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1.2基本初等函数的图像和性质学生版

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1 第一专题 二 基本初等函数图像与性质 知识梳理 1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系 定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 3．函数的性质 (1)单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1在D上是增函数(都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)． (2)奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (3)周期性 周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件： ①当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；②T是不为零的最小正数。 (4)最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； ②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)． 4．函数单调性的判定方法 (1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． (2)导数法． (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 5．函数奇偶性的判定方法 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． (2)对于定义域内的任意一个x，若都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若都有f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数； 若都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数； 6．指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 对数函数 定义 形如y＝ax (a>0且a≠1)的函数叫指数函数 形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数

图象 定义域 值域 过定点 单调性 函数值 性质 7.函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称． 2

总结：内同为周期，内异为对称。 热点突破 题型一 函数及其表示

例1（1） (2012山东改编)21()4ln(1)fxxx的定义域是（）

（2）(2012江苏)设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，

，，

其中abR，．若1322ff，则3ab的值为 ▲ ．

变式1 把例1的（1）解析式改为1()lg(1)1fxxx求定义域. 2 (2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝ 2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

3.设函数22gxxxR，4,,,,gxxxgxfxgxxxgx则fx的值域是（ ）． 拓展提升： 1.函数定义域常见求法： 2.复合函数定义域的求法①已知f(x)的定义域为[a,b]，求f(g(x))的定义域,实质是求a≤g(x)≤b；②已知f(g(x))的定义域为[a,b]，求f(x)的定义域，实质是求g(x)在[a,b]的值域. 3.分段函数问题是江苏高考的重点，每年必考，它的所有问题要分段来解决，然后再合并； 题型二 函数图像及其应用

例2 设函数f(x)＝ x2＋bx＋c x≤02 x>0若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求关于x的方程f(x)＝x的解的个数.

变式1 (2012·浙江台州中学期末)若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________． 3

2. 已知定义在区间(0,2)上的函数()yfx的图像如图所示,则(2)yfx的图像为 3.已知函数2|1|=1xyx的图象与函数=2ykx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .

4.(2012山东)函数xxxxf226cos)(的图像大致为

拓展提升： 1.函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错． 2.函数图像的常见变换方法：平移变换(左右，上下)，对称变换(x,y,y=x,y=-x等)，伸缩变换，对折变换 题型三 函数性质及其应用 例3 (1)(2012·重庆)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

(2)设奇函数y＝f(x) (x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈1[0,]2时，f(x)＝－x2，则

f(3)＋f3()2的值等于________．

变式1 (2012·吉林实验中学六模)给出两个函数性质：性质1：f(x＋2)是偶函数；性质2：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．对于函数：①f(x)＝|x＋2|，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x－2)，上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是________． 4

变式2 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

拓展提升： 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的实际情况，通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．本题第(2)小题中，实际上就是用已知条件给出了这个函数，解决问题的基本思路有两条：一条是把这个函数在整个定义域上的解析式求出，然后再求解具体的函数值；一条是推证函数的性质，把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值．本题根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)还可以推证函数y＝f(x)的图象关

于直线x＝12对称，函数又是奇函数，其图象关于坐标原点对称，这样就可以画出这个函数在13[,]22上的图象，再根据周期性可以把这个函数的图象拓展到整个定义域上，进而通过函数的图象解决求指定的函数值，研究这个函数的零点等问题，在复习中要注意这种函数图象的拓展． 题型四 图像与性质的综合问题 例4 f(x)定义在R上的奇函数满足f(x-4)=-f(x). (1)求f(2012);(2)求证：f(x)图像关于x=2对称; (3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(-25),f(11),f(80)的大小； (4)若f(x)满足(3)中的条件，f(2)=1，求f(x)的值域.

变式1定义在(－1,1)上的函数f(x)．(ⅰ)对任意x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f ()1xyxy； (ⅱ)当x∈(－∞，0)时，f(x)>0， 回答下列问题． (1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；

(3)若f 1()5＝12，试求f 1()2－f1()11－f 1()19的值．

2 .函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－12)]<0的解集．

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时， f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 011)． 5

4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.

5.函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

拓展提升： 1.单调性问题解法常见思路：画出图形一般理用数形结合；对于复合函数问题转化为基本初等函数问题；解析式较为复杂的利用导数研究，抽象函数一般利用定义 2.函数奇偶性问题：可先求参数的值，做出对称区间上的函数图像，再求解析式，函数值，判断单调性等； 3.周期性：注意常见函数推导周期的式子 4.最值的常见求法：单调性法，图像法，基本不等式，导数等 题型五 求解函数中的参数问题 例5 已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2, ＋∞)时，f(x)<0. (1)求f(x)在[0,1]内的值域； (2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？

变式1.(2012·日照模拟)对实数a和b，定义运算“”：ab＝ a，a－b≤1，b，a－b>1.设函数f(x)＝(x2－2)(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________________．

2.(31)4,1()log,1aaxaxfxxx…是R上的减函数，则a的取值范围是（） 3.

