三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考理科数学试卷(word版,含解析)

三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考

理科数学

一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A 2

2

*

{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ⊆B,则a 的最小值为 A.1

B.2

C.3

D.4

2.设i 是虚数单位，5,32,ai

a

i a i

+∈=-+R 则a= A. -2

B. -1

C.1

D.2

3.已知函数32,0(),log ,0

x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则3

(())3f f =

2

.

2

A

1

.2

B

3.log 2C - 3.log 2D

4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r

1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升。问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。

A.45

B.60

C.75

D.100

7.

要得到函数2sin 2y x x =-

的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像

A.向左平移

2π

个单位

B.向左平移

712

π

个单位 C.向右平移

12

π

单位 D.向右平移

3

π

个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有

A.120种

B.240种

C.480种

D.600种

9.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC 的面积为

3

,2

,则

c= A

B.4

C.5

D 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=

A. -1

B.0

C.1

D.2

11.已知12F F 分别为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点,O 为坐标

原点,若122,||||OA BF AF BF ⊥=,则C 的离心率为

A.2

B

C

D 12.已知A,B 是函数2,0

()ln ,0

x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A 、B 处的切线重合,则实数a

的最小值是

A. -1

1.2

B -

1.

2

C D.1

二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。

13.已知x,y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩,则z=3x+2y 的最小值为____.

14.若椭圆22

2:

11

x y C m m +=-的一个焦点坐标为(0,1),则C 的长轴长为______ 15.已知函数

()sin(2)6f x x π=-,若方程3

()5

f x =的解为1212,(0),x x x x π<<<则12x x +=______，

12sin()x x -=______.(本题第一空2分,第二空3分)

16.在四棱锥P-ABCD 中,PAB

是边长为,ABCD 为矩形

若四棱锥P-ABCD 的顶点均在球O 的球面上,则球O 的表面积为____

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17. (12分)

已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为,n S且n S是n a与

1

n

a

的等差中项.

(1)证明:2

{}

n

S为等差数列,并求

n

S；

(2)设

1

1

n

n n

b

S S

+

=

+

，数列{}n b的前n项和为.n T,求满足5

n

T≥的最小正整数n的值.

18. (12分)

如图,三棱柱111

ABC A B C

-中,△ABC与

1

A BC

∆均为等腰直角三角形,

1

90

BAC BA C︒

∠=∠=,侧面

11

BAA B是菱形.

(1)证明:平面ABC ⊥平面

1

A BC；

(2)求二面角

1

A BC C

--的余弦值.