【答案】y=x2【解析】试题分析:先设P(x,y)是函数y=x2图象上的任一点,P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵M对应变换作用下新曲线上的对应点,根据矩阵变换求出P与P1的关系,代入已知曲线求出所求曲线即可.解:设P(x,y)是函数y=x2图象上的任一点,P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵M=变换作用下新曲线上的对应点,则==即,所以,将代入y=x2得4y=x2,即y=x2(8分)故答案为:y=x2点评:本题主要考查了几种特殊的矩阵变换,以及轨迹方程等有关知识,属于基础题.29.已知一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是,则x+y= .【答案】2【解析】试题分析:先根据增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,解方程,最后求x+y.解:由一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是,可得到二元线性方程组,解得,则x+y=2,故答案为2.点评:此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义、二元一次方程组的矩阵形式,计算量小,属于容易题.30.已知方程组,则其增广矩阵为.【答案】【解析】试题分析:先将方程组整理为,根据增广矩阵的定义即可得答案.解:由题意,方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为点评:本题以方程组为载体,考查增广矩阵,属于基础题.31.线性方程组的增广矩阵是.【答案】【解析】试题分析:首先应理解方程增广矩阵的涵义,由原二元线性方程组写出增广矩阵即可.解:由二元线性方程组,可得到其增广矩阵为:.故答案为:.点评:本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型.32.已知二元一次方程组的增广矩阵为,则此方程组的解集为.【答案】{(3,2)}.【解析】试题分析:首先根据二元一次方程组的增广矩阵为,写出二元线性方程组的表达式,然后根据方程求解x,y即可.解:由二元线性方程组的增广矩阵为,可得二元线性方程组的表达式,解得:x=3,y=2,则此方程组的解集为:{(3,2)}.故答案为:{(3,2)}.点评:此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式,计算量小,属于基础题,解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义,并由此写出二元线性方程组的表达式.33.方程组的增广矩阵是.【答案】【解析】试题分析:理解方程增广矩阵的涵义,即可由二元线性方程组,写出增广矩阵.解:由题意,方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是故答案为:点评:本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型.34.一个方程组的增广矩阵为A=,则该方程组的解为.【答案】【解析】试题分析:由题意,可得方程组,解方程组,即可得出结论.解:由题意,可得方程组,∴.故答案为:.点评:本题考查二元一次方程组的矩阵形式,考查学生的计算能力,比较基础.35.方程组所对应的增广矩阵为.【答案】【解析】试题分析:先把方程组方程组改写为,再由增广矩阵的概念进行求解.解:∵方程组,∴,∴该方程组所对应的增广矩阵=.故答案为:.点评:本题考查二元一次方程组的矩阵形式,是基础题,解题时要认真审题,注意熟练掌握增广矩阵的概念.36.(2012•嘉定区三模)系数矩阵为,解为的一个线性方程组是.【答案】【解析】试题分析:先根据系数矩阵,写出线性方程组,再利用方程组的解,求出待定系数,从而可得线性方程组.解:可设线性方程组为=,由于方程组的解是,∴=,∴所求方程组为,故答案为:.点评:本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查待定系数法求线性方程组,应注意理解方程组解的含义.37.(2012•杨浦区二模)若线性方程组的增广矩阵为,则其对应的线性方程组【答案】【解析】试题分析:首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组即可解:由二元线性方程组的增广矩阵为,可得到线性方程组的表达式:.故答案为:.点评:本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型.38.(2013•杨浦区一模)若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是.【答案】【解析】试题分析:首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出x,y,即可解:由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得:故答案为:.点评:本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义,计算量小,属于较容易的题型.39.(2014•杨浦区三模)已知一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是,则x+y= .【答案】6【解析】试题分析:首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,再根据方程求解xy,最后求x+y.解由二元线性方程组的增广矩阵,可得到二元线性方程组的表达式,解得,所以x+y=6点评:此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义,计算量小,属于较容易的题型.40.(2014•黄浦区一模)各项都为正数的无穷等比数列{a n},满足a2=m,a4=t,且是增广矩阵的线性方程组的解,则无穷等比数列{a n}各项和的数值是.【答案】32【解析】试题分析:利用是增广矩阵的线性方程组的解,可得m=8,t=2,从而可求公比与首项,利用无穷等比数列的求和公式,即可得出结论.解:由题意,,∴m=8,t=2,∴a2=8,a4=2,∵q>0,∴,∴a1=16,∴无穷等比数列{a n}各项和是=32.故答案为:32.点评:本题考查增广矩阵,考查无穷等比数列{a n}各项和,求出数列的公比与首项是关键.41.行列式的值为.【答案】3【解析】试题分析:考查行列式运算法则,按照行列式的运算法则,直接展开化简计算即可.解:=1×3﹣0×2=3.故答案为:3点评:本题考查二阶行列式的定义,运算法则,是基础题.42.若规定,则不等式的解集是.【答案】【解析】试题分析:根据二阶行列式的定义原不等式可化为:log2(x﹣1)<﹣1,再利用对数函数的单调性去掉对数符号得出关于x的整式不等式,即可求解.解:原不等式可化为:log2(x﹣1)<﹣1,即:⇒0<x﹣1<,⇒1<x<,故答案为:.