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第一章 随机过程的基本概念与基本类型

一．随机变量及其分布

1．随机变量 X ， 分布函数 F ( x) P(X x)

离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 pk P( X xk ) 分布函数 F ( x) p

k

X 的概率分布用概率密度 f (x) x f (t )dt

连续型随机变量 分布函数

F ( x)

2． n 维随机变量 X ( X1 , X 2 , , X n ) 其联合分布函数 F (x) F (x1 , x2 , , xn ) P( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , ) 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征

数学期望：离散型随机变量 X EX xk pk 连续型随机变量 X EX xf ( x) dx

方差： DX E( X EX ) 2 EX 2 ( EX ) 2 反映随机变量取值的离散程度

协方差（两个随机变量 X , Y ）： BXY E[( X EX )(Y EY )] E( XY ) EX EY

相关系数（两个随机变量 X, Y ）： XY BXY 若 0，则称 X ,Y 不相关。

DX DY

独立 不相关 0

４．特征函数 g(t ) E (eitX ) 离散 g(t ) eitxk pk 连续 g (t) eitx f ( x) dx

重要性质： g(0) 1 ， g(t) 1 ， g ( t ) g (t) ， g k (0) i k EX

k

５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 P( X 1) p, P( X 0) q EX p DX p q

二项分布 P( X k) C nk pk qn k EX np DX

npq

k 泊松分布 P( X k) e EX DX 均匀分布略

k!

1 ( x a)2 正态分布 N (a, 2 ) f (x) e 2 2

2

EX a DX

2 f ( x) e x , x 0

EX 1 1

指数分布 x 0 DX2 0,

６．Ｎ 正 随机 量 X ( X 1 , X 2 , , X n ) 的 合概率密度 X ~ N ( a, B)

f ( x1 , x2 , , xn ) 1 exp{ 1 T B 1 ( x a)} n 1 ( x a)

( 2 ) 2 | B |2 2

a (a1 , a2 , , an ) ， x (x1 , x2 , , xn ) ， B (bij ) n n

正定 方差

二．随机 程的基本概念 １．随机 程的一般定

( , P) 是概率空 ， T 是 定的参数集， 若 每个 t T ，都有一个随机 量 X 与之 ，

称随机 量族 X (t, e), t T 是 ( , P) 上的随机 程。 X (t), t T 。

含 ： 随机 程是随机 象的 化 程， 用一族随机 量才能刻画出 种随机 象的全部 律性。另一方面，它是某种随机 的 果，而 出 的 本函数是随机的。

当 t 固定 ， X (t , e) 是随机 量。当 e固定 ， X (t, e) 普通函数，称 随机 程的一个 本

函数或 道。 分 ：根据参数集 T 和状 空 I 是否可列，分四 。 也可以根据 X (t) 之 的概率关系分 ， 如独立增量 程， 可夫 程，平 程等。 ２．随机 程的分布律和数字特征

用有限 分布函数族来刻划随机 程的 律性。随机 程 X (t), t T 的一 分布，二 分

布，⋯， n 分布的全体称 有限 分布函数族。随机 程的有限 分布函数族是随机 程概率特征的完整描述。在 中，要知道随机 程的全部有限 分布函数族是不可能的，因此用某些 特征来取代。

（１）均 函数 mX (t) EX (t)

表示随机 程 X (t), t T 在 刻 t 的平均 。

（２）方差函数 D X (t) E[ X (t )

mX (t)] 2 表示随机 程在 刻 t

均 的偏离程度。

BX (s,t ) E[( X ( s) m X (s))( X (t) m X (t ))] （３） 方差函数 且有 BX (t, t) D X (t ) E[ X (s) X (t)] m X ( s)mX (t)

（４）相关函数 RX (s,t) E[ X (s) X (t)] (3) 和(4) 表示随机 程在 刻 s ， t 的 性相关程度。

（５）互相关函数： X (t ),t T ， Y(t), t T 是两个二 距 程， 下式称 它 的互 方差函 数。 BX Y ( s, t) E[( X (s) mX ( s))( Y(t) mY (t ))] ，那么 RXY (s,t ) E[ X (s)Y(t)]

，称为互相关函数。

E[ X (s)Y (t )] mX (s)mY (t )

若 E[ X ( s)Y(t )] m X (s)mY (t ) ，则称两个随机过程不相关。 ３．复随机过程 Z t X t jYt

均 值 函 数 mZ (t) EX t j t E Y 方 差 函 数 D Z (t) E[| Z t mZ (t) |] 2 E[( Zt mZ (t ))(Z t mZ (t ))] BZ ( s, t ) E[( Zs mZ (s))(Z t mZ (t))] ( , ) [ ]

