变力做功问题汇总

变力做功问题归类例析山东省高密市第一中学 孙洲元功是高中物理学中重要的概念，它体现了力对物体的作用在空间上的积累过程，是学生形成能量观念的重要基础概念。

因为求功的公式cos W Fl θ=在计算功时要求力F 是恒量，在做功的过程中，F 的大小、方向都不能有变化，如果力F 是变力，则不能直接用公式cos W Fl θ=求功。

在实际解题时经常遇到求解变力做功的问题，下面介绍几种求变力做的常用方法。

一、利用平均力求变力的功当遇到力的方向不发生改变，而力的大小随位移发生线性变化类的问题时，可以先计算出力的平均值，之后再把平均值当作整个过程的恒力，再运用cos W Fl θ=求解．例题1：如图所示，光滑的水平面上，轻质弹簧一端与竖直墙连接，另一端固定一个质量为m 的小物体，弹簧劲度系数为k ，系统处于静止状态。

现在用水平力F 缓慢拉动物体，使物体沿水平向右运动了位移s 。

已知弹簧在弹性限度内，求此过程中水平拉力F 对物体所做的功。

分析与解：缓缓拉动物体前进，可认为物体处于动态平衡状态，则拉力F 的大小等于弹簧弹力kx(x 为弹簧伸长量、大小等于物体的运动位移s)，即F=kx ，显然弹力为变力。

同时注意到F 与x 成正比，开始压缩时弹力为零，位移为s 时弹力为ks 。

弹力的平均值为02ksF +=，因为拉力做的功与弹力做的功相等，所以拉力F 的功为20122ks W s ks +=⋅=。

答案：212W ks =例题2：如图所示，长为L 的铁链放在水平桌面上，桌面的高度也为L ，当铁链有L/4处在桌面外面时，铁链恰好可以由静止开始下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计链条与桌子边角上的摩擦，求铁链A 端落地时的速度为多大？分析与解：设当链条B 端刚到达地面时链条的速度为v ，此过程中有重力做功和摩擦力做功，重力做功是指落到桌面外的链条的重力做的功，这个重力是变化的，开始时大小为4mg，当链条落地时重力的大小为mg ，平均力为58mg 。

高中物理变力做功问题纲要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教课的难点。

本文举例说了然在高中阶段求变力做功的常用方法，比方用动能定理、功率的表达式W Pt 、功能关系、均匀值、 F s 图像、微元积累法、变换参照系等来求变力做功。

重点词：功変力对于功的定义式动能定理Fscos W＝功率功能关系均匀值图像微元积累法，此中的 F 是恒力，合用于求恒力做功，此中的变换参照系s 是力 F 的作用点发生的位移，是力 F 与位移s 的夹角。

在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教课的难点。

求变力做功的方法好多，比方用动能定理、功率的表达式W Pt 、功能关系、均匀值、 F s 图像、微元积累法、变换参照系等来求变力做功。

一、运用功的公式求变力做功求某个过程中的変力做功，能够经过等效法把求该変力做功变换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式 W＝Fs cos求恒力的功，进而可知该変力的功。

等效变换的重点是剖析清楚该変力做功究竟与哪个恒力的功是相同的。

例 1：人在 A 点拉着绳经过必定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图 1 所示，开始绳与水平方向夹角为60 ，当人匀速提起重物由 A 点沿水平方向运动s2m 而抵达B点，此时绳与水平方向成 30 角，求人对绳的拉力做了多少功？【分析】人对绳的拉力大小固然一直等于物体的重力，但方向却时辰在变，而已知的位移 s 方向向来水平，所以没法利用W＝Fscos直接求拉力的功 . 若变换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉G6030力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用 W＝Fscos求了！设滑轮距地面的高度为h，则：h cot 30cot 60s A B图 1人由 A 走到 B 的过程中，重物上涨的高度h 等于滑轮右边绳索增添的长度，即：h h，人hsin 60sin 30对绳索做的功为： W mg h mgs 3 11000 3 1 J732J二、运用动能定理求变力做功动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。

