一、解答题1．如图，在三棱锥P ABC -中，,2,AB BC AB BC PA PB PC O ⊥=====为AC 的中点.(1)证明：AC ⊥平面PBO ；(2)若M 为棱BC 的中点，求二面角M PA C --的正弦值.2．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，AD BC ∥，且AB SD ⊥，1SA AB BC ===，2AD =．(1)求二面角B SC D --的大小；(2)已知E 为CD 中点，问：棱SD 上是否存在一点Q ，使得BQ 与AE 垂直？若存在，请求出SQ 的长；若不存在，请说明理由．3．在多面体EF ABCD -中，平面EDCF ⊥平面ABCD ，EDCF//CD AB ，1===AD DC CB ，2AB =.(1)证明：BD EA ⊥.(2)求平面EDCF 与平面EAB 夹角的余弦值.4．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，平面FBC ⊥平面ABCD ，BF CF ⊥，2DE AD ==.(1)求多面体ABCDEF 体积的最大值；(2)当多面体ABCDEF 体积取最大值时，求直线DF 与平面EBC 所成角. 5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11,90,ACC A ABC AB BC ∠==，四边形11ACC A 是菱形，160,A AC O ∠=是AC 的中点.(1)证明：BC ⊥平面11B OA ；(2)求直线OA 与平面11OB C 所成角的正弦值.2．如图，已知圆柱12O O ，过轴12O O 的截面图形ABCD 为正方形，点M 在底面圆周上，且6ABM π∠=，N 为CB 的中点.(1)求证：AM ⊥平面MBC ；(2)求直线MN 与平面AMC 所成角的余弦值.3．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面P AC ； (2)若PC =AB =2，点C 是AB 的中点，求二面角E -l -C 的正弦值. 4．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面1111,,2,60AAC C AB AC AA AB AC A AC ∠⊥====，过1A A 的平面交线段11B C 于点E（不与端点重合），交线段BC 于点F .(1)证明：1//AA EF ；(2)若2BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值.5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，1AB =，AD =2CD =，2ADC π∠=，平面PBC ⊥平面ABCD ，且PB PC =，E 为BC 的中点，证明：平面PAE ⊥平面PBD .1．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可证1A O ⊥平面ABC ，再结合线面垂直的判定定理证明；（2）根据题意建系，先平面11OB C 的法向量是n ，再根据sin cos ,OA n θ=运算处理．（1）连接1A C ，因为四边形11ACC A 是菱形，则1AC AA =， 因为160A AC ∠=，故1AAC △为等边三角形，所以1A O AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面11A ACC ⋂平面1,ABC AC AO =⊂平面11AAC C ，所以1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A O BC ⊥.因为11,90B A BA ABC ∠=∥，所以11BC A B ⊥. 又1111OA B A A ⋂=，所以BC ⊥平面11B OA . （2）连接BO ，因为90,,ABC AB BC O ∠==是AC 的中点，所以BO AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11,ACC A AC BO =⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A . 设2AC =，因为1A O BC ⊥，以点O 为坐标原点，1OA OA OB ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,01,0,0O A B C --､､､，()()()111,0,0,1,3,1,OA OB OC ==-=-. 设平面11OB C 的法向量是()222,,n x y z=，则122122220n OC x n OB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2x (3,2,n =.设直线OA 与平面11OB C 所成角为θ所以3sincos ,10OA n OA n OA nθ⋅====⋅，⊥直线OA 与平面11OB C 2．(1)证明见解析【分析】（1）先由线面垂直的性质定理及圆直径所对圆周角为直角证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可证明结论.（2）根据条件建立空间直角坐标系，先求出平面AMC 的法向量n ，然后再根据直线MN 与平面AMC 所成角的正弦值为sin cos ,MN n α=及22sin cos 1αα+=求得余弦值. （1）证明：根据题意得，在圆柱12O O 中，BC ⊥底面圆1O ，即BC ⊥平面AMB ， 又因为AM ⊂平面AMB ，所以AM BC ⊥， 因为点M 在底面圆周上，且AB 为底面直径， 所以2AMB π∠=，即AM BM ⊥，因为BCBM B =，且BC ⊂平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，所以AM ⊥平面MBC . （2）如图，以点M 为坐标原点，分别以MB 、MA 方向为x 轴、y 轴正方向，过点M 作直线12O O 的平行线为z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，因为6ABM π∠=，2AMB π∠=，所以1AM =，BM =.