1995-1999年高考数学试题全国卷
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1995年全国普通高等学校招生统一考试
数学试卷
1.已知I为全集,集合M, IN,若M∩N=N,则
A.NM B. NM C. NM D. NM
2.函数1x1y的图象是
3.函数)4x3cos(3)4x3sin(4y的最小正周期是
3.D32.C2.B6.A
4.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是
2222a3.Da2.C2a.B3a.A
5.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则
A.k1
6.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是
A.-297 B.-252 C.297 D.207
7.使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是
)0,1.[D)32,1.[C]1,32.(B]32,0.(A
8.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是
x33y.Dx3y.Cx31y.Bx3y.A
9.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=95,那第sin2θ等于
32.D32.C322.B322.A
10.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题:
①ml//②m//l③m//l④//ml
其中正确的两个命题是
A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③
11.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
12.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若1n3n2TSnn，则nnnbalim等于
94.D32.C36.B1.A
13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有
A.24 B.30 C.40 D.60
14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是
)cose1(e)e1(c.D)cose1(e)e1(ose1)e1(c.Bcose1)e1(c.A22
15.如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成的角的余弦值是
1015.D1530.C21.B1030.A
16.不等式x28x3)31(2的解集是______________
17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3，则圆台的体积与球体积之比为____________.
18.函数xcos)6xsin(y的最小值___________
19.直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a= .
20.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答).
21.(本小题满分7分)
在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O
(其中O为原点),已知Z2对应复数经z2=1+i3,求Z1和Z3对应的复数。
22.(本小题满分10分)
求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
23.(本小题满分12分)
如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,AF⊥DE,F是垂足.
(1)求证:AF⊥DB;
(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π,求直线DE与平面ABCD所成的角. 24.(本小题满分12分)
某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
)14x8()8x(40500Q),0t,8x)(8tx(1000P2
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?
25.(本小题满分12分)
设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.
(1)证明1n2nnSlg2SlgSlg；
(2)是否存在常数c>0,使得
)cSlg(2)cSlg()cSlg(1n2nn
成立?并证明你的结论.
26.(本小题满分12分)
已知椭圆116y24x22，直线l:18y12x,P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
>试题答案>
1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.B8.C9.A10.D11. B12. C13. A14. D15. A
16.(2,4) 17. 3237 18. 43
19. 4 20. 144
21. 本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力.
解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得 i231231)i2222)(i31(21)4sini4(cosz21z,i213213)i2222)(i31(21)]4sin(i)]4[cos(z21z2321
22.
本小题主要考查三角恒等式和运算能力.
解:
4370sin2130sin70sin43)30sin70(sin21)40cos100(cos21150cos20sin)100cos1(21)40cos1(21原式
23.
本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)证明:根据圆柱性质,DA⊥平面ABE.
∵EB平面ABE
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上,
∴AE⊥EB,又AE∩AD=A,
故得EB⊥平面DAE.
∵AF平面DAE
∴EB⊥AF.
又AF⊥DE,且EB∩DE=E,
故得AF⊥平面DEB.
∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
(2)解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连结DH.根据圆柱性质,平面ABCD⊥平面ABE,AB是交线.且EH平面ABE,所以EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影,从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.
设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是
V圆柱=2πR3,
VD-ABE=31AD·S△ABE=3R22·EH
由V圆柱:VD-ABE=3π,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心,
AH=R,
5arcctgEHDHarcctgEDH,R5AHDADH22
24.
本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.
解:(1)依题设有
2)8x(40500)8tx(1000
化简得 5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.
当判别式△=800-16t2≥0时,
可得2t5052t548x
由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:
14t5052t548850t0)2(14t5052t548850t0)1(22
解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为 2t5052t548x
函数的定义域为[0，10]
(2)为使x≤10,应有
10t5052t5482
化简得t2+4t-5≥0.
解得t≥1或t≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.
25.
本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.
(1)证明:设{an}的公比为q,由题设a1>0,q>0.
(i)当q=1时,Sn=na1,从而
0aa)1n(a)2n(naSSS212121121n2nn
(ii) 当q≠1时，q1)q1(aSn1n从而
0qa)q1()q1(a)q1()q1)(q1(aSSSn21221n2122nn2121n2nn
由(i)和(ii)得Sn·Sn+2
即1n2nn21n2nnSlg2SlgSlgSlg)SSlg(
(2)解:不存在.
证明一:要使
)cSlg(2)cSlg()cSlg(1n2nn
成立,则有
)2()1(0)cS()cS()cS)(cS(n21n2nn
分两种情况讨论: (i)当q=1时,
(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2
=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2
=-a12<0.
可知,不满足条件①,即不存在常数c>0,使结论成立.
(ii)当q≠1时,若条件①成立,因为
(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2
21n12n1n1]cq1)q1(a[]cq1)q1(a][cq1)q1(a[
=-a1qn[a1-c(1-q)],
且a1qn≠0,故只能有a1-c(1-q)=0即c=a1/(1-q)
此时,因为c>0,a1>0,所以0
但00,使结论成立。
综合(i)、(ii),同时满足条件①、②的常数c>0不存在,即不存在常数c>0,使
)cSlg(2)cSlg()cSlg(1n2nn
证法二:用反证法,假设存在常数c>0,使
)cSlg(2)cSlg()cSlg(1n2nn
则有
)4()3()2()1()cS()cS)(cS(0cS0cS0cS21n2nn2n1nn
由④得
SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+1).⑤
根据平均值不等式及①、②、③、④知
Sn+Sn+2-2Sn+1
=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)
0)cS(2)cS)(cS(21n2nn
