[精品]2018高考数学(文科)习题第二章函数的概念及其基本性质271和答案

§2.7 函数的图象考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．考点1 作函数的图象1.描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)． (3)描点，连线． 2．图象变换 (1)平移变换：①y ＝f (x )的图象――→a >0，左移a 个单位a <0，右移|a |个单位y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝________的图象．(2)对称变换：①y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝________的图象； ②y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝________的图象； ③y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝________的图象；④y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换： ①y ＝f (x )的图象y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝________的图象．(4)翻转变换：①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝________的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴及左侧部分去掉，右侧不变y ＝________的图象．答案：(1)①f (x －a ) ②f (x )＋b (2)①－f (x ) ②f (－x ) ③－f (－x ) (3)①f (ax ) ②af (x ) (4)①|f (x )| ②f (|x |)(1)[教材习题改编]对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝0，x ，x ≠0，有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线(去掉点(0,0))；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．(填序号)答案：①解析：当x ≠0时，图象是一条直线去掉点(0,0)，当x ＝0时，图象是一个点． (2)[教材习题改编]为了得到函数y ＝log 3(x ＋3)－2的图象，只需把函数y ＝log 3x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．答案：左 3 下 2图象变换中的误区：平移的方向；平移的大小．(1)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象． 答案：y ＝f (－x ＋1)解析：将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (－(x －1))＝f (－x ＋1)的图象(注意平移方向)．(2)把函数y ＝f (2x )的图象向右平移________个单位长度得到函数y ＝f (2x －3)的图象． 答案：32解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y ＝f (2x )的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y ＝f (2(x －3))＝f (2x －6)的图象.[典题1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x ＋1x ＋1；(5)y ＝10|lg x |.[解] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)．① ②(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．③ ④ ⑤(4)y ＝2x ＋1x ＋1＝2 x ＋1 －1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．(5)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，如图⑤所示．[点石成金] 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点2 识图与辨图[考情聚焦] 高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．主要有以下几个命题角度： 角度一借助实际问题情境探究函数图象[典题2] [2017·云南昆明模拟]如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 的函数y ＝f (x )的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是( )A BC D[答案] D[解析] 由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．[点石成金] 解决此类问题的关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域．角度二借助动点探究函数图象[典题3] [2015·新课标全国卷Ⅱ]如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )A BC D[答案] B[解析] 排除法排除错误选项．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵ 22＜1＋5，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[点石成金] 解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择．角度三同一坐标系下辨析不同函数的图象[典题4] (1)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )A BC D[答案] D[解析] 当a >1时，A 中的直线位置错误，排除A ，D 中的三个函数图象都正确；当0<a <1时，B 中的直线位置错误，排除B ，C 中的直线与指数函数的图象都错误，排除C.故选D.(2)已知函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx ，g (x )＝ax 2＋2ax ＋c ，a ≠0，则它们的图象可能是( )A BC D[答案] B[解析] 因为f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋c ，则函数f ′(x )即g (x )图象的对称轴为x ＝－1，可排除A ，D ；由选项C 的图象可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，排除C.故选B.[点石成金] 解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．角度四函数图象与解析式对应关系的识别[典题5] (1)[2017·湖南师大附中月考]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －1cosx 的图象的大致形状是( )A BC D[答案] D[解析] 因为f (－x )＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )是奇函数，且当x ＝π时，f (x )>0，故选D.(2)[2017·山东潍坊模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1 ，－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( )A BC D[答案] A[解析] 当2≤x ＜3时，0≤x －2＜1，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝2x －4， 当3≤x ≤4时，1≤x －2≤2，又f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －2)＝－2(x －2)2＋4(x －2)＝－2x 2＋12x －16，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，2≤x <3，－2x 2＋12x －16，3≤x ≤4，故选A.[点石成金] 此类问题往往从以下几方面判断：(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项． 