点评:本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.43.定义运算=ad﹣bc,若复数z符合条件=3+2i则z= .【答案】【解析】试题分析:由=ad﹣bc,复数z符合条件=3+2i,知2zi﹣z=3+2i,设z=a+bi,则2i(a+bi)﹣a﹣bi=3+2i,所以(﹣2b﹣a)+(2a﹣b)i=3+2i,由复数相等的含义能求出z.解:∵=ad﹣bc,复数z符合条件=3+2i,∴2zi﹣z=3+2i,设z=a+bi,则2i(a+bi)﹣a﹣bi=3+2i,∴2ai﹣2b﹣a﹣bi=3+2i,整理,得(﹣2b﹣a)+(2a﹣b)i=3+2i,∴由复数相等的含义,得,解得,∴z=.故答案为:.点评:本题考查二阶行列式的定义,是基础题.解题时要认真审题,注意复数的代数形式的乘除运算和复数相等的性质的灵活运用.44.定义,则函数(x∈R)的值域为.【答案】[﹣4,4]【解析】试题分析:利用新定义,展开f(x)利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式,根据余弦函数的值域求解即可.解:由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣(cosx﹣2)2+5∈[﹣4,4].故答案为:[﹣4,4].点评:本题是基础题,考查三角函数的化简求值,新定义的应用,考查计算能力.45.不等式的解集为.【答案】[0,1]【解析】试题分析:利用,将不等式等价转化为一元二次不等式,可解.解:由题意,x2﹣x≤0,∴0≤x≤1,故答案为[0,1]点评:本题主要考查二阶行列式的定义,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.46.定义运算,如果:,并且f(x)<m对任意实数x恒成立,则实数m的范围是.【答案】m>【解析】试题分析:由=sinx+cosx=∈[﹣],且f(x)<m对任意实数x恒成立,能得到实数m的范围.解:∵,=sinx+cosx=∈[﹣],∵f(x)<m对任意实数x恒成立,∴m>.故答案为:m>.点评:本题考查二阶行列式的定义和三角函数的知识,解题时要认真审题,注意不等式性质的灵活运用.47.将式子b2﹣4ac表示成行列式.【答案】【解析】试题分析:根据行列式的定义,可写出满足题意的行列式.解:根据行列式的定义得,故答案为.点评:本题以代数式为载体,考查行列式的定义,属于基础题.48.在三阶行列式中,5的余子式的值为.【答案】﹣21【解析】试题分析:去掉5所在行与列,即得5的余子式,从而求值.解:由题意,去掉5所在行与列得:故答案为﹣21.点评:本题以三阶行列式为载体,考查余子式,关键是理解余子式的定义.49.(2011•上海)行列式(a,b,c,d∈{﹣1,1,2})所有可能的值中,最大的是.【答案】6【解析】试题分析:先按照行列式的运算法则,直接展开化简得ad﹣bc,再根据条件a,b,c,d∈{﹣1,1,2}进行分析计算,比较可得其最大值.解:,∵a,b,c,d∈{﹣1,1,2}∴ad的最大值是:2×2=4,bc的最小值是:﹣1×2=﹣2,∴ad﹣bc的最大值是:6.故答案为:6.点评:本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则,是基础题.50.(2012•闵行区三模)若不等式<6的解集为(﹣1,1),则实数a等于.【答案】4【解析】试题分析:先根据二阶行列式,将原不等式等价转化为一元二次不等式,再对a分类讨论,求出a的值即可.解:原不等式可化为:ax2+2<6,即ax2<4.当a≤0时,得x∈R,不符合题意;当a>0时,得x2<,﹣<x<,由已知不等式<6的解集为(﹣1,1),得=1,∴a=4.故答案为:4.点评:本小题主要考查二次不等式的解法、二阶行列式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.51.(2012•闵行区三模)若不等式<6的解集为(﹣1,+∞),则实数a等于.【答案】﹣4【解析】试题分析:利用行列式的定义,求出行列式的值,得到不等式,然后求解即可.解:不等式<6化为:ax+2<6,即ax<4,因为不等式的解集为(﹣1,+∞),所以a=﹣4.故答案为:﹣4.点评:本题考查行列式的解法,不等式的解法,考查计算能力.52.(2012•徐汇区一模)不等式≥0的解为.【答案】[0,+∞)【解析】试题分析:先根据行列式的运算法则进行化简变形,转化成一元二次不等式,然后解之即可求出所求.解:∵不等式≥0∴(2x+1)2x﹣2≥0,即22x+2x﹣2≥0解得2x≤﹣2舍去,2x≥1,解得x≥0.故答案为:[0,+∞)点评:本题主要考查了二阶行列式,同时考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.53.(2012•德州一模)定义运算,函数图象的顶点是(m,n),且k、m、n、r成等差数列,则k+r= .【答案】﹣9【解析】试题分析:利用新定义的运算得出二次函数,利用配方法可求函数图象的顶点,利用k、m、n、r成等差数列,可求k+r的值.解:=(x﹣1)(x+3)﹣2(﹣x)=x2+4x﹣3=(x+2)2﹣7∵函数图象的顶点是(m,n),∴m=﹣2,n=﹣7,∵k、m、n、r成等差数列,∴k+r=m+n=﹣9.故答案为:﹣9点评:本题以新定义运算为素材,考查新定义的运用,考查二次函数,考查等差数列,解题的关键是对新定义的理解.54.(2013•宝山区二模)函数的最小正周期T= .【答案】π【解析】试题分析:利用行列式的计算方法化简f(x)解析式,再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,找出ω的值,即可求出最小正周期.解:f(x)=cos2x﹣sin2x=cos2x,∵ω=2,∴T=π.故答案为:π点评:此题考查了二倍角的余弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以及二阶行列式与逆矩阵,化简函数解析式是解本题的关键.55.(2013•徐汇区一模)方程组的增广矩阵是.【答案】【解析】试题分析:理解方程增广矩阵的涵义,即可由二元线性方程组,写出增广矩阵.解:由题意,方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵。
2007《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)1. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001t e -sint t e cost A(t)t2t 试求 )t A(t d d ; )t A(lim 0t →.2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=441-0A 试求 Ae . 3. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-111.4. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-020021。