ʏ李鹏飞公式W =F l c o s α只适用于恒力做功的计算,若遇到的是变力做功问题该怎样计算呢?下面我们就结合例题来剖析求解变力做功的六种常见方法,供同学们参考㊂方法一:等效替代法若通过转换研究对象能找到一个与待求变力做的功相同的恒力,则可以利用公式W =F l c o s α计算出该恒力做的功,间接求得变力做的功㊂这种将变力做功转换成恒力做功的求解方法叫等效替代法㊂例1 如图1所示,某人用跨过定滑轮的细绳以恒力F 拉着放在水平面上的滑块,使其沿着水平面由A 点前进距离l 后到达B 点㊂已知滑块在A ㊁B 两点时,细绳与水平方向间的夹角分别为α和β,滑轮到滑块的高度为h ,不计细绳与滑轮之间的摩擦和细绳的重力㊂求在这一过程中细绳的拉力对滑块所做的功㊂图1细绳对滑块的拉力大小始终等于F ,但方向在时刻改变,属于变力做功问题,不能直接利用W =F l c o s α进行计算㊂实际上,恒力F 对细绳末端所做的功等效于细绳的拉力对滑块所做的功㊂在细绳与水平面间的夹角由α变到β的过程中,恒力F 作用的细绳末端移动的位移Δl =h s i n α-h s i n β=h 1s i n α-1s i n β(),因此恒力F 对细绳末端所做的功W F =F ㊃Δl =F h 1s i n α-1s i n β(),即细绳的拉力对滑块所做的功W =W F =F h1s i n α-1s i n β()㊂方法二:平均力法若物体受到的力方向不变,而大小随着位移呈线性变化,则可以先求出力的平均值F =F 1+F 22(F 1和F 2分别为物体在研究过程初㊁末状态下所受的力),认为物体受到的是一个大小为 F 的恒力作用,再利用公式W = F l c o s α求解变力做的功㊂例2 如图2所示,轻弹簧的一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m 的物块相连,物块位于光滑水平面上,已知弹簧的劲度系数为k ,开始时弹簧处于自然状态㊂用水平向右的拉力F 缓慢拉物块,使物块在弹性限度范围内前进距离x 0,求在这一过程中拉力F 对物块所做的功㊂图2在物块缓慢运动的过程中,拉力F 的方向不变,大小始终与弹簧的弹力等大反向,与位移x 满足关系式F =k x ,即从零开始随位移均匀增大,因此在物块前进距离x 0的过程中,拉力F 的平均值 F =0+k x 02=12k x 0,拉力F 对物块所做的功W = F x 0=12k x 20㊂方法三:F -x 图像法当力F 与位移x 同向时,计算功的公式可表示为W =F x ,因此在F -x 图像中,图像与x 轴所围成的 面积 就表示力F 在位移x 上所做的功㊂ 面积 位于x 轴上方,说明力F 做正功; 面积 位于x 轴下方,说明力F 做负功㊂53物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.例3 如图3所示,一个正方形木块漂浮在一个面积很大的水池中,水深为H ,木块边长为a ,质量为m ,密度为水的一半㊂开始时木块静止,有一半没入水中㊂现用力F 将木块压到池底,不计摩擦㊂求力F 在将木块从初始状态刚好压到池底的过程中,力F 对木块所做的功㊂图3将木块从初始状态缓慢地压到刚好完全没入水中的过程中,力F 与木块下降的位移x 成正比,木块下降位移x =a2时,力F 最大,且F m a x =m g ,之后力F 始终等于F m a x ㊂作出F -x 图像如图4所示,则图中阴影部分的面积在数值上等于力F 对木块所做的功,即W =m g (H -a )+H -a2()2=m gH -3m g a4㊂图4方法四:微元法若物体在运动过程中所受的变力始终与速度方向在同一条直线上或成某一固定角度,则可以将运动过程分成无数个小段,在每一个小段上都可以认为物体受到的力是恒力,物体在整个运动过程中的位移等于运动轨迹的长度,则力在各个小段上所做功的代数和即为变力在整个运动过程中所做的功㊂图5例4 以前的人们经常采用如图5所示的 驴拉磨 方式把粮食加工成粗面来食用㊂假设某次采用 驴拉磨 方式进行粮食加工的过程中,驴对磨的拉力大小始终为500N ,驴做圆周运动的半径为1.5m ,则在驴拉磨转动一周的过程中,拉力所做的功为( )㊂A .0 B .500JC .750JD .1500πJ在驴拉磨转动一周的过程中,拉力F 的大小不变,方向时刻改变,但总与速度的方向相同㊂将转动的一周分割成无数个小段,则每一个小段对应的位移Δs 1㊁Δs 2㊁Δs 3㊁ ㊁Δs n 都可认为与拉力F 同向,因此在驴拉磨转动一周的过程中,力F 所做的功等于恒力F 在各个小段上所做功的代数和,即W F =F ㊃Δs 1+F ㊃Δs 2+F ㊃Δs 3+ +F ㊃Δs n =F (Δs 1+Δs 2+Δs 3+ +Δs n )=F ㊃2πR =1500πJ ㊂答案:D方法五:动能定理法若物体的运动情况较为复杂,但是物体在初㊁末状态下的动能,以及除待求变力所做的功外其他力所做的功都可以比较容易地求出,则可以利用动能定理来求解这个变力所做的功㊂图6例5 如图6所示,一个半径为R 的半圆形轨道固定在竖直平面内,轨道两端等高;质量为m 的质点自轨道左端P 点由静止开始下滑,滑到最低点Q 时,对轨道的压力大小为2m g ,重力加速度为g ㊂在质点自P 点滑到Q 点的过程中,克服摩擦力所做的功为( )㊂A .14m g R B .13m g R C .12m g R D .