2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学(理)试题(解析版)
- 格式：doc
- 大小：2.27 MB
- 文档页数：25
2020届湖北省随州市高三下学期3月调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合11M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}2210N x x x =+-≤，则M N =I （ ）A ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}01x x <≤ 【答案】A【解析】先化简集合两个集合，再求交集. 【详解】{}01M x x =<≤Q ，{}2121012N x x x x x ⎧⎫=+-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， 102M N x x ⎧⎫∴⋂=<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题. 2．已知复数131iz i-=-，则复数z 在复平面内对应的点，到点()1,2-的距离为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】D【解析】先化简复数()()()()131134221112i i i iz i i i i -+--====---+，明确复数z 在复平面内对应的点，再用两点间的距离公式求解. 【详解】 因为()()()()131134221112i i i iz i i i i -+--====---+， 复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，到点()1,2-的距离为故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查运算求解的能力，属于基础题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的倾斜角之差为23π，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B C D ．【答案】A【解析】设两条渐近线的倾斜角分别为α，()βαβ>，则23παβ-=，再根据αβπ+=，求得α，β，有tan b a β=，再利用离心率与ba关系求解. 【详解】设两条渐近线的倾斜角分别为α，()βαβ>，则23παβ-=. 又αβπ+=，5=6πα∴，=6πβ，tan tan63b a πβ∴===所以离心率3c e a ==. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.4．已知m ，n 是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥C ．若m αβ=I ，//n α，则//m nD ．若m α⊥，βn//，//αβ，则m n ⊥【答案】D【解析】A.若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α.B.若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊄，不成立，C.若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行.D.由面面垂直的性质定理判断. 【详解】若m n ⊥，m α⊥，则n αP 或n ⊂α，故A 不正确，；若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，若n β⊂，则n α⊥，故B 不正确， 若m αβ=I ，//n α，m 与n 的关系是异面或平行，故C 不正确， 若m α⊥，//αβ，m β⊥，又因为βn//，所以m n ⊥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，还考查理解辨析的能力，属于中档题.5．已知向量a r ，b r 满足2a a b =-=r r r ，向量b r 在向量a r 方向上的投影为3，则向量a r 与向量b r的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】根据2a a b =-=r r r ，两边平方整理得22cos a b b θ⋅=r r r .又因为向量b r在向量a r方向上的投影为3，所以cos 3b θ=r ，代入上式求解.【详解】2a a b =-=r r rQ ，22224a a a b b ∴=-⋅+=r r r r r ， 22cos a b b θ∴⋅=r r r .Q 向量b r 在向量a r方向上的投影为3，cos 3b θ∴=r，b ∴=rcos 2θ∴=， 30θ∴=︒.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查运算求解的能力，属于中档题.6．函数()()cos 10f x x x a ωω=+->的最小正周期是π，则函数()f x 在区间[]0,100上的零点个数为（ ） A ．31 B ．32C ．63D ．64【答案】D【解析】先用辅助角法，将()12cos 12f x x x ωω⎫=+-⎪⎪⎝⎭，转化为()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再由最小正周期是π，求得解析式，然后求零点即可.【详解】因为()12cos 122f x x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 16x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.Q 最小正周期是π，=2ω∴.()2sin 216f x x π⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 2266x k πππ∴+=+或52266x k πππ+=+，k ∈Z . x k π∴=或3x k ππ=+，k ∈Z .0100x ≤≤Q ，∴当x k π=时，0x =，π，2π，3π，L ，31π共32个；当3x k ππ=+时，3x π=，3ππ+，23ππ+，L ，313ππ+共32个.∴函数()f x 在区间[]0,100上的零点总共有64个.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和零点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．在nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ） A ．-126 B ．-70C ．-56D ．-28【答案】C【解析】根据只有第5项的二项式系数最大，得到8n =，再利用8x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()3821810,1,2,,8k kkk T C xk -+=-=L ，分析二项式系数和项的系数间的关系求解. 