角度五考查图象变换问题[典题6] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (1－x )的图象为( )A BC D[答案] D[解析] 解法一：把函数y＝f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到y＝f(x＋1)的图象，再把所得的图象关于原点对称，即可得到y＝－f(1－x)的图象，故选D.解法二：取函数y＝f(x)的图象上的点(2,4)，则有f(2)＝4，因为－f[1－(－1)]＝－f(2)＝－4，所以函数y＝－f(1－x)的图象过点(－1，－4)，排除A，B，C，故选D.解法三：把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，得到y＝－f(－x)的图象，再把所得的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，可得到y＝－f(－(x－1))＝－f(1－x)的图象．[点石成金] 本例中，已知函数y＝f(x)的图象，求变换后的函数y＝－f(1－x)的图象的易错点有两处：一是先作平移变换后作对称变换时，误以为函数y＝f(x)的图象上的所有的点向右平移1个单位长度，得到y＝f(x－1)图象，误选C；二是先作对称变换后作平移变换时，把函数y＝f(x)的图象关于原点对称，误选C.要避免此类错误，应熟练掌握图象的变换规律．考点3 函数图象的应用函数图象对称问题的误区：图象的自对称与互对称．(1)函数y＝log2(x2－1)的图象关于________对称．答案：y轴解析：函数的定义域关于原点对称，且易知是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称．这是图象的自对称问题，自对称函数的图象的对称轴一定垂直于x轴．(2)函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于________对称．答案：x轴解析：函数y＝ln x与y＝－ln x的图象关于x轴对称，这里涉及两个函数，是图象的互对称问题．一般地，y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称．[考情聚焦] 函数图象的应用也是高考命题的一个热点，题型多为选择题和填空题．主要有以下几个命题角度：角度一利用图象研究函数的性质[典题7] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) [答案] C[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示．观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[点石成金] 利用函数图象可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． 角度二利用图象研究方程的根或不等式求解问题[典题8] (1)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．[答案] (0,1)∪(1,2)[解析] 将函数y ＝|x 2－1|x －1化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得，实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1，＋∞)[解析] 如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．[答案] 5[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.[点石成金] 函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.[方法技巧] 1.识辨函数图象的方法(1)知式选图①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域．②从图象的变化趋势，观察函数的单调性．③从图象的对称性，观察函数的奇偶性．④从图象的循环往复，观察函数的周期性．2．常见结论(1)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称．(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称．(3)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(4)如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝0，那么y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．[易错防范] 1.图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2．图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．3．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )A BC D答案：D解析：当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－e x，则f′(x)＝4x－e x，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4,2]上单调递减，又f ′(0)＝－1<0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e>0，f ′(1)＝4－e>0，f ′(2)＝8－e 2>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案：B解析：因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝m2×2＝m ，故选B. 3．[2015·安徽卷]函数f (x )＝ax ＋bx ＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案：C解析：函数的定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴ c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图象知f (0)>0，∴ b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a>0，∴ a <0.故选C.4．[2015·北京卷]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}答案：C解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2 x ＋1 ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知，不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )A BC D答案：C解析：如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f x cos x ＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f x |cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有C 选项的图象符合．课外拓展阅读函数图象的变换问题1．对称变换通过特殊值，我们可以得到函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a >0，a ≠1)的图象关于y 轴对称，函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0，a ≠1)的图象关于x 轴对称，原因是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＝a －x ，y ＝log 1a x ＝－log a x .推广到一般，可以得到：函数f (x )的图象与函数f (－x )的图象关于y 轴对称，函数f (x )的图象与函数－f (x )的图象关于x 轴对称．2．平移变换 (1)左右平移变换一般地，函数图象左右平移变换时，当h >0时，将函数f (x )的图象向右平移h 个单位长度后，得到函数f (x －h )的图象；向左平移h 个单位长度后，得到函数f (x ＋h )的图象．(2)上下平移变换一般地，函数图象上下平移变换时，当h >0时，将函数f (x )的图象向上平移h 个单位长度后，得到函数f (x )＋h 的图象；向下平移h 个单位长度后，得到函数f (x )－h 的图象．3．翻折变换(1)画函数f (|x |)的图象时，先画出函数f (|x |)在y 轴右侧的图象，再将此部分图象关于y 轴翻折，即得函数f (|x |)在y 轴左侧的图象．(2)画函数|f (x )|的图象时，先画出函数f (x )的图象，再将x 轴下方的图象关于x 轴翻折，即得函数|f (x )|的图象．[典例1] 为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [思路分析] y ＝lgx ＋310＝lg x ＋3 －1向上平移1个单位长度向下平移1个单位长度y ＝lg x ＋3 向右平移3个单位长度向左平移3个单位长度y ＝lg x[解析] 因为y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1，所以只需将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y ＝lgx ＋310的图象．[答案] C[典例2] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2.那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[思路分析][解析] 画出两个函数图象如图所示，可看出交点有10个．[答案] A。