根据题意得()0,0,0M ，)B ，()0,1,0A ，)C，)N，所以()3,0,1MN =，()0,1,0MA =，()3,0,2MC =，设平面AMC 的法向量为(),,n x y z =， 由n MAn MC ⎧⊥⎨⊥⎩，得020y z =⎧⎪+=，令2x =，则0y =，z =所以平面AMC 的法向量为(2,0,n =.设直线MN 与平面AMC 所成角为α，由图可知α为锐角，所以sin cos ,MN n α===所以cos α==，即直线MN 与平面AMC3．(1)证明见解析；【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定、性质推理作答. （2）以点C 为原点，射线CA ，CB ，CP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. （1）因E ，F 分别是P A ，PC 的中点，则EF //AC ，而AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，因此EF //平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，则EF //l ，又l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以l //平面P A C. （2）AB 是圆O 的直径，点C 是AB 的中点，AB =2，则CA ⊥CB ，又直线PC ⊥平面ABC ，即有CP ，CA ，CB 两两垂直，以点C 为原点，射线CA ，CB ，CP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，而CA CB ==(0,0,1),F B E，2(0,2,1),(,2B BF E -==， 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =，则20202BF n y z BE n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =1，得(0,1,2)n =，显然(0,0,1)CF =是平面ABC 的一个法向量，则2cos ||||3CF n n CF n CF ⋅〈〉===,，所以二面角E -l -C,1CF n 〈〉=. 4．(1)证明见解析； 【分析】（1）由棱柱的性质有11//AA CC ，根据线面平行的判定可得1//AA 面11BCC B ，再由线面平行的性质证结论.（2）构建空间直角坐标系，求11A C 的方向向量和面1AFC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值. （1）在三棱柱111ABC A B C -中11//AA CC ，1AA ⊄面11BCC B ，1CC ⊂面11BCC B ， 所以1//AA 面11BCC B ，又过1A A 的平面1AA EF ⋂面11BCC B EF =， 所以1//AA EF. （2）面ABC ⊥面11,,AAC C AB AC ⊥面ABC面11,AAC C AC = AB面ABC ，所以AB ⊥面11,AA C C AC ⊂面11,AA C C 则AB AC ⊥，过A 作Az ⊥面ABC ，则可构建A 为原点，,,AB AC Az 为,,x y z 轴的空间直角坐标系， 又112,60AA AB AC A AC ∠====，且2BF FC =，所以1(0,1A，1C ，(0,0,0)A ，24(,,0)33F ，则11(0,2,0)AC =，1AC =，24(,,0)33AF =， 若(,,)m x y z =为面1AFC的法向量，则13024033m AC y m AF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，即(2,1,m =-，所以11cos ,2m AC ==⨯11A C 与平面1AFC5．证明见解析；【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法证明DB AE ⊥，DB AP ⊥，进而证明线面垂直与面面垂直.【详解】如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC 的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则)A，)B，()0,2,0C ，3,02E ⎫⎪⎪⎝⎭.因为PB PC =，E 为BC 的中点，所以PE BC ⊥.因为平面PBC ⊥平面ABCD 且交于BC ，所以PE ⊥平面ABCD ，令3,2P a ⎫⎪⎪⎝⎭.则()3,1,0DB =，3,022AE ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭=，3,2a AP ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=， 所以0DB AE ⋅=，0DB AP ⋅=，所以DB AE ⊥，DB AP ⊥， 因为AEAP A =，AE ，AP ⊂平面PAE ，所以DB ⊥平面PAE ， 因为DB ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PAE .参考答案：1．(1)证明见解析；. 