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2007年理科数学安徽省高考真题含答案

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答D A B B C C A C D B D 案
(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为，选D。 (2) 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm 且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选 A。
(3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－ x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。 （4）若a为实数，＝－i，则，a=－，选B。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2 页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：
1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、 姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、 科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
（Ⅰ）证明： A B C D ． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：， ， ，． 与是平面内的两条相交直线．
平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面．
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
（7）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么 的最小值为
（A）
（B）
（C） （D）
（8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距
离为
（A） （B） （C）（D）
（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆
与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是 一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽 卷）
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 号
P(A+B)=P(A)+P(B)
S=4Πr2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)+P(B)
球的体积公式
1+2+…+n
V=
12+22+…+n2=
其中R表示球的半径
13+23++n3=
第Ⅰ卷（选择题共55分）
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的
（用表示）.
（14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等
分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与
抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形
△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－1Pn－1,当n→∞时，这些三角形的面积
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为
(A)
（B）
(C)
(D)
(2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
(C)充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
(3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望Eξ； （Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.
(21) (本小题满分14分) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备
金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此， 历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此 同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所 交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变 为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关 系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12 分．
成立，最小的正整数n等于7.
（13）在四面体O－ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=
=.
（14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA 的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂 线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角 三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ ，，，当n→∞时， 这些三角形的面积之和的极限为. 整理得=。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答
案标号。 3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相 交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定 值.
(20) (本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果
蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和 2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直 到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
正态分布，则概率==－=，选B。
（11）定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周 期，∴，，∴，则可能为5，选D。 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
题号
12
13
14
15
答案
7
①③④⑤
(12)若(2x3+)n的展开式中含有常数项，为常数项，即=0，当n=7，r=6时
或演算步骤.
（16）（本小题满分127) (本小题满分14分)
如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正
方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平
面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； （Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.
(A)a＜－1 (B)≤1
(C) ＜1
（D）a≥1
（4）若a为实数，＝－i，则a等于
（A）
（B）－
（C）2 （D）－2
（5）若，，则的元素个数为
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
（6）函数的图象为C，：
①图象关于直线对称;
②函数在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中正确论断的个数为
解：（Ⅰ）由题意知，． x y B A O a Ｃ D 因为，所以． 由于，故有． （1） 由点的坐标知， 直线的方程为． 又因点在直线上，故有， 将（1）代入上式，得， 解得． （Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ． 所以直线的斜率为定值．
之和的极限为
.
(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个
顶点，这些几何形体是
（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面
体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程
(18) (本小题满分14分) 设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性 并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
(19) (本小题满分12分) 如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为
心(0，－2)到直线x－2y+1=0的距离减去半径1，即为－1，选A。
（8）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD 的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴ 由余弦定理
得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为，选C。
（9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1， ∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。 （10）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从

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2007年高考理科数学试题及参考答案(安徽卷)

2007年高考理科数学试题及参考答案(安徽卷)

1.2.求电压3.求如下电感线圈与电容并联等效电路的谐振角频率。

4.试求图示电路中的并联谐振角频率ω05.图示对称三相电路，已知线电压为190V ，Z1=-j120Ω，R=40Ω，Z N=j2Ω。

1、求电流表的读数。

2、求三相负载吸收的总功率P。

6.对称三相电路如图所示，已知：Z=（6.4+j4.8）Ω，Z L=（3+j4）Ω为线上的等效阻抗，对称线电压U AB=190V。

求负载Z端的线电压和线电流。

7.若图所示电路为对称三相电路，已知对称三相负载吸收的功率为 2.5kW，功率因数λ=cosψ=0.866（感性,ψ=300），线电压为190V。

求图中两个功率表的读数。

8.已知某电路中u =[10+140cos ωt+47cos3ωt+28cos5ωt]V,i =[14cos(ωt+72°)+10cos(3ωt+46°)+8cos(5ωt+32°)]A 。

u 、i 为一致参考方向，试求该电路吸收的平均功率。

9图示网络N,()()()[]︒+︒+++=505cos 6+303cos 24cos 22516t t t t u ωωω V ，()()()[]︒++︒++︒-=404cos 22202cos 4)60cos(210+3t t t t i ωωω A.。

试求：(1)端口电压、电流的有效值；(2)网络吸收的平均功率. u︒︒iN10.电路如图所示，开关S 原来闭合，t=0时打开，求换路后电路中的电流。

11.图示电路在t=0前已处于稳态，已知U s=10V，R1=R2=R3=10Ω，L1=L2=1H。

t=0时开关S闭合上。

试求电流i1(t)。

12.图示电路中，电容、电感上无初始储能，求响应。

2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案

2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年高考数学(理科)试卷及答案(安徽卷)

2007年高考数学(理科)试卷及答案(安徽卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x fB ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x fC ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f xD ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，i ai212++＝-2i ，则a 等于A ．2B ．—2C ．22D ．—22 5．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 7．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154-C ．122-D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(- C ．)31arccos(-D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(理科)试卷参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)数学(理科)试卷参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷参考答案一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D9．B10．D11．C12．A二、填空题： 13．3614．3()xx ∈R15．1316．三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=。

2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭。

3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cosA+sinC的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，。

18．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。

知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=。

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。

(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。

η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯=240（元）。

19．解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。

因为SA=SB ，所以AO=BO ，又45ABC=∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。