协方差函数 相关函数 RZ s t E Z s Z t

E[ Z s Zt ] mZ ( s)mZ (t)

４．常用的随机过程

（１）二阶距过程：实（或复）随机过程 X (t ), t T ，若对每一个 t T ，都有 E X (t ) 2 （二 阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。

（ 2）正交增量过程：设 X (t), t T 是零均值的二阶距过程，对任意的

t1 t2 t 3 t

4 T

，有

E[( X (t2 ) X (t1 ))( X (t 4 ) X (t 3 ))] 0 ，则称该随机过程为正交增量过程。

其协方差函数 BX ( s, t ) RX (s, t ) X2 (min( s,t ))

（ 3）独立增量过程： 随机过程 X (t ),t T ，若对任意正整数

n 2 ，以及任意的 t

1 t2 t

n T

，

随机变量 X (t2 ) X (t1 ), X (t4 ) X (t3 ), , X (tn ) X (t n 1 ) 是相互独立的， 则称 X (t), t T

是独立

增量过程。 进一步，如 X (t ), t T 是独立增量过程，对任意 s t ，随机变量 X (t) X (s)

的分

布仅依赖于 t s ，则称 X (t), t T 是平稳独立增量过程。 （ 4 ） 马 尔 可 夫 过 程 ： 如 果 随 机 过 程 X (t), t T 具 有 马 尔 可 夫 性 ， 即 对 任 意 正 整 数 n 及 t1 t 2 t n T ， P( X (t1 ) x1, , X (tn 1 ) xn 1 ) 0

，都有

P X (tn ) xn X (t 1 ) x1 , , X (t n 1 ) xn 1 P X (t n ) xn X (t n 1 ) xn 1 ，则则称 X (t ), t T

是马尔可夫过程。

（ 5 ） 正 态 过 程 ： 随 机 过 程

X (t), t T ， 若 对 任 意 正 整 数 n 及

t1 ,t 2 , ,t

n

T

， （ X (t1 ), X (t2 ) X (t n ) ）是 n 维正态随机变量，其联合分布函数是 n 维正态分布函数，则称

X (t), t T 是正态过程或高斯过程。

（ 6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。 设 W (t), t 为实随机过程，如果，① W (0) 0；②是平稳独立增量过程；③对任意 s, t 增

量 W (t ) W ( s) 服 从 正 态 分 布 ， 即 ( ) W ( ) ~ N (0, 2 t s ) 2 0 。 则 称

W t s

W (t ), t 为维纳过程，或布朗运动过程。

另外：①它是一个 Markov 过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。②维纳过程具有独立增量。 该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。（ 7）平稳过程：

严 （ 狭 义 ） 平 稳 过 程 ： X (t ), t T

， 如 果 对 任 意 常 数 和 正 整 数 n 及 t1 , t 2 , , tn T ，

t1 , t2 , , t n T ，（ X (t1 ), X (t2 ) X (t n ) ）与（ X (t1 ), X (t 2) X (tn )

）有相

同的联合分布，则称 X (t ),t T 是严（狭义）平稳过程。

广义平稳过程：随机过程X (t), t T

，如果① X (t ), t T 是二阶距过程；②对任意的

t T

，

mX (t) EX (t) 常数 ；③对任意 s，t T ， RX (s,t ) E[ X ( s) X (t )] RX (t s)

，或仅与时间差

t s 有关。则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。

第三章 泊松过程 一．泊松过程的定义（两种定义方法）

１，设随机计数过程 X ( t), t 0 ，其状态仅取非负整数值， 若满足以下三个条件， 则称： X (t ), t T

是 具有 参数 的 泊松 过程。 ① X (0) 0 ； ②独立 增量 过程， 对任 意正整 数 n ， 以及任 意的 t1 t 2 t n T X (t2 ) X (t1 ), X (t3 ) X (t2 ), , X (tn ) X (t n 1 ) 相互独立，即不同时间间隔

的计数相互独立；③在任一长度为 t 的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数 t 0 的的泊松分布，即

对任意 t, s 0 ，有 P X ( t s) X (s) n e t ( t)n n 0,1,

n!

E [ X (t)] E [ X (t)] t ， ，表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数，也称速率或强度。

t

２，设随机计数过程 X (t), t 0 ，其状态仅取非负整数值， 若满足以下三个条件， 则称： X (t), t 0