【分析】（1）先证明PO AC ⊥和AC OB ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBO ；（2）以,,OB OC OP 为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.（1）,PA PC O =为AC 的中点，PO AC ∴⊥. ,=AB BC O 为AC 的中点，AC OB ∴⊥.,,,PO AC AC OB OB PO O OB ⊥⊥⋂=⊂平面PBO ，PO ⊂平面PBO ，AC ∴⊥平面PBO .（2）,2,AB BC AB BC PA PB PC ⊥=====O 为AC 的中点，AC =222,BO PO PO OB PB PO OB ∴==∴+=∴⊥.又,,,AC OB AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂平面PAC ，OB ∴⊥平面PAC .分别以,,OB OC OP 为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系，如图.所以()0,0,0O,()0,A,)B,()C,(P,.22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以(232,,0,0,AM PA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.记(),,n x y z =为平面AMP 的法向量，则0 0nAM n PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y+=⎨⎪=⎩，不妨令1z =，则()33,.n =而平面APC 的法向量()1,0,0m =，易知二面角M PA C --的平面角为锐角记为θ，则33cos cos ,31nmn m n m θθ⋅======⋅ 2．(1)56π(2)存在，SQ =【分析】（1）证明AB AD ⊥，SA AB ⊥，SA AD ⊥．分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；（2）假设线段SD 上存在一点Q ，使得BQ 与AE 垂直，设SQ SD λ=，[0,1]λ∈，由BQ AE ⋅0=求出λ即可得．（1）因为SA ⊥面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥．AB SD ⊥,SD SA A =,,SD SA ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，而AD ⊂平面SAD ，所以AB AD ⊥分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)S ，13,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面SBC 的一个法向量()1111,,x n y z =， 平面SCD 的一个法向量()2222,,n x y z =．因为(1,0,1)SB =-，(0,1,0)BC =，10n SB ⋅=10n BC ⋅=．所以11100x z y -=⎧⎨=⎩，取11x =，得11z =．所以1(1,0,1)n =．因为(1,1,1)SC =-，(0,2,1)SD =-，20n SC ⋅=，20n SD ⋅=，所以22222020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取21y =得21y =，22z =，所以2(1,1,2)n =．因121212cos ,n n nn n n ⋅<>===设二面角B SC D --的大小为θ，θ为钝角，则12cos cos ,n n θ=-<>=，而[0,]θπ∈，所以56πθ=．（2）假设线段SD 上存在一点Q ，使得BQ 与AE 垂直，设SQ SD λ=，[0,1]λ∈，可得(0,2,1)Q λλ-，BQ (1,2,1)λλ=--，13,,022AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为BQ AE ⊥，所以BQ AE ⋅1302λ=-+=，解得16λ=．16SQ SD ∴==． 3．(1)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质、ED DC ⊥可得ED ⊥平面ABCD ，由线面垂直的性质得ED BD ⊥，作DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，可得四边形ABCD 为等腰梯形，求出BD ，利用勾股定理得AD BD ⊥，再用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB 、平面EDCF 的法向量，由二面角的向量求法计算可得答案. （1）因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，且平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，ED DC ⊥， 所以ED ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以ED BD ⊥，在四边形ABCD 中，作DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ， 因为//CD AB ，1AD CD CB ===，2AB =，所以四边形ABCD 为等腰梯形，则12AM BN ==，所以DM =BD所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥， 又⋂=ED AD D ，、⊂ED AD 平面EAD ， 所以BD ⊥平面EAD ，又因为EA ⊂平面EAD ，所以BD EA ⊥； （2）如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，BD =则()1,0,0A ，()B ，(E ，12C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(0,BE =，(DE =，12DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面EAB 的法向量()111,,n x y z =，则1111030n AE x n BE ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()3,1,1n =， 设平面EDCF 的法向量()222,,m x y z =，则22230102m DE z m DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取()3,1,0m =，则3cos ,5mn m n m n⋅+===⨯ 由图可知，平面EDCF 与平面EAB 夹角为锐角， 所以平面EDCF 与平面EAB . 4．(1)103(2)3π 【分析】（1）利用割补法求几何体体积，再结合基本不等式求最值； （2）利用坐标法求线面夹角. （1）四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ， ∴四棱锥E ABCD -的体积11822233V =⨯⨯⨯=，过点F 作FH BC ⊥，交BC 于点H ，如图所示，平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，且FH BC ⊥，FH ⊂平面FBC ，FH ∴⊥平面ABCD ，//ED FH ∴，又FH ⊂平面FBC ，ED ⊄平面FBC ，//ED ∴平面FBC ，又DC BC ⊥，DC FH ⊥，BCFH H =，FH ，BC ⊂平面FBC ，DC ∴⊥平面FBC ，1133E BCF D BCF BCFV V SDC BF CF --∴==⨯=⨯， 在Rt BCF 中，22242BF CF BC BF CF +==⨯≥，∴当且仅当BF CF =时，BF CF ⨯有最大值为2，E BCF V -有最大值为23， ∴多面体ABCDEF 体积由最大值103. （2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，可知()0,0,0D ，()0,0,2E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ， 当BF CF =时，()1,2,1F ，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，()2,2,2EB =-，()2,0,0CB =，()1,2,1DF =，则202220n CB x n EB x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，令1z =，则()0,1,1n =，设直线DF 与平面EBC 的夹角为θ，sin cos ,1n DF n DF n DFθ⋅∴===⋅， 故直线DF 与平面EBC 所成角为3π. 5．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可证1A O ⊥平面ABC ，再结合线面垂直的判定定理证明；（2）根据题意建系，先平面11OB C 的法向量是n ，再根据sin cos ,OA n θ=运算处理． （1）连接1A C ，因为四边形11ACC A 是菱形，则1AC AA =， 因为160A AC ∠=，故1AAC △为等边三角形，所以1A O AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面11A ACC ⋂平面1,ABC AC AO =⊂平面11AAC C ，所以1A O ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A O BC ⊥.因为11,90B A BA ABC ∠=∥，所以11BC A B ⊥. 又1111OA B A A ⋂=，所以BC ⊥平面11B OA . （2）连接BO ，因为90,,ABC AB BC O ∠==是AC 的中点，所以BO AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11,ACC A AC BO =⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A . 设2AC =，因为1A O BC ⊥，以点O 为坐标原点，1OA OA OB ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,01,0,0O A B C --､､､，()()()111,0,0,1,3,1,OA OB OC ==-=-. 设平面11OB C 的法向量是()222,,n x y z=，则1221222200n OC x n OB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2x (3,2,n =.设直线OA 与平面11OB C 所成角为θ所以3sin cos ,10OA n OA n OA nθ⋅====⋅， ⊥直线OA 与平面11OB C 2．(1)证明见解析 【分析】（1）先由线面垂直的性质定理及圆直径所对圆周角为直角证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可证明结论.