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课题：4同角三角函数的基本关系式(一)

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高中数学教案 第四章 三角函数（第7课时） 王新敞 新疆奎屯市一中 第 1页（共7页） 课 题：44同角三角函数的基本关系式（一） 教学目的： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用． 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．

如:由tancossin 得:tancossin,

同样可以有:cotsincos 22cos11tan，

22

sin

1

1cot，22cossin1等等,可以引导学生和用三个

基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯． 教材中的3个基本关系式，只有：sin2+cos2=1是绝对恒等式，即对于任意实数都成立,另外两个公式,仅当取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点． 这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条

件．教材中指出：“在第二个式子中)k(2kZ时，式子两边都有意义；高中数学教案 第四章 三角函数（第7课时） 王新敞 新疆奎屯市一中 第 2页（共7页） 在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的． 教学过程：

一、复习引入： 1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离02222yxyxr 2．任意角的三角函数的定义及其定义域

rysin R

yrcsc Zkk,|

rxcos R

xrsec Zkk,2|

xytan Zkk,2|

yxcot Zkk,|

以上六种函数，统称为三角函数 3 三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限全为正,二正三切四余弦 4 终边相同的角的同一三角函数值相等

诱导公式一（其中Zk）: 用弧度制可写成 sin)360sin(k sin)2sin(k

cos)360cos(k cos)2cos(k

ry)(x,

P

cot<0tan<0cos>0sin<0cot>0tan>0cos<0sin<0

cot<0tan<0cos<0sin>0sin>0tan>0cot>0

cos>0高中数学教案 第四章 三角函数（第7课时） 王新敞

新疆奎屯市一中 第 3页（共7页） 1cscseccottan

cossin

tan)360tan(k tan)2tan(k

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 二、讲解新课：

1．公式: 1cossin22 tancossin 1cottan 2．采用定义证明： 1cossincos,sin122222rxryryx且

tancossin)(22xyxrryrxryZkk时，当

1cottan,23yxxykk时且当 3．推广：1cossin22这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有： 1tansec22 1cotcsc22 tancossin这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：

cotsincos

1cottan这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有：

1sincsc 1cossec 4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系 5．注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，

如： 13cos3sin22 2tan2cos2sin 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号 6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系) ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系) 高中数学教案 第四章 三角函数（第7课时） 王新敞 新疆奎屯市一中 第 4页（共7页） ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系) 三、讲解范例：

例1． 已知54sin，并且是第二象限角，求的其他三角函数值． 分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角

,53)54(1sin1cos22

345354cossintan



.43tan1cot

例2．已知178cos，求sin、tan的值． 分析：∵cosα＜0 ∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类． 当是第二象限角时，

.8151781715cossintan,1715)178(1cos1sin22





当是第三象限时 .815tan,1715cos1sin2 提问：不计算sin的值，能否算得tan的值？ 由于22tan1cos1而在Ⅱ或III象限

.815117181cos1tan22

22

1

cos1tan

 高中数学教案 第四章 三角函数（第7课时） 王新敞 新疆奎屯市一中 第 5页（共7页） 例3．已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos． 解：由1tansec22 即 22tan11cos





为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan11tan11

cos

而 costansin





为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan1tantan1tan

sin

四、课堂练习： 1．已知21cos ， 求tan的值．

解法1：)tansin(cos商数关系平方关系 ∵21cos， ∴在Ⅰ、Ⅳ象限， 当α在Ⅰ象限时，

,23)21(1cos1sin22

∴.32123cossintan 当在Ⅳ象限时 ,23cos1sin2

∴.3cossintan 解法2：)tancos1(cot平方关系倒数关系

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同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值 例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3： 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4： 已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角， 则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)

2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)


所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
同角三角函数的关系 (1)

同角三角函数的关系 (1)

课 题
学科模 主备人
同角三角函数的基本关系（1）
学—点—究—测—结 范兆赋
课 型 审核人
新授课 高一数学备课组
二次备课 （学习笔记）
【学习目标】 1.能利用单位圆中三角函数的定义，理解同角三角函数的两个基本关系. 2.掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法. 【重点难点】 重点难点：同角三角函数基本关系及应用.
2 2
2
cos2 _____. （平方关系）
sin ,cos , tan 三者间的关系是____________.
. 商 数 关
2
）
②这些关系式都是对于使式子有意义的角而言的,如
sin tan , a k (k Z ) . cos 2
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要学会正用、逆用、 变形用、活用． 常见变形有：
sin 2cos ； 3sin cos
（2） 3sin 2 4sin cos cos 2 .
五、 【思维提升】 你能知识树理出本节的内容吗？
【反思】
【课堂流程】
一、 【思维激发】 同角的三角函数之间有什么关系，如何导出，怎样应用？ 二、 【思维导引】 阅读课本 P11 1--113，体会角的终边所在象限对角的三角函数值的影响以及“象限定 号”的重要 性，用红色笔勾勒出疑惑点并与同学进行交流、讨论，结合课本和例题， 归纳总结解题规律
由三角函数的定义 并结合上图 可得： （1） sin （ 系） 三、 【思维碰撞】 ①同角 重在强调角相同,至于角的形式无关重 要,如 sin 4 cos 4 1 等； ．．
sin 2 =
sin 1 cos2 ；
§1同角三角函数的基本关系(1)

§1同角三角函数的基本关系(1)

§1 同角三角函数的基本关系（1）执笔人 韩明亮 审核 王旭 审阅 朱春礼 翟西斌 时间2009-6【知识目标】1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；【重点】同角三角函数的基本关系式【难点】三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用【课型】新知课【学法】通过回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；【教学过程】一、导入新课1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？3．背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？二、新知探究同角三角函数关系式：（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=． 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α= 22sin 1cos αα=-， s i n c o st a n ααα=等 三、应用举例例1．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．例3、已知α=αcos 2sin ，求ααααcos 2sin 5cos 4sin +- 、四、课堂训练与检测1.课本P 113练习1、2、3、4。