2．4 二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝________ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝________ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝________ (a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ＝________； (2)顶点坐标：________；(3)开口方向：a ＞0时，开口________，a ＜0时，开口________；(4)值域：a ＞0时，y ∈________，a ＜0时，y ∈________；(5)单调性：a ＞0时，f (x )在________上是减函数，在________上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-b 2a 上是________，在⎝ ⎛⎭⎪⎫-b2a ，＋∞上是________．3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的________，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的________．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值． 它只能在区间的________或二次函数的________处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表所示．自查自纠1．(1)ax 2＋bx ＋c(2)a (x -h )2＋k(3)a (x -x 1)(x -x 2)2．(1)-b 2a (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a，4ac -b 24a (3)向上 向下(4)⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤-∞，4ac -b 24a(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ，＋∞ 增函数 减函数3．根 端点值 4．端点 顶点已知函数f (x )＝x 2-2x ＋3在区间上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．C ．(-∞，2]D ．解：由题可知f (0)＝3，f (1)＝2，f (2)＝3，结合图象可知1≤m ≤2.故选D .f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋4 B ．f (x )＝2x 2＋2x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋x ＋1 D ．f (x )＝x 2＋2x ＋1解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．f ′(x )＝2ax ＋b ，所以a ＝1，b ＝2， f (x )＝x 2＋2x ＋c .Δ＝4-4c ＝0，所以c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 故选D .设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()解：由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.因为abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝-b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝-b2a ＜0，B 错误．故选D .若方程x 2-11x ＋30＋a ＝0的两个不等实根均大于5，则实数a 的取值范围是________．解：令f (x )＝x 2-11x ＋30＋a .对称轴x ＝112，故只要⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f （5）>0 即可，解得0<a ＜14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________.解：f (3)＝3，则9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝-3a -9.f (x )≥x 恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋b -x ≥0恒成立．所以x 2＋ax ＋b ≥0恒成立，所以a 2-4b ≤0，将b ＝-3a -9代入得(a ＋6)2≤0，a ＝-6.所以b ＝9，a ＋b ＝3.故填3.类型一 求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝-1, f (-1)＝-1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝-1，a -b ＋c ＝-1，4ac -b 24a＝8， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为y ＝-4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x -m )2＋n (a ≠0)，因为f (2)＝f (-1)， 所以抛物线对称轴为x ＝2＋（-1）2＝12，所以m ＝12，又根据题意，函数有最大值为8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122＋8. 因为f (2)＝-1，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-122＋8＝-1.解之得a ＝-4. 所以f (x )＝-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122＋8＝-4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝-1，即g (x )＝f (x )＋1的两个零点为2，-1，故可设f (x )＋1＝a (x -2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值y max ＝8，即4a （-2a -1）-a24a ＝8，解之得a ＝-4，所以所求函数解析式为f (x )＝-4x 2＋4x -2×(-4)-1＝-4x 2＋4x ＋7.【点拨】由条件f (2)＝f (-1)及f (x )的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x ＝12，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，-1看作函数g (x )＝f (x )＋1的两个零点，利用零点式求g (x )的解析式，再求f (x )的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫-32-x 对x ∈R 恒成立，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式． 解：由x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32-x 知，f (x )的对称轴为x ＝-32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32＝49，则二次函数f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，49， 故设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)．