5 第3章 差分方程模型(一)

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

差分方程模型习题答案 1 / 8 1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 %， 他每个月取 成立差分方程计算他每年终另有多少钱？多少岁时将基金用完？假如想用到 1000 元作为生活费， 80 岁，问 60

岁时应存入多少钱？

剖析： (1) 假定 k 个月后另有 Ak 元，每个月取款 b 元，月利率为 r ，依据题意， 可每个月取款，

依据题意，成立以下的差分方程： Ak 1 aAk b ，此中 a = 1 + r (1)

每年终另有多少钱 , 即用差分方程给出 Ak 的值。

(2) 多少岁时将基金用完，何时 Ak 0 由（

1）可得：

A A ak b ak 1 k 0 r

若 An 0 ， b A0ra n an 1

时， A240

A0ra 240

(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 0 ， b 240

1 a

利用 MATLAB 编程序剖析计算该差分方程模型，源程序以下： clear all close all clc

x0=100000;n=150;b=1000;r=; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])

function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end

(2) 用 MATLAB计算： A0=250000*^240-1)/^240 差分方程模型习题答案 2 / 8 思虑与深入： (2) ： 128 个月即 70 8 个月 将基金用完 (3) A0 = +005 ：若想用到 80 ， 60 存入万元。

2. 某人从 行 款 房， 若他今年初 款 10 万元，月利率 %，他每个月 1000 元。成立差分 方程 算他每年终欠 行多少 ，多少 才能 清？假如要 10 年 清，每个月需 多少？

剖析： 第 k 个月底他欠 行的 k+1 个月底欠 行的 x（ k），月利率 r ，且 a=1+r ，b 每个月 的 。 第 x(k+1)=a*x(k)+b ， a=1+r ， b=-1000 ， k=0， 1， 2⋯ 在 r= 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 算得 果。

第五章 差分方程模型在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。

如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。

5.1差分方程简介一、差分方程及其通解以t 表示时间，规定t 只取非负整数。

0=t 表示第一周期初，1=t 表示第二周期初等。

记t y 为变量y 在时刻t 时的取值，则称t t t y y y -=∆+1为的一阶差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为y t 的二阶差分。

类似地，可以定义y t 的n 阶差分t n y ∆。

由t 、t y 及t y 的差分给出的方程称为t y 差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。

满足差分方程的序列t y 称为此差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 02=++t t y y 易见t y t 2sin π=与t y t 2cos π=均是它的特解，而t c t c y t 2cos 2sin 21ππ+=则为它的通解，其中1c ，2c 为两个任意常数。

类似于微分方程，称差分方程)()()()(110t b y t a y t a y t a t n n t n t =+++-++ （1） 为n 阶线性差分方程，当0)(≠t b 时称其为n 阶非齐次线性差分方程，而0)()()(110=+++-++t n n t n t y t a y t a y t a （2） 称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。

差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。

通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。

本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。

一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。

通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。

一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。

当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。

差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。

二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。

1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。

解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。

以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。

可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。

2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。

差分方程的阶数差分方程是描述离散时间系统动力学行为的数学模型。

它是微分方程的离散形式，通过差分算子来逼近微分算子。

差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。

1. 一阶差分方程一阶差分方程是指方程中最高阶差分项为一阶差分项的差分方程。

一阶差分方程的一般形式为：y[n+1] = f(y[n])，其中y[n]表示第n 个时刻的状态值，y[n+1]表示下一个时刻的状态值，f是关于y[n]的函数。

一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态。

2. 二阶差分方程二阶差分方程是指方程中最高阶差分项为二阶差分项的差分方程。

二阶差分方程的一般形式为：y[n+2] = f(y[n], y[n+1])，其中y[n]和y[n+1]分别表示第n个时刻和第n+1个时刻的状态值，y[n+2]表示下两个时刻的状态值，f是关于y[n]和y[n+1]的函数。

二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态。

3. 高阶差分方程高阶差分方程是指方程中最高阶差分项为高于二阶的差分项的差分方程。

高阶差分方程的一般形式为：y[n+k] = f(y[n], y[n+1], ...,y[n+k-1])，其中y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]分别表示第n个时刻、第n+1个时刻、...、第n+k-1个时刻的状态值，y[n+k]表示下k个时刻的状态值，f是关于y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]的函数。

高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。

差分方程的阶数决定了系统动力学的复杂性。

一阶差分方程描述了简单的状态转移，而高阶差分方程可以描述更复杂的状态转移规律。

通过研究差分方程的阶数，可以深入理解系统的动力学行为，为系统的建模和分析提供有力的工具。

差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。

一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态，二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态，高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。

第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。

推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。