【详解】Q 只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，8x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()388218810,1,2,,8kk k k k k k T C x C xk x --+⎛=-=-= ⎪⎝⎭L ， ∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数. 而展开式中第5项的二项式系数最大， 因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，系数为()338156C -=-.故选：C 【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．函数()1sin 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断. 【详解】()1sin 1x x e f x x e +=⋅-的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()11sin sin 11x x x x e e f x x x e e --++-=⋅-=⋅--Q ，()f x ∴是偶函数，排除A ，C .又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 0x >，∴此时()0f x >，排除D ，故选：B . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.9．若2sin 3sin 73παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan α=（ ） A ．233-B 23C ．3D 3【答案】A【解析】利用两角和与差的三角的正弦，将2sin 3sin 73παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin 1αϕ-=，其中3sin 7ϕ=，cos 7ϕ=22k παπϕ=++，然后求解sin ,cos αα即可.【详解】 因为2sin 3sin 73παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以12sin 3sin 2ααα⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭即2sin αα=αα⎫=⎪⎪⎭()sin 1αϕ-=，其中sinϕ=，cos ϕ=，22k παϕπ∴-=+，k ∈Z ，22k παπϕ∴=++，k ∈Z ，sin sin 2sin cos22k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos 2cos sin 22k ππαπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3α∴=-. 故选：A 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的正用和逆用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．已知11ee a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11b ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，134c =，其中e 是自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A【解析】由题意得1ln ln 1a e e ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1ln ln 1b ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1ln ln 133c =+，然后构造函数()()()ln 10x f x x x+=>并利用导数研究其单调性，最后利用其单调性即可比较大小. 【详解】对a ，b ，c 两边都取自然对数得1ln ln 1a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1ln ln 1b ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1ln ln 133c =+，令()()()ln 10x f x x x+=>，得()()21'ln 1xx x x f x -++=，设()()ln 11xg x x x =-++，得()()2'01xg x x =-<+，∴()g x 在()0,∞+递减，∴()()00g x g <=，∴()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+递减，又1ln a f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =，∴()113f f f e π⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查构造函数并利用其单调性比较大小问题，属较难题.11．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．2m n m+ B ．2m nn+ C ．24m nm+ D ．22m nn+ 【答案】C【解析】根据在区间()0,1内随机取2m 个数，则有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】依题有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为142π-， 由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．在Rt ABC V 中，角2C π=，点D 是边AC 上一点，点E 在BD 上.若1CD =，DAE DEA ABC ∠=∠=∠，则BE =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】设DAE DEA ABC θ∠=∠=∠=，则2BDC θ∠=，BEA πθ∠=-.在Rt BCD V 中，表示tan 2BC θ=，在Rt ABC V 中，表示tan 2cos 2AB θθ=，22BAE πθ∠=-，然后在ABE △中，由正弦定理sin sin AB BEAEB BAE=∠∠求解.【详解】 如图所示：设DAE DEA ABC θ∠=∠=∠=， 则2BDC θ∠=，BEA πθ∠=-. 在Rt BCD V 中，tan 2BC θ=，在Rt ABC V 中tan 2cos 2AB θθ=，22BAE πθ∠=-，在ABE △中，由正弦定理得sin sin AB BEAEB BAE=∠∠，即tan 2cos sin sin 22BE θθπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，tan 2cos 2sin 22sin cos sin cos BE θθθθθθθ∴===.