解法一：设方程f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两根为x 1，x 2，x 1＋x 2＝-3，x 1x 2＝94＋49a，则|x 1-x 2|＝（x 1＋x 2）2-4x 1x 2＝-49×4a＝7，解得a ＝-4，所以f (x )＝-4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49， 即f (x )＝-4x 2-12x ＋40.解法二：设f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由两实根之差的绝对值为7得x 1＝-32-72＝-5，x 2＝-32＋72＝2，将x 1或x 2代入f (x )＝0得a ＝-4.从而得到f (x )＝-4x 2-12x ＋40.类型二 二次函数的图象一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D.对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而-b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.故选C .【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)，再结合题设条件就不难解答了．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)＝0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0解：因为函数y ＝f (x )图象的对称轴为x ＝-12，f (0)＝a >0，所以y ＝f (x )的大致图象如图．由f (m )<0结合图象可知-1＜m ＜0， 则0＜m ＋1＜1，故f (m ＋1)>0. 故选C .类型三 二次函数的最值设函数f (x )＝x 2-2x -1在区间上有最小值g (t )，求g (t )的解析式．解：f (x )＝x 2-2x -1＝(x -1)2-2.①当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝-2. ②当t >1时，f (x )在区间上是增函数，则最小值g (t )＝f (t )＝t 2-2t -1；③当t ＋1<1，即t <0时，f (x )在区间上是减函数，则最小值g (t )＝f (t ＋1)＝t 2-2.所以g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2，t ＜0，-2，0≤t ≤1，t 2-2t -1，t ＞1.【点拨】求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”(见“名师点睛”)．本题考查含有两个参数的二次函数的最值问题，属于“动轴定区间”问题，首先根据已知条件判断二次函数对称轴与所给区间的关系，再依据函数单调性、不等式的性质，结合分类讨论的数学思想进行解答．f (x )＝-x 2＋ax ＋12-a 4在区间上的最大值为2，求a 的值．解：f (x )＝-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22＋12-a 4＋a24.①当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，在区间上f (x )max ＝12-a 4＋a24＝2，则a ＝3或a ＝-2，不合题意． ②当a2＞1，即a ＞2时，在区间上f (x )max ＝f (1)＝3a 4-12＝2⇒a ＝103.③当a2＜0，即a ＜0时，在区间上f (x )max ＝f (0)＝-a 4＋12＝2⇒a ＝-6.综上知，a ＝103或a ＝-6.类型四 二次方程根的分布已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （-1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <-12，m ∈R ，m <-12，m >-56.所以-56<m <-12.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|-56＜m ＜-12.(2)由抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝（2m ）2-4（2m ＋1）≥0，0<-m <1.⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m >-12，m >-12，m ≥1＋2或m ≤1-2，-1<m <0.所以-12<m ≤1- 2.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|-12＜m ≤1-2.【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c∈R )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(-3，-2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围．解：由题意知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0， 所以c ＝-1-2b ，记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x -b -1，则⎩⎪⎨⎪⎧g （-3）＝5-7b ＞0，g （-2）＝1-5b ＜0，g （0）＝-1-b ＜0，g （1）＝b ＋1＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＜57，b ＞15，b ＞-1，b ＞-1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 因此b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57.类型五 二次函数的综合应用已知f (x )＝m (x -2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x-2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(-∞，-4)，f (x )g (x )<0. 求实数m 的取值范围．解：当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，故m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．3．二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结构特点和a ，b ，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x 2＝±2py 理解a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (-1)＝a -b ＋c 等．1．函数f (x )＝2x 2-mx ＋3，当x ∈时是减函数，则f (1)等于( )A ．-3B ．13C ．7D ．5解：由题意知f (x )的对称轴x ＝m4，要使f (x )在上是减函数，则m4＝-2，所以m ＝-8，所以f (1)＝2＋8＋3＝13.故选B .2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解：当a ＝0时，f (x )＝bx ＋c ，无法满足f (0)＝f (4)＞f (1)，故a ≠0，f (x )为二次函数．由f (0)＝f (4)得y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝-b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.又f (0)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0.故选A .3．二次函数f (x )＝ax 2-2ax ＋c 在区间上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．∪解：二次函数f (x )＝ax 2-2ax ＋c 在区间上单调递减，则a ≠0，图象对称轴为x ＝1，所以a >0，即函数图象的开口向上，且f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.故选D .4．(2016·北京西城期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2-x ，则当x ∈时，f (x )的最小值为( )A ．-116B ．-18C ．