数列专题-数列求通项公式及求和的方法
考点1求通项公式
1、公式法：已知数列｛a n ｝为等差或等比数列，根据通项公式a n =a 1+(n-1)d 或a n =a 1q n-1进行求解.
例1：已知｛a n ｝是一个等差数列，且a 2=1,a 5=-5，求｛a n ｝的通项公式.
变式
已知等差数列{}n a 中，,51,28610==S a 求数列{}n a 的通项公式。
2、前n 项和法：已知数列｛an ｝的前n 项和Sn 的解析式，求a n .
例2：已知数列｛an ｝的前n 项和Sn=2n-1，求通项a n .
变式
已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式为)(23S 2*∈-N n n n n ＝，求}{n a 的通项公式。
3、sn 与an 的关系式法：已知数列｛an ｝的前n 项和sn 与通项an 的关系式，求an
例3：已知数列｛an ｝的前n 项和sn 满足an+1=sn ，其中a1=1，求an.
变式
已知}{n a 中，n n a n n a 2
1+=+，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式. 4、累加法：当数列｛an ｝中有an-an-1=f(n)，即第n 项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.
例4：a1=0, an+1=an+2(n-1)，求通项an
变式
已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = ．
5、累乘法：当数列｛an ｝中有，即第n 项与第n-1项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.
例5：a1=1,an=a n-1(n),求通项an
6、构造法：
（1）、配常数法：在数列｛an ｝中有an=kan-1+b （k,b 均为常数且k ≠0），从表面形式上来看an 是关于an-1的
“一次函数”的形式，这时用下面的方法:
一般化方法：设an +m=k(an-1+m) 则{an +m}成等比数列
例6：已知a1=1,an=2an-1+1(n2),求通项an
（2）配一次函数法：在数列{an}中有an=kan-1+bn+c （k,b,c 均为常数且k ≠0），这时用下面的方法:
一般化方法：设an+tn+u=k(an-1+t(n-1)+u)则{an+tn+u}成等比数列
例7：已知a1=1,an=2an-1+3n-2 (n2),求通项an
(3)、取倒数法：这种方法适用于an= , (n2)（k,m,p 均为常数m ≠0），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于an=kan-1+b 的式子.
例8：已知a1=2,an= (n2),求通项an
(4)取对数法：一般情况下适用于（k,l 为非零常数）
例9：已知a1=3,an (n2) 求通项an
考点2数列求和
（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式2)
(1n n a a n S +=的推导。
（二）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
}{n n b a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。
（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。
例3．已知数列}{n a 满足1)21(-+=n n n a ，求其前n 项和n S 。
（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如n ++++ 321 2)1(+=n n 、)12)(1(613212222++=++++n n n n 等公式。
（五）拆项（裂项）相消法：若数列}{n a 能裂项成
)()1(n f n f a n -+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻
项，使展开后中间项能全部消去）。 例5．已知数列}{n a 满足)1(1
+=n n a n ，求数列}{n a 的前n 项和n S
（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。
例．求数列n +++++++ 3211,,3211,211,
1的前n 项和n S （七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n 的奇偶性。
例7．已知数列)12()1(--=n a n n ，求数列}{n a 的前n 项和100S
（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n 为奇数、偶数进行讨论。
例8．若
)34()1(1--=-n a n n ，求数列}{n a 的前n 项和 （九）利用周期性求和：若数列}{n a ，都有n T n a a =+（其中0N n ∈,0N 为给定的自然数，0≠T ），则称数列}{n a 为周期数列，其中T 为其周期。
例9．已知数列}{n a 中，n n a a a 1
1,211-==+，求其前n 3项的和n S 3.
（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。
例10．求数列}{n a 前n 项和n S ，其中nx n a n sin =.
（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。
例11．求31⨯，53⨯，75⨯，97⨯，，
)12)(12(+-n n 的和n S
【课后作业】
1、设数列}{n a 满足21=a ，
)N (3*1∈+=+n a a a n n n ，则n a = 2、已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = ．