二、证明题(每题10分,共30分)1. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321183232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.2. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥+=⋂2121V V V V .3. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)1. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 试给出主要的过程.2007《矩阵分析》试题(B 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)5. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=003t 02e eA(t)t 2t-试求 t d )t A(1⎰.6. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12-10A 试求 Ae . 7. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-1-3241-1.8. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1213214321.二、证明题(每题10分,共30分)4. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321113423232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.5. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥⋂=+2121V V V V .6. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)3. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?4. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 给出主要的过程.2008硕士研究生《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)9. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=001t e -sint A(t)t试求 t )d t A(1⎰; )t A(lim 0t →.10. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=441-0A 试求 sinA . 11. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11002-1-011.12. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-010012。
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程,在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解,也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题,并附有答案解析。
1. 简答题(每小题2分,共20分)(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案:矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示,其中i表示所在的行数,j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案:方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外,其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案:矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵,其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案:特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ,其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案:矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案:正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案:矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式,其中一个是正交矩阵,一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案:矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案:矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
2012~2013学年秋季学期线性代数(B)课程考试试题解析一.填空题(本题满分15分,共5道小题,每道小题3分)1.设A 为3阶方阵,且||3A =,A *为A 的伴随矩阵,若交换A 的第1行与第2行得到B ,则||BA *=27-.解析:||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点:1.互换行列式的两行,行列式改变符号。
2.*||=n -1AA 2.A 为n 阶矩阵,且()R A E n -<,则A 的一个特征值为1.解析:由于()R A E n -<,所以||=0A -E ,所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点:1.()R A E n -<,知道A -E 不可逆,其行列式值为0.2.特征值的定义。
3.设A 为34⨯矩阵,()3R A =,且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解析:由于()3R A =,对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量,2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。
1η是非齐次线性方程组的特解。