-14D ．0解：由f (1)＝2f (0)得f (0)＝12f (1)＝0，所以当x ∈时，f (x )＝x 2-x .设x ∈，则x ＋2∈，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2-(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，所以当x ＝-32时，f (x )取最小值为-116.故选A .5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx -1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则a -b 的取值范围是( )A ．(-∞，-1)B ．(-1，＋∞)C ．(-1，1)D ．(-2，＋∞)解：易知x 1x 2＝-1a<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b -1<0，f （2）＝4a ＋2b -1>0，a ＞0，如图，作出点(a ，b )对应的平面区域，易知点A (0，1)使得目标函数z ＝a -b 取得最小值，由于边界为虚线，故有z >-1.故选B .6．(2016·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22-b 24，最小值为-b 24.令t ＝x 2＋bx ，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋b 22-b 24，t ≥-b 24，当b <0时，f (f (x ))的最小值为-b 24，所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”．故选A .7．(2015·衡水模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间上满足：①恒有解，则实数a 的取值范围为________； ②恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解：①f (x )>a 在区间上恒有解，则a <f (x )max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈，当x ＝3时，f (x )max ＝15，故a的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间上恒成立，则a <f (x )min ，又因f (x )＝x 2＋2x 且x ∈，当x ＝1时，f (x )min ＝3，故a 的取值范围为a <3.故填(-∞，15)；(-∞，3)．8．设f (x )与g (x )是定义在同一区间上的两个函数，若函数y ＝f (x )-g (x )在上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f (x )＝x 2-3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在上是“关联函数”，则实数m 的取值范围为________．解：由题意知，y ＝f (x )-g (x )＝x 2-5x ＋4-m 在上有两个不同的零点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝m 与y ＝x 2-5x ＋4(x ∈)的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈时，y ＝x 2-5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-94，-2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-94，-2时，函数y ＝m 与y ＝x 2-5x ＋4(x ∈)的图象有两个交点．故填⎝ ⎛⎦⎥⎤-94，-2.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞-2x 的解集为(1，3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求函数f (x )的解析式．解：依题意可设f (x )＋2x ＝a (x -1)(x -3)，且a ＜0.于是f (x )＝a (x -1)(x -3)-2x ＝ax 2-(2＋4a )x ＋3a .由f (x )＋6a ＝0，得ax 2-(2＋4a )x ＋9a ＝0. 所以Δ＝(2＋4a )2-36a 2＝0⇒5a 2-4a -1＝0. 解之得a ＝1(舍)或a ＝-15.所以f (x )＝-15x 2-65x -35.10．已知函数f (x )＝ax 2-2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )-mx 在上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x -1)2＋2＋b -a . 当a >0时，f (x )在上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a ＋2＋b ＝5，4a -4a ＋2＋b ＝2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a ＋2＋b ＝2，4a -4a ＋2＋b ＝5 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-1，b ＝3. (2)因为b <1，所以a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2-2x ＋2.g (x )＝x 2-2x ＋2-mx ＝x 2-(2＋m )x ＋2，因为g (x )在上单调，所以2＋m 2≤2或2＋m2≥4.所以m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(-∞，2]∪上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，-3]B ．D ．上是减函数，则1-a ≥4，即a ≤-3.故选A . 2．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2-3x -4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4，则m 的取值范围是( )A ．(0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解：二次函数y ＝x 2-3x -4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝-254，在x ＝32处取得，所以由函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是-4时，对应的自变量的值是x ＝0或x＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254，-4这个范围，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.故选B .3．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax -2＝0在区间上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235，1D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-235解法一：令f (x )＝x 2＋ax -2，而f (0)＝-2，故只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0， 解得-235≤a ≤1.解法二：由a ＝2x-x 在区间上单调递减知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235，1.故选C .4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是()解：若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′(x )＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f (x )的对称轴为y 轴，排除B.故选C .5．(2016·江南十校联考)已知函数f (x )＝a sin x -12cos2x ＋a -3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-32，0 B ． C ．(0，1]D ．