故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题二、填空题 13．若函数()2ln 12x f x x x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10x ay -+=垂直，则实数a =__________. 【答案】-2【解析】先求得()21ln xf x x x-'=+，再求()1f '，然后利用切线与直线10x ay -+=垂直，斜率互为负倒数求解. 【详解】因为()2ln 12x f x x x =+ 所以()21ln xf x x x -'=+，()12f '∴=，()f x ∴在点()()1,1f 处的切线斜率为2.又切线与直线10x ay -+=垂直，121a∴⨯=-， 2a ∴=-.故答案为：-2 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题14．直三棱锥111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形且斜边2BC =，D 是BC 的中点.若12AA =，则异面直线1A B 与AD 所成的角为__________. 【答案】60°. 【解析】取11B C 的中点1D ，连接11A D ，1D B ，则11AD A D ∥，根据异面直线所成的角的定义，11BA D ∠就是异面直线1A B 与AD 所成的角.易证111A D D B ⊥，然后在11Rt A BD △中求解.【详解】 如图，取11B C 的中点1D ，连接11A D ，1D B ，则11AD A D ∥，11BA D ∴∠就是异面直线1A B 与AD 所成的角. 1111A B AC =Q ，1111A D B C ∴⊥.又111A D CC ⊥，11A D ∴⊥面11BCC B ，111A D D B ∴⊥，11A D B ∴△为直角三角形，在11Rt A BD △中，111A D =，12A B =，13BD ，1160BA D ∴∠=︒.故答案为：60° 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，还考查了数形结合的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：十万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只. 【答案】1.6【解析】设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ，根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L .即()()2222125125257.2xx x x x x x x +++-++++=L L ，再利用21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4求解. 【详解】依题意，得22212520x x x +++=L .设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为x ， 根据方差的计算公式有()()()2221251 1.445x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦L .()()2222125125257.2x x x x x x x x ∴+++-++++=L L ，即22201057.2x x -+=，1.6x ∴=.故答案为：1.6 【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题. 16．已知抛物线2:4C y x =，斜率为13的直线l 与C 相交于A ，B 两点.若以点()1,1E 为圆心的圆是OAB V 的内切圆，则圆E 的半径为__________.【答案】5【解析】设直线l的方程为13y x m=+，即330x y m-+=，直线与圆相切，则r==.设直线OA，OB的方程分别为1y k x=，2y k x=，Q直线OA，OB与圆Er=r=，即1k与2k是方程()2221210r x x r--+-=的两个不同实根，则12121212121y y y yk kx x x x=⋅==，即1212x x y y=.然后由直线l与抛物线相交，通过韦达定理求解.【详解】设直线l的方程为13y x m=+，即330x y m-+=，内切圆的半径为r，则r==.设直线OA，OB的方程分别为1y k x=，2y k x=，即10k x y-=，2k x y-=，Q直线OA与圆E相切，r=，整理得()222111210r k k r--+-=.同理得()222221210r k k r--+-=.1k∴与2k是方程()2221210r x x r--+-=的两个不同实数根.()221221214410211rrk krk k≠⎧⎪∆=-->⎪⎪∴⎨⎪+=-⎪⎪=⎩.设()11,A x y，()22,B x y，则12121212121y y y yk kx x x x=⋅==，即1212x x y y=.由2134y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得212120y y m -+=， 12121444801212m y y y y m ∆=->⎧⎪∴+=⎨='⎪⎩，3m ∴<. ()2212121916x x y y m ==，2912m m ∴=，依题0m ≠， 43m ∴=，满足条件. r ∴===【点睛】本题主要考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，112a b ==，234S S S +=，37646a a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设22log log n nn n na b c b a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；2nn b =（2）1211n T n n =+-+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .根据234S S S +=，124a a a +=.再由12a =，求{}n a 的通项公式.由63746b a a =+和12b =，求{}n b 的通项公式（2）由（1）得2222log log 211log log 211n n n n n n n a b n n nc b a n n n ++=+=+=+++，转化为1121n C n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .234S S S +=Q ，即121231234a a a a a a a a a ++++=+++， 124a a a ∴+=.12a =Q ，1d ∴=，()111n a a n d n ∴=+-=+. 