所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点:1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。
4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型,则t.解析:正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,它的各阶顺序主子大于零,所以t 2t 22101101>21102t->,所以t 注释本题知识点:1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。
矩阵试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 矩阵的秩是指:A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行(列)向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案:B2. 若矩阵A与矩阵B相等,则下列说法正确的是:A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案:C3. 矩阵的转置是指:A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案:C4. 对于任意矩阵A,下列说法正确的是:A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案:A5. 若矩阵A是可逆矩阵,则下列说法正确的是:A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若矩阵A的行列式为-2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案:1/22. 设矩阵A为2x2矩阵,且A的行列式为3,则矩阵A的转置的行列式为____。
答案:33. 若矩阵A的秩为2,则矩阵A的行向量组的____。
答案:线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵,且A的行列式为0,则矩阵A是____。
答案:奇异矩阵三、解答题(每题10分,共30分)1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\],求矩阵A的行列式。
答案:\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\],求矩阵B的逆矩阵。
2012-2013学年春季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分,请将合适的答案填在每题的空中)1.设A 为3阶方阵,A 的第2行的元素分别为2,3,1-,其对应的余子式为3,2,3,则||A =9.解析:行列式等于某行元素与其对应的代数余子式乘积之和,所以||()()A =-⋅-+⋅+⋅-=2332139注释本题知识点:(1)||i i i i in in A a A a A a A =+++1122 答案:92.设A 为4阶矩阵,*A 为其伴随矩阵,且12A =,则1(2)3*A A --=2.解析:A A A A A A A ------=-=-=-=1111411(2)3*3||(1)22注释本题知识点:(1)B ∗=∗=H (2) B =.答案:23.设,αβ是非齐次方程()E A x b λ-=的两个不同的解,则A 对应于特征值λ的特征向量为αβ-解析:A 对应于特征值λ的特征向量为满足E A x λ-=()0的解注释本题知识点:1).非齐次线性方程组解的结构,若Ax b ηη=12,是的解,则Ax ηη=120-是齐次方程的解2).特征值与特征向量的定义:若有实数λ以及非零向量α,使得A αλα=即()A E λα-=0则λ为矩阵A的特征值,非零向量α为矩阵A的特征向量答案:αβ-4.已知矩阵(0,1,0,1).Tα=若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵(其中b 是数),则b =.解析:若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵,则()()T T E b E E αααα++=2,由此可得,T T T T E b b E αααααααα+++=22,因为T αα=2,所以T T b αααα+=520,b =-25注释本题知识点:(1)逆矩阵定义,若矩阵AB=E,则B 为A 的逆矩阵。
答案:b =-255.已知矩阵11011303A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=与100030003B ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=-相似,则a =.解析:矩阵A,B 相似,故有相同的特征值,因此1+1+a=1+3-3,可知a=-1.注释本题知识点:(1)矩阵A,B 相似,故有相同的特征值(2)矩阵特征值之和等于其主对角线元素的乘积答案:-1二、选择题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1.设n 阶矩阵A 与B 等价,则下列结论不正确的是【】(A)当0=A 时,0B =;(B)A 可以通过初等变换得到B ;(C)()()R A R B =;(D)A 与B 相似。
矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵,则A T -A=______。
答案:0例2若矩阵A 可逆,则(A T )-1=____.答案:(A -1)T例3设A ,B 均为方阵,若AB =I ,则A -1=_____,B -1=______.答案:B ,A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100,则A -1=( )。
答案:⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、 设A 、B 均为方阵,则下列结论正确的是( )。
A .(AB )T =A T B TB .AA T =A T AC .若A T =A ,则(A 2)T =A 2D .若A T =A ,B T =B ,则(AB )T =AB 。
答案:(C )。
例4、 设A 是三角形矩阵,若主对角线上元素( ),则A 可逆。
A .全部为0B .可以有零元素C .不全为0D .全不为0答案:(D )例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101,B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109,求A.B 。
解:A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313,求A -1。