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最新(考研高数)基本初等函数图像与性质

最新(考研高数)基本初等函数图像与性质

（高数）基本初等函数图像与性质1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性3.每个函数的图像很重要一、幂函数 a x =y (a 为常数）最常见的几个幂函数的定义域及图形1.当a 为正整数时，函数的定义域为区间(,)x ∈-∞+∞，他们的图形都经过原点，并当a>1时在原点处与x 轴相切。

且a 为奇数时，图形关于原点对称；a 为偶数时图形关于y 轴对称；2.当a 为负整数时。

函数的定义域为除去x =0的所有实数。

3.当a 为正有理数m n时，n 为偶数时函数的定义域为(0,)+∞，n 为奇数时函数的定义域为(,)-∞+∞。

函数的图形均经过原点和(1,1)；如果m n >图形于x 轴相切,如果m n <,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m，n均为奇数时,跟原点对称。

4.当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

二、指数函数xay=(a是常数且01a a>≠，)，),(+∞-∞∈x图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；0<a<1时，单调减少。

今后用的较多。

三、对数函数xyalog=(a是常数且01a a>≠，)，(0,)x∈+∞；四、三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；五、反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ， 反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数xy arctan=，),(+∞-∞∈x，)2,2(ππ-∈y，反余切函数xy cotarc=，),(+∞-∞∈x，),0(π∈y．Αα：阿尔法 Alpha Ββ：贝塔 BetaΓγ：伽玛 Gamma Δδ：德尔塔 DelteΕε：艾普西龙 Epsilon ζ ：捷塔Zeta Ζη：依塔 Eta Θθ：西塔 Theta Ιι：艾欧塔 IotaΚκ：喀帕 Kappa ∧λ：拉姆达 LambdaΜμ：缪 Mu Νν：拗 NuΞξ：克西 Xi Οο：欧麦克轮 Omicron∏π：派 Pi Ρρ：柔 Rho∑σ：西格玛 Sigma Ττ：套 TauΥυ：宇普西龙 Upsilon Φφ：fai PhiΧχ：器 Chi Ψψ：普赛 PsiΩω：欧米伽 Omega七年级下册道德与法治第一次月考试卷班级姓名一．单选题（共18小题，每小题2分，共36分）1．欣赏漫画《宅童》，你最想对“宅童”说的是（）①封闭自己，脱离现实世界，会使自己陷入孤立②这种把自己“宅”起来的做法，会使自己的人际关系萎缩③应该保持积极开放的态度，接触更多的人④在虚拟世界中获得成就感也能形成良好的性格，人生才更精彩。

1-2基本初等函数,常用经济函数

1-2基本初等函数,常用经济函数

（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只 手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300 只, 求供应函数Qs （3）求市场均衡价格和市场均衡数量. (1) Q=80000-1000p (2) S=100p+3000
成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
y x 1.幂函数
(是常数)
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
• 指数函数
年复利率5.5%，投资100元 1年后，100•1.055 2年后，100•(1.055) … …
n x 2
n年后， 100•(1.055)
复利提供了指数函数的一个例子y=P•a
y a x (a 0 且 a 1 )
3. 对数函数 (logarithmic function)
y loga x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
• 对数函数的性质
a e
log a x
x, log a a x
x x
ln x
x, ln e x
4. 三角函数
正弦函数
y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
• 恒等式
cos2 sin 2 1
cos( A B) cos A cos B sin A sin B sin( A B) sin A cos B cos A sin B
基本初等函数知识总结

基本初等函数知识总结

基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。

北京四中数学必修一讲义第二章基本初等函数第2讲 2.1.2 指数函数图像及性质 学生版

北京四中数学必修一讲义第二章基本初等函数第2讲 2.1.2 指数函数图像及性质 学生版

第2讲 §2.1.2 指数函数图像及性质※知识要点1．指数函数的概念一般的，形如函数 ( )叫做指数函数，其中自变量是 ，定义域是 ；2．指数函数的图像及性质※题型讲练【例1】下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2； (6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．变式训练1：1．若f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，则实数a 的值为 ．2．已知f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是_____．3．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝16，则f (－32)＝_____.【例2】(1)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(2)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________．变式训练2：1．函数f (x )＝a x －12(a >1)的图象必过定点________，其图象必不过第_____象限.【例3】解下列不等式：(1)2x ＋2－1≤0； (2)4x －1＞22； (3)(13)x ＜39．变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1)f (x )＝110x －1； (2)f (x )＝4－12x ．【例4】分别求下列函数的值域：(1)f (x )＝10x －1； (2)f (x )＝(23)x －1，x ∈[0，＋∞)；(3)f (x )＝4－12x ； (4)y ＝4x ＋2x ＋1＋2．变式训练4：1．函数y ＝8－23－x 在区间x ∈[0,＋∞)上的值域是________．2．若f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域、值域都是[0，2]，则实数a 的值为 ．3．已知0≤x ≤2，求f (x )＝9x －2·3x ＋5的最大值．※课堂反馈1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C ．(12)x D ．(22)x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8] B ．[－89，8] C ．(19，9] D ．[19，9]3．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．4．若f (x )＝(a 2－1)a x 是指数函数，则实数a 的值为 ．5．已知指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________.6．已知函数f (x )＝4－2x ，求f (x )的定义域和值域．※基础夯实1．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．12．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝13x3．函数f (x )＝2|x |－1在区间[－1，2]上的值域是( )A ．[1,4]B ．[12,2] C ．[1,2] D ．[12,1]4．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )5．如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是() A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cD ．a ＜b ＜1＜d ＜c6．指数函数f (x )＝5+a x ＋1的图象恒过定点________．7．若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[0，1]上最大值与最小值和为3，则实数a 的值为 ．8．函数y ＝8－24－x (x ≥0)的值域是________． 9．已知函数f (x )＝a x 2－2x (a >0且a ≠1)的图象经过点(1，2)，(1)求a 的值； (2)求函数y ＝f (x )在R 上的值域．10．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值.※能力提升1．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限2．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________． 4．定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )，a (a ＜b )，则函数f (x )＝3－x ※3x 的值域为________． 5．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次. 6．若函数f (x )＝2ax2－ax +1－1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．。