（2）根据条件建立空间直角坐标系，先求出平面AMC 的法向量n ，然后再根据直线MN 与平面AMC 所成角的正弦值为sin cos ,MN n α=及22sin cos 1αα+=求得余弦值. （1）证明：根据题意得，在圆柱12O O 中，BC ⊥底面圆1O ，即BC ⊥平面AMB ， 又因为AM ⊂平面AMB ，所以AM BC ⊥， 因为点M 在底面圆周上，且AB 为底面直径， 所以2AMB π∠=，即AM BM ⊥，因为BCBM B =，且BC ⊂平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，所以AM ⊥平面MBC . （2）如图，以点M 为坐标原点，分别以MB 、MA 方向为x 轴、y 轴正方向，过点M 作直线12O O的平行线为z 轴建立空间直角坐标系.设2AB =， 因为6ABM π∠=，2AMB π∠=，所以1AM =，BM =.根据题意得()0,0,0M ，)B ，()0,1,0A ，)C，)N，所以()3,0,1MN =，()0,1,0MA =，()3,0,2MC =，设平面AMC 的法向量为(),,n x y z =， 由n MAn MC ⎧⊥⎨⊥⎩，得020y z =⎧⎪+=，令2x =，则0y =，z =所以平面AMC 的法向量为(2,0,n =.设直线MN 与平面AMC 所成角为α，由图可知α为锐角，所以sin cos ,MN n α===所以cos α==，即直线MN 与平面AMC3．(1)证明见解析；【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定、性质推理作答. （2）以点C 为原点，射线CA ，CB ，CP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. （1）因E ，F 分别是P A ，PC 的中点，则EF //AC ，而AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，因此EF //平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，则EF //l ，又l ⊄平面P AC ，EF ⊂平面P AC ， 所以l //平面P A C. （2）AB 是圆O 的直径，点C 是AB 的中点，AB =2，则CA ⊥CB ，又直线PC ⊥平面ABC ，即有CP ，CA ，CB 两两垂直，以点C 为原点，射线CA ，CB ，CP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，而CA CB ==(0,0,1),F B E，2(0,2,1),(,2B BF E -==， 设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =，则20202BF n y z BE n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =1，得(0,1,2)n =，显然(0,0,1)CF =是平面ABC 的一个法向量，则2cos ||||3CF n n CF n CF ⋅〈〉===,，所以二面角E -l -C,1CF n 〈〉= 4．(1)证明见解析；【分析】（1）由棱柱的性质有11//AA CC ，根据线面平行的判定可得1//AA 面11BCC B ，再由线面平行的性质证结论.（2）构建空间直角坐标系，求11A C 的方向向量和面1AFC 的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.（1）在三棱柱111ABC A B C -中11//AA CC ，1AA ⊄面11BCC B ，1CC ⊂面11BCC B ， 所以1//AA 面11BCC B ，又过1A A 的平面1AA EF ⋂面11BCC B EF =， 所以1//AA EF .（2）面ABC ⊥面11,,AAC C AB AC ⊥面ABC 面11,AAC C AC = AB 面ABC ， 所以AB ⊥面11,AA C C AC ⊂面11,AA C C 则AB AC ⊥， 过A 作Az ⊥面ABC ，则可构建A 为原点，,,AB AC Az 为,,x y z 轴的空间直角坐标系， 又112,60AA AB AC A AC ∠====，且2BF FC =，所以1(0,1A，1C ，(0,0,0)A ，24(,,0)33F ， 则11(0,2,0)AC =，1AC =，24(,,0)33AF =， 若(,,)m x y z =为面1AFC的法向量，则13024033m AC y m AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，即(2,1,m =-，所以11cos ,m AC ==11A C 与平面1AFC5．证明见解析；【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法证明DB AE ⊥，DB AP ⊥，进而证明线面垂直与面面垂直.【详解】如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC 的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则)A ，)B ，()0,2,0C ，3,02E ⎫⎪⎪⎝⎭.因为PB PC =，E 为BC 的中点，所以PE BC ⊥. 因为平面PBC ⊥平面ABCD 且交于BC ，所以PE ⊥平面ABCD ，令3,2P a ⎫⎪⎪⎝⎭.则()3,1,0DB =，3,022AE ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=，3,2a AP ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=， 所以0DB AE ⋅=，0DB AP ⋅=，所以DB AE ⊥，DB AP ⊥， 因为AE AP A =，AE ，AP ⊂平面PAE ， 所以DB ⊥平面PAE ，因为DB ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAE .。