π4m gR 在质点自P 点滑到Q 点的过程中,质点受到的滑动摩擦力的大小和方向都在变化,属于变力做功问题㊂设此过程中质点克服摩擦力所做的功为W f ,根据动能定理得m gR -W f =12m v 2Q -0;根据牛顿第三定律可知,质点在Q 点受到轨道63 物理部分㊃经典题突破方法 高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的支持力大小N =2m g ;质点运动到Q 点时,根据牛顿第二定律得N -m g =m v 2QR㊂联立以上三式解得W f =12m g R ㊂答案:C方法六:机械能守恒定律法若物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功,且重力和弹力中有一个力是变力,则可以利用机械能守恒定律来求解这个变力所做的功㊂图7例6 如图7所示,一根金属链条的总长为l ,置于足够高的光滑水平桌面上,链条下垂部分的长度为a ㊂某时刻链条受到微小扰动由静止开始下滑,在链条由静止开始下滑到整根链条刚好离开桌面的过程中,重力所做的功为多少?链条在下滑的过程中,下垂部分不断增长,质量不断增大,即这部分链条的重力是变力,整根链条的运动是在该变力作用下的运动,属于变力做功问题㊂取桌面为零重力势能参考平面,设整根链条的质量为m ,初始状态下链条下垂部分的质量为m 0,则m 0=al m ㊂初始状态下,整根链条的机械能E 1=0-m 0g ㊃a 2=-m g a22l;整根链条刚好离开桌面时,整根链条的机械能E 2=W 重-m g ㊃l2㊂根据机械能守恒定律得E 1=E 2,解得W 重=m g (l 2-a 2)2l㊂ 图81.如图8所示,摆球质量为m ,悬绳的长度为L ,把悬绳拉到与悬点O 处于同一水平线上的A 点后放手㊂在摆球从A 点运动到最低点B 的过程中,设空气阻力F 阻的大小保持不变,则下列说法中正确的是( )㊂A .重力做功为m g L B .悬绳的拉力做功为12m g πL C .空气阻力F 阻做功为-m g L D .空气阻力F 阻做功为-12πF 阻L 2.用大锤将一木桩打入泥土里,木桩长为L ,大锤第一次击桩时使木桩从地面钻入泥土的深度为L5,如果木桩受到泥土的阻力远大于木桩的重力,且与木桩钻入泥土的深度成正比,那么大锤打击木桩多少次后木桩全部钻入泥土中图93.如图9所示,质量为m 的小球用长度为L 的轻质细线悬于O 点,与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉,已知O ㊁P 两点间的水平距离为L2㊂在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0,发现小球恰能到达与P 点在同一竖直线上的最高点B ㊂(1)小球到达B 点时的速率为多大(2)若初速度v 0=3g L ,则在小球从A 点运动到B 点的过程中克服空气阻力做了多少功图104.如图10所示,质量m =2k g 的物体,从光滑斜面的顶端A 点以初速度v 0=5m /s 滑下,在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零㊂已知A ㊁B 两点间的竖直高度h =5m ,取重力加速度g =10m /s2,在物体从A 点运动到B 点的过程中,弹簧的弹力对物体所做的功为多少参考答案:1.A D 2.25次㊂3.(1)v B =g L 2;(2)W 克=114m g L ㊂4.W 弹=-125J㊂作者单位:山东省惠民县第一中学(责任编辑 张 巧)73物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

专题二：变力做功的几种解题方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为： βαsin sin 21h h S S S -=-=∆ )sin 1sin 1(.βα-=∆==Fh S F W W F T 2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例2 、如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J.分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J ，故B 正确。