3764664a a b ∴+==.12b =Q ，2q ∴=，2n n b ∴=.（2）2222log log 211log log 211n n n n nn n a b n n nc b a n n n ++=+=+=+++ ()11111111112111n n n n n n n +-⎛⎫=++=++-=+- ⎪+++⎝⎭1111111121212233411n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．如图，平面ABCD I 平面ABEF AB =，四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°.（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】（1）根据三角形的中位线，有MN BF P ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据点M ，N 分别是AF ，AB 的中点，二面角D AB F --的大小为60°，证明DM ⊥平面ABEF ，然后以点M 为原点，MF ，MG （G 是BE 中点），MD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，再求得平面BCF 的一个法向量，利用线面角的向量求法求解. 【详解】（1）证明：M Q ，N 分别是AF ，AB 的中点，MN BF ∴P .MN ⊄Q 平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，//MN ∴平面BCF .（2）Q 四边形ABCD 和ABEF 都是边长为2的正方形，DA AB ∴⊥，FA AB ⊥，DAF ∴∠就是二面角D AB F --的平面角，60DAF ∴∠=︒.连接DM ，在DAM △中，2DA =，1AM =，60DAM ∠=︒，2222cos603DM AM AD AM AD ∴=+-⋅⋅︒=，3DM ∴=.222DM AM AD ∴+=，DM AM ∴⊥.DA AB ⊥Q ，FA AB ⊥，FA DA A =I ，AB ∴⊥平面ADM ，AB DM ∴⊥.DM ∴⊥平面ABEF .以点M 为原点，MF ，MG （G 是BE 中点），MD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 如图所示：则(3D ，()1,2,0E ，()1,2,0B -，()1,0,0F ，()1,0,0A -，(1,2,3DE =u u u r ，()2,2,0BF =-u u u r，(3BC AD ==u u u r u u u r .设平面BCF 的法向量为(),,m x y z =u r，则220m BF x y m BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v，取)1m =-u r .设直线DE 与平面BCF 所成角为θ，则sin 7m DE m DEθ⋅==u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面BCF.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，垂直关系的转化以及直线与平面所成的角，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取3名女生进行调查，设X 表示所选3名学生中身高在[)170175,的人数，求X 的分布列和数学期望.（身高单位：厘米） 【答案】（1）400（名）（2）0.49（3）详见解析【解析】（1）根据统计表，可知样本中男生人数和女生人数，再按比例求解.（2）由表知样本中身高在[]170,190的人数和样本容量，再代入公式求解.（3）根据题意，明确X 的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列求期望. 【详解】（1）样本中男生为60名，女生为40名. 估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++，样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100. ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===. X ∴的分布列为()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知O 是坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为分别为1F ，2F ，点M 在椭圆上，若12MF F △的面积最大时12120F MF ∠=︒.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:2l x =与椭圆C 在第一象限交于点N ，点A 是第四象限的点且在椭圆C 上，线段AB 被直线l 垂直平分，直线NB 与椭圆交于另一点D ，求证：//ON AD .【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析【解析】（1）确定M 是椭圆的上顶点或下顶点时12MF F △的面积最大，则有1cos602b a ︒==，即2a b =，再根据2c =求解.（2）依题意，点N 的坐标为()2,1N ，直线ND 不与x 轴垂直，设直线():12ND y k x -=-，即12y kx k =+-，设(),y D D D x ，(),A A A x y .由2218212x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()22214812161640k x k k x k k ++-+--=.由韦达定理，用k 表示D x ，再根据0NA ND k k +=，得到A x ，进而求得AD k ，ON k 证明. 【详解】（1）当M 是椭圆的上顶点或下顶点时12MF F △的面积最大， 设M 是椭圆的上顶点， 则1cos602b a ︒==，即2a b =.又2c =222a b c =+，28a ∴=，22b =，26c =.∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=. （2）证明：依题意，点N 的坐标为()2,1N ，直线ND 不与x 轴垂直，设直线():12ND y k x -=-，即12y kx k =+-，直线():12NA y k x -=--，即21y kx k =-++. 设(),y D D D x ，(),A A Ax y .由2218212x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩， 得()()22214812161640kxk k x k k ++-+--=.2216164214D k k x k --∴=+，2288214D k k x k --∴=+. 则2288214A k k x k+-=+. 