解：化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a -3a，令t＝sin x (-1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a -3a(-1≤t ≤1)，问题转化为g (t )在上恒有g (t )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧g （-1）＝1-3a≤0，g （1）＝1＋2a -3a ≤0，解得0<a ≤1.故选C . 6．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m -2)x 2＋(n -8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D.812解：(1)当m ≠2时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝8-n m -2.①若m ＝0时，f (x )＝-x 2＋(n -8)x ＋1，8-n -2≤12，n ≤9，mn ＝0；②若0<m <2时，m -2<0，f (x )的图象是开口向下的抛物线，则8-n m -2≤12，所以2n ＋m ≤18，由⎩⎨⎧22mn ≤18，2n ＝m得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤92，m ≤9，mn ≤812(舍去)；③若m >2时，m -2>0，f (x )的图象是开口向上的抛物线，则8-nm -2≥2，所以2m＋n ≤12，由⎩⎨⎧22mn ≤12，2m ＝n 得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤3，n ≤6，mn ≤18.(2)当m ＝2时，一次函数f (x )＝(n -8)x ＋1单调递减，则n <8，mn ＝2n <16.综上，mn ≤18.另解：导数法．故选B .7．已知函数f (x )＝-x 2＋2ax ＋1-a 在x ∈时有最大值2，则a 的值为________．解：f (x )＝-(x -a )2＋a 2-a ＋1， 当a >1时，y max ＝f (1)＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝f (a )＝a 2-a ＋1； 当a <0时，y max ＝f (0)＝1-a .根据已知条件有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2-a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1-a ＝2， 解得a ＝2或a ＝-1.故填2或-1.8．(2016·盐城模拟)若关于x 的不等式2-x 2>|x -a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．解：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2-x 2，g (x )＝|x -a |的图象，如图所示．y ＝2-x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x -a |是与x 轴交于(a ，0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2-x 2(x <0)的图象都在折线下方，则当a ≥2时不等式2-x 2＞|x -a |无负数解．当a ＜2时，由2-x 2＝x -a 得x 2＋x -a -2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝-94，此时y ＝x -a 与y ＝2-x 2(x <0)相切，则当a ≤-94时，不等式亦无负数解，故-94<a <2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-94，2. 9．若函数y ＝lg(3-4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2-3×4x的最值及相应的x 的值．解：要使函数y ＝lg(3-4x ＋x 2)有意义，应有3-4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，所以M ＝{x |x <1或x >3}．f (x )＝2x ＋2-3×4x ＝4×2x -3×(2x )2，令2x＝t ，因为x <1或x >3，所以t >8或0<t <2. 所以y ＝4t -3t 2＝-3⎝ ⎛⎭⎪⎫t -232＋43(t >8或0<t <2)，由二次函数性质可知， 当0<t <2时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-4，43； 当t >8时，f (x )∈(-∞，-160)． 当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，y max ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．10．(2016·聊城模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (-1＋x )＝f (-1-x )；②函数y＝f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点．(1)求f (x )的解析式； (2)若不等式πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2-tx在t ∈时恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)因为由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)图象的对称轴是直线x ＝-1，所以-b2a＝-1，b ＝2a .因为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 只有一个公共点，所以ax 2＋(b -1)x ＝0有两个相同的实根，所以Δ＝(b -1)2＝0，即b ＝1，所以a ＝12.所以f (x )＝12x2＋x .(2)因为π>1，所以πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2-tx等价于f (x )>tx -2，即12x 2＋x >tx -2在t ∈时恒成立⇔函数g (t )＝xt -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在t ∈时恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＜0，g （-2）＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ＋4＞0，x 2＋6x ＋4＞0， 解得x <-3-5或x >-3＋5，故实数x 的取值范围是(-∞，-3-5)∪(-3＋5，＋∞)．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 且图象过点(0，0)．(1)求f (x )的解析式．(2)是否存在实数m ，n (m <n )使得函数f (x )的定义域和值域分别是和？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设f (x )＝a (x -1)2＋12，由f (0)＝0，得a＝-12，故f (x )＝-12(x -1)2＋12，即f (x )＝-12x 2＋x . (2)f (x )＝-12(x -1)2＋12在R 上的最大值是12.若存在合要求的m ，n ，则f (x )在上的最大值是2n ， 所以2n ≤12，即n ≤14<1，所以⊆(-∞，1]，从而是函数f (x )的单调递增区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝-12m 2＋m ＝2m ，f （n ）＝-12n 2＋n ＝2n ，m ＜n ，所以m ＝-2，n ＝0.。