解:(AE )=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7.设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ,计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ,求1-A . .解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以,矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A . 例9.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ,求1)(-+A I . 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以,X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明:若A 2=I ,且AA T =I ,则A 为对称矩阵。
2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业 学号 姓名
一、(共30分,每小题6分)完成下列各题:
(1)设4
R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α,⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475α
Span V =1{}321,,ααα,Span V =2{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的
维数.
解:=A {}
54321,,,,ααααα⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为
3和1
(2) 设()
T
i i 11-=α,()
T
i i 11-=β是酉空间中两向量,求
内积()βα, 与它们的长度(i =
. (0, 2, 2);
(3)求矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解.
解:⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
--
--→0000747510737201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
----747
510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=2)1(000000
)1()(λλλλλA ,求)(λA 的标准形与其
行列式因子.
解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛++→2111λλλλ
(5)设*A 是矩阵范数,给定一个非零向量α,定义 *H x x α=,
验证x 是向量范数.
二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A , (1)(5分)求T 的值域)(T R 的维数与一组基; (2)(5分)求T 的核)(T N 的维数与一组基.
解:(1)由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε
线性变换T 的值域为T (V )= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V )的维数为2, 基为{}321312,εεεεε+++
(2)矩阵A 的核为0的解空间。
不难求得0的基础解系是[2, -1,
1]
T
,
因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
三、(8
分)求矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066
A 的正交三角分解UR A =,其中U 是酉矩阵,R 是正线上三角矩阵.
解:
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=66
0606
066A =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
--
2213
3332*316
20
316
121316121
四、(8分)设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=0111021i
i A ,求矩阵范数1A ,∞A ,2A ,F A .(这里12
-=i ).
解:{}1max 2,3,1,13A ==,(2分)
{}max 3,44A ∞== ,
(2分)
1
2
42
211F
A ij j i a ===⎛⎫∑∑ ⎪⎝⎭
()12
1141113=+++++= (2分)
1120110H
i i A
⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
, 6113H
AA
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
(2分)
2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
⇒
=
(2分)
五、(共24分,每小题8分)证明题:
(1)设A 是正定矩阵,B 是反矩阵,证明B A +是可逆矩阵. (2)设A 是n 阶正规矩阵,证明A 是矩阵的充要条件是A 的特征
值为实数.
(3)若1A <,证明A E +为非奇异矩阵,且
A
A E -≤
+-11
)(1,这
里A 是诱导范数.
六、(共20分,每小题5
分)设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=213111213A ,
(1) 求A E -λ的标准形(写出具体步骤); (2) 求A 的初等因子、最小多项式与标准形J ; (3) 求相似变换矩阵P 与其逆矩阵阵1-P ; (4) 求)sin(At .
解
A E -λ()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→2111λλ,
初等因子λ,()21-λ;最小多项式
()2
1-λλ; 标准⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1110
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112101111P ,⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-11101110
11P )sin(At ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2。