又12D D y kx k =+-，12A A y kx k =-++，()2221644411416214D A D A AD D A D A k k k k x x k y y k k k x x x x k-⨯-+--+∴====---+.又12ON k =，AD ON k k =.//ON AD ∴.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21．已知函数()()2122xf x x e ax =-+. （1）若1a =-，求函数()()g x f x x =+的单调区间；（2）若函数()()xh x f x e =+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增区间是(),0-∞和()1,+∞，减区间是()0,1（2）0a > 【解析】（1）由()()2122xg x x e x x =--+，求导()()()()2111x x x g x e x e x x e '=+--+=--.再令()0g x '>求解.（2）()()2112xh x x e ax =-+，()()x x h x xe ax x e a '=+=+.当0a =时，()()1x h x x e =-，易证只有一个零点.当0a >时， 易证()h x 极小值()01h ==-.又()102ah =>，根据零点存在定理()00,1x ∃∈，使()00h x =.当0x <时， ()()222111111222x h x x e ax x ax ax x =-+>-+=+-.取110x a-=<，则()21111102h x ax x >+-=，则由()()100h x h ⋅<，又存在一个零点.当0a <时，由()()0x h x x e a '=+=，得0x =或()ln x a =-.分()ln 0a ->，()ln 0a -=，()ln 0a -<讨论.【详解】（1）因为1a =-，所以()()2122x g x x e x x =--+， ()()()()2111x x x g x e x e x x e '=+--+=--.令()0g x '>，解得1x >或0x <.∴函数()g x 的增区间是(),0-∞和()1,+∞，减区间是()0,1.（2）()()2112x h x x e ax =-+，()()x x h x xe ax x e a '=+=+. 当0a =时，()()1x h x x e =-，()h x 只有1个零点1x =，不合题意.当0a >时，0x e a +>.0x <时，()0h x '<，()h x 为减函数；0x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，()h x ∴极小值()01h ==-.又()102a h =>， ∴当0x >时，()00,1x ∃∈，使()00h x =.当0x <时，1x e <，()11xx e x ∴->-， ()()222111111222x h x x e ax x ax ax x ∴=-+>-+=+-.取110x a-=<，则()21111102h x ax x >+-=， ()()100h x h ∴⋅<，∴函数()h x 有2个零点.当0a <时，由()()0x h x x e a '=+=，得0x =或()ln x a =-. ①当()ln 0a ->，即1a <-时，由()0h x '>，得()ln x a >-或0x <，()h x ∴在(),0-∞和()()ln ,a -+∞递增，在()()0,ln a -递减. ()h x ∴极大值()01h ==-.∴函数()h x 至多有1个零点，不符合题意；②当()ln 0a -=，即1a =-时，()h x 在(),-∞+∞单调递增，()h x ∴至多有1个零点，不合题意；③当()ln 0a -<，即10a -<<时，由()0h x '>，得()ln x a <-或0x >，()h x ∴在()(),ln a -∞-和()0,∞+递增，在()()ln ,0a -递减.0x <Q ，0a <时，()()21102x h x x e ax =-+<， ()()ln 0h a ∴-<.又()01h =-，∴函数()h x 至多有1个零点，不合题意.综上，a 的取值范围是0a >.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值以及函数的零点问题，还考查了函数与方程、分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ.【答案】（10y --=；()2224x y -+=（2）λ=【解析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解. 【详解】（1）由112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y --=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部. 21t t λ∴=-. 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得21t t =，21t t λ∴=-=. 1λ>Q，λ∴=. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．已知函数()212f x x x =++-.（1）解不等式()6f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，已知0a >，0b >且2ab a b m +-=+，求+a b 的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤（2）4 【解析】（1）将函数去绝对值，得()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，然后分段求解.（2）先求分段函数的最小值，3m =.将2ab a b m +-=+，转化为()()114a b -+=，再利用基本不等式有()()11a b a b +=-++≥. 【详解】 （1）()3,12124,123,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪≥⎩，∴当1x ≤-时，由36x -≤，得21x -≤≤-；当12x -<<时，由46x +≤，得12x -<<；当2x ≥时，由36x ≤，得2x =.综上所述，原不等式的解集为{}22x x -≤≤. （2）()3,14,123,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩Q ，()f x ∴在(),1-∞-递减，在()1,-+∞递增.()()min 13f x f ∴=-=.3m ∴=.5ab a b ∴+-=，即()()114a b -+=.0a >Q ，0b >，1a ∴>.则()()114a b a b +=-++≥=，当且仅当11a b -=+且()()114a b -+=，即3a =，1b =时，取等号.3a ∴=，1b =时+a b 有最小值4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