2018高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质2.9.2 函数的综合应用撬题 文1．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案 (1){x |0<x ≤1} (2)①②③解析 (1)由已知条件(a ，b ，c )∈M ，c >a >0，c >b >0，a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b 得2a ≤c ，即c a≥2.a x ＋b x －c x ＝0时，有2a x ＝c x，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x ＝2，解得x ＝log c a2，1x＝log 2c a≥1，∴0<x ≤1，即f (x )＝a x ＋b x －c x的零点的取值集合为{x |0<x ≤1}． (2)对于①，∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<b c<1.此时函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 在(－∞，1)上为减函数，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >a c ＋b c，又a ，b ，c 是△ABC的三条边长，∴a ＋b >c ，即a c ＋bc>1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >1，∴a x＋b x>c x，∴∀x ∈(－∞，1)，f (x )＝a x ＋b x －c x>0，故①正确；对于②，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 在x ∈R 上为减函数，∴当x →＋∞时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x无限接近于零，故∃x ∈R ，使⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x <1，即a x ＋b x <c x ，所以a x ，b x ，c x不能构成一个三角形的三条边长，故②正确；对于③，若△ABC 为钝角三角形，c 为最大边，则a ＋b >c ，a 2＋b 2<c 2，构造函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cx＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx －1.又g (1)＝a c ＋b c －1＝a ＋b －cc>0， g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－1＝a 2＋b 2－c 2c 2<0，∴y ＝g (x )在(1,2)上存在零点，即∃x ∈(1,2)，使⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1＝0，即f (x )＝a x ＋b x －c x ＝0，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.2．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程为________cm.答案 11解析 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11.3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减； 当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减． (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立， 从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0， 因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]，因函数有三个不同的零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.综上c ＝1.。

……………………………………………… ………………………………………………时间：60分钟基础组1.下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝2|x |C ．y ＝log 21|x |D ．y ＝sin x答案 C解析 函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数；函数y ＝2|x |在(－∞，0)上是减函数；函数y ＝log 21|x |＝－log 2|x |是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y ＝sin x 不是偶函数．综上所述，选C.2. 函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( )点击观看解答视频A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝⎛⎭⎪⎫lg12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (f (x ))是奇函数 D ．函数g (g (x ))是奇函数 答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f y x ＋f xy成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f1＋f1，∴f (1)＝0. 令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －－1＋f －－1，∴f (－1)＝0.令y ＝－1，则f (－x )＝f －x＋f x－1，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． 又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3－8，x ≥2，－x －3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x －3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－x －3－8>0，解得x >4或x <0.故选B.6. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函数，则( )点击观看解答视频A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在上是增函数可以推知，f (x )在上递增， 又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.9．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)， 得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1， ∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f (5.5)的值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝f －x ，fx ＝f －x⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5)＝f (0.5)＝0.25.12．已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0. ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <c <b D ．a <b <c答案 B解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，① 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，② 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b .14．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数， 则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2， ∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. 定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．点击观看解答视频(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， ∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立． 又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.∴实数m 的取值范围是已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数， ∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数， ∴对任意x ∈，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在